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2.3.2离散型随机变量的方差


离散型随机变量的方差

课题:离散型随机变量的方差
三维目标:
1.通过实例理解离散型随机变量方差的概念,能计算简单 离散型随机变量的方差 . 2.理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项 分布的方差 . 3.会利用离散型随机变量的方差 ,反映离散型随机变量 取值水平,解决一些相关的实际问题.

教学重难点 :
重点:离散型随机变量方差的概念与计算方法 难点:离散型随机变量方差的性质及应用题

教学时间:2012年5月7日第十四周星期一

温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值(数学期望)
n

EX ? ? xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i ?1

2、均值的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b
3、两种特殊分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布,则 EX ? p

(2)若 X ~ B(n, p) ,则

EX ? np

探究
要从两名同学中挑选出一名,代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为

X1

P
X2

5 0.03 5 0.01

6 7 0.09 0.20 6 0.05 7 0.20

8 0.31

9 0.27

10 0.10 9 0.33

第二名同学击中目标靶的环数

X 2的分布列为
8 0.41

P

请问应该派哪名同学参赛?

EX1 ? 8 , EX 2 ? 8

发现两个均值 相等

因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.

除平均中靶环数以外,还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗? (1)分别画出 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

P

X1 , X 2 的分布列图. P
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

O 5 6 7 8 9 10 X 1

O 5 6 7 8 9

X2

(2)比较两个分布列图形,哪一名同学的成绩更稳定?

第二名同学的成绩更稳定.
怎样刻画随机变量的稳定性?

新课
对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差:

在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 则这组数据的方差为: x



1 2 2 S ? [( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? n
2

? ( xn ? x ) ]
2

方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.

定义离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量? 的概率分布列为:

?
P

x1

p1

p2

x2
2

· · · xi · · · pi
2

· · · xn · · · pn
2

D? ? ( x1 ? E? ) p1 ? ? ( xi ? E? ) pi ? ? ( xn ? E? ) pn 则称 n ? ? ?? D ? ? ( xi ? E? )2 pi 为随机变量?的方差. 称

为随机变量?的标准差.
注意:它们都是反映离散型随机变量偏离于均值 的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于 均值的平均程度越小,即越集中于均值,稳定性越大

i ?1

练习
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.

X1

P
X2

5 0.03 5 0.01
10

6 7 0.09 0.20 6 0.05

8 0.31

9 0.27 8 0.41
9 i ?5

10 0.10 9 0.33

P

7 0.20

D ? X1 ? ? ? (i ? 8)2 P( X1 ? i) D ? X 2 ? ? ? (i ? 8)2 P( X 2 ? i)

? 0.82 因此第一名同学的射击成绩稳定性较差,第二名同学的射击 成绩稳定性较好,稳定于8环左右. 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班 应该派哪一名选手参赛?如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右,又应该派哪一名选手参赛?

? 1.50,

i ?5

X 的分布列

随机变量X的方 差与X可能取值 的方差相同吗
9 2 6 12 1 6

X

P

8 3 6

X 可能取值的方差为 1

3 2 1 EX ? 8 ? ? 9 ? ? 12 ? ? 9 6 6 6 3 2 1 2 2 2 DX ? (8 ? 9) ? ? (9 ? 9) ? ? (12 ? 9) ? ? 2 6 6 6
10 DX ? ? [(8 ? 9) ? (9 ? 9) ? (12 ? 9) ] ? 3 3
2 2 2

X 的分布列

X

P

X 可能取值的方差为 1

1 3 1 1 1 29 EX ? 8 ? ? 9 ? ? 12 ? ? 3 3 3 3 29 2 1 29 2 1 29 2 1 DX ? (8 ? ) ? ? (9 ? ) ? ? (12 ? ) ? 3 3 3 3 3 3
29 2 29 2 29 2 DX ? ? [(8 ? ) ? (9 ? ) ? (12 ? ) ] 3 3 3 3

8 1 3

随机变量X的方差 与X可能取值的方 9 差何时相等 12
1 3

随机变量的方差与样本的 方差有何区别和联系
课本P66 ① 随机变量的方差是常数, 样本的方差是随机变量; ② 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均 值越来越接近于总体方差,因此常用样本方差来估计总体
方差

样本
均 公 式 值 意 义 方 差 或 标 准 差
1 x = ? xi n i= 1
n

离散型随机变量
E(X) = ? x i pi
i=1 n

随着不同样本值 的变化而变化
n ?

是一个常数
D( X ) ? ?(x i ? E ( X ))2 ?pi
i ?1 n

公 2 1 2 s ? (x ? x ) ? i 式 n i ?1

意 随着不同样本值的 义 变化而变化,反映
数据偏离平均数的 平均程度,方差越 小,偏离程度越小.

是一个常数,反映随 变量取值偏离均值的 平均程度,方差越小, 偏离程度越小.

练习
1. 已知随机变量X的分布列 X P 求DX. 解: 0 0.3 1 0.7

EX ? 0.7
D ? X ? ? p(1 ? p)

DX ? (0 ? 0.7)2 ? 0.3 ? (1 ? 0.7)2 ? 0.7 ? 0.3? 0.7 ? 0.21

小结:(1)若 X 服从两点分布,则
(2)若 X ~ B(n, p) ,则 D

? X ? ? np(1? p)

2. 若随机变量X 满足P(X=c)=1,其中c为常数, 求EX 和 DX.
解: EX=c×1=c

DX=(c-c)2×1=0

结论
根据期望的定义可推出下面三个重要结论: 结论1: 若? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b ;

结论2:若ξ服从两点分布,则 Eξ= np. 结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np. 那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论 : 可以证明, 对于方差有下面三个重要性质:

⑴ D(a? ? b) ? a D?
2

(2)若 X 服从两点分布,则 (3)若 X ~ B(n, p) ,则 D

? X ? ? np(1? p)

D ? X ? ? p(1 ? p)

例如:已知某离散型随机变量 ξ 的分布列如下,则 a = ______ 0.4 ,数学均值(期望)Eξ=______ 1 ,方差Dξ=________. 0.8

ξ P

0 a

1 0.2

2 0.4

2. 一般地,如果随机变量 X 服从两点分布,那么 DX = p(1-p) __________. 3.一般地:随机变量η与随机变量ξ满足关系η=aξ+b, 其中a,b为常数,则Dη=______________. a2Dξ np(1-p) 4.若ξ~B(n,p),则Dξ=________. 例如:设ξ~B(n,p),且Eξ=2.4,Dξ=1.44,求n,p. n=6 p=0.4

例题
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差. 课本P66例4
解:抛掷骰子所得点数X 的分布列为 X 1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

1 1 1 1 D ? X ? ? (1 ? 3.5) 2 ? ? (2 ? 3.5) 2 ? ? (3 ? 3.5) 2 ? ? (4 ? 3.5) 2 ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6

1 1 1 1 1 1 从而 E ? X ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 6 6 6 6 6 6

DX ? 1.71

例2 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如 下信息:
甲单位不同职位月工资X1/元 1200

1400 1600

1800

获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元

0.4
1000 0.4

0.3

0.2

0.1

1400 1800 2200 0.3 0.2 0.1

获得相应职位的概率P2

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 比什么? 怎么比? 2 比方差

1 比均值

E(X1)= 1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400
E(X2)= 1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400 D(X1)= (1200-1400)2×0. 4 + (1400-1400 )2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400)2×0.1= 40 000

D(X2)= (1000-1400)2×0. 4+(1400-1400)2×0.3 +(1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l=160000 .
因为E(X1)=E(X2), 所以两家单位的工资均值相等, D(X1)<D(X2), 但甲单位不同职位的工资相对集中, 乙单位不同职位的工资相对分散. 这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就 选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些, 就选择乙单位.

1 1.已知随机变量ξ的分布列为:P(ξ=k)= ,k=1,2,3, 3 A 则D(3ξ+5)=( ) A.6 B.9 C.3 D.4
2 .设ξ ~B(n,p),且Eξ = 12, Dξ= 4 ,则n与p 的值分别 为( )C 1 2 A.18, B.12, 3 3 2 1 C.18, D.12, 3 3

1 Dξ=13,那么Dη的值为( 3.已知η=3ξ+ ,且 8

).

A.39

B.117

C.39
1 8

D.117
1 8

解析:Dη=D(3ξ+ )= 9Dξ=9×13=117. 8 答案:B 4 .设随机变量X~ B(n, p) ,且 EX=1.6 ,DX=1.28,则 ( A ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45

1

5 .已知离散型随机变量 X 的分布列如下表.若 EX =0 , DX=1,则a=________,b=________.

X P

-1 a

0 b

1 c

2 1 12

11 1 解析:由题知 a+b+c= ,-a+c+ =0,12×a+12× 12 6 1 5 1 2 c+2 × =1,解得 a= ,b= . 12 12 4

题型四

期望与方差的综合应用

【例4】(14分)(2008· 广东)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,

其中有一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1
件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1 件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为ξ.

(1)求ξ的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品

率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则
三等品率最多是多少?

分析 求ξ的分布列时,要先求ξ取各值时的概率. 解 (1)ξ的所有可能取值有6,2,1,-2……………………1′ P(ξ=6)= 126 ? 0.63 =0.63,…………………………………..2′ P(ξ=2)= P(ξ=1)= 20 ? 0.1
200 50 ? 0.25 200

=0.25,…………………………………..3′ =0.1,…………………………………4′

P(ξ=-2)=

200 4

200

? 0.02 …………………………………..5′

故ξ的分布列为 ξ p 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

……………………………………………………………………7′

(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34 ………………………………………………………………..9′

(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为
E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01 =4.76-x(0≤x≤0.29)……………………………………….12′

依题意,E(ξ)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03……13′
所以三等品率最多为3%..............................14′


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