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2.1.2.1学案设计


学案设计

第二章 2.1
2.1.2

基本初等函数(Ⅰ) 指数函数

指数函数及其性质(第一课时)
学习目标

①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质; ③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.

合作学习
一、设计问题,创设情境 情境 1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传 染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖 ,病原体的繁殖方式有很 多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程: 某种球菌分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个,…一个这样的球菌 分裂 x 次后,得到的球菌的个数 y 与 x 的关系式是 y=2x. 情景 2:某种机器设备每年按 6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为 1,经过 x 年后,机器 的价值为原来的 y 倍,则 y 与 x 的关系为 y=0.94x. 问题 1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗? 共同点: ; 不同点: . 二、自主探索,尝试解决 指数函数的概念: 一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 问题 2:为什么指数函数对底数有“a>0,且 a≠1”的要求呢?

三、信息交流,揭示规律 问题 3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗? 研究方法: . 研究内容:定义域、值域、 、 、 .

问题 4:如何来画指数函数的图象呢? 画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质

学案设计 画图. 问题 5:画出指数函数 y=2x,y=( )x 的图象并观察图象有什么特征?
1 2

问题 6:函数 y=2x 与 y=( )x 的图象有什么关系?能否由 y=2x 的图象得到 y=( )x 的图象?
1 2 1 2

问题 7:选取底数 a 的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图 象.观察图象,能否发现它们有类似于问题 5 与问题 6 中的性质?

问题 8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?

问题 9:从特殊到一般,指数函数 y=ax(a>1)有哪些性质?并类比得出 y=ax(0<a<1)的性质. 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象和性质如下表所示:
a>1 0<a<1

图 象

(1)定义域: 性 质 (2)值域: (3)过定点 (4)在 ,即 x=0 时,y=1 上是增函数 (4)在 上是减函数

强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它 的图象,记住性质的关键在于要脑中有图. 四、运用规律,解决问题 【例 1】已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象经过点(3,π),求 f(0),f(1),f(-3)的值.

【例 2】指出下列函数哪些是指数函数. (1)y=4x;(2)y=x4;

学案设计 (3)y=-4x;(4)y=(-4)x; (5)y=πx;(6)y=4x2; (7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a>2,且 a≠1).
1

五、变式演练,深化提高 1.若函数 y=(a2-3a+3)· ax 是指数函数,则 a= 2.函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(

. )

A.|a|>1 B.|a|<2 C.a< 2 D.1<|a|< 2 3.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)对于任意的实数 x,y 都有( ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 4.函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax-a 的图象大致是( )

5.若 a>1,-1<b<0,则函数 y=ax+b 的图象一定在( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 |x| 6.函数 y=a (a>1)的图象是( )

六、反思小结,观点提炼 本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌 握指数函数的图象和性质是本节课的重点. 1.知识点: 、 和 . 2.研究步骤:定义→图象→性质→应用. 3.思想方法: 、 . 七、作业精选,巩固提高 1.课本 P59 习题 2.1A 组第 6,9 题; 2.课本 P60 习题 2.1B 组第 3 题.

参考答案

学案设计 一、设计问题,创设情境 问题 1:共同点:变量 x 与 y 构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数 不同点:底数的取值不同 二、自主探索,尝试解决 问题 2:若 a=0,当 x>0 时,ax 恒等于 0,没有研究价值;当 x≤0 时,ax 无意义; 若 a<0,例如当 a=-2,x= 时, -2无意义,没有研究价值; 若 a=1,则 1x=1,ax 是一个常量,也没有研究的必要. 所以规定 a>0 且 a≠1. 三、信息交流,揭示规律 问题 3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质 研究内容:图象 单调性 奇偶性 问题 4:列表 描点 连线 问题 5:函数 y=2x 的图象位于 x 轴的上方,向左无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看, 图象是上升的,与 y 轴交于(0,1)点. 函数 y=(2)x 的图象位于 x 轴的上方,向右无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是 下降的,与 y 轴交于(0,1)点. 问题 6:y=2x 与 y=(2)x 的图象关于 y 轴对称.实质是 y=2x 上的点(-x,y)与 y=(2)x 上的点(x,y)
1 1 1 1 2

关于 y 轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的 图象. 问 题 7: 分 别 取 a=3, 3 ,4,
1 1 4

,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数

y=3x,y=( )x,y=4x,y=( )x 的图象. 可用多媒体画出 y=3x,y=( )x,y=4x,y=( )x 的图象如下:
1 3 1 4

1 3

1 4

问题 8:底数分 a>1 和 0<a<1 两种情况. 问题 9:R (0,+∞) (0,1) R R

学案设计 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:因为 f(x)=ax 的图象经过点(3,π),所以 f(3)=π, 即 a3=π,解得 a=π3 ,于是 f(x)=π3 . 所以,f(0)=π0=1,f(1)=π3 =
1
3

1



π,f(-3)=π-1=π.

1

【例 2】解:(1)(5)(8)为指数函数;

(2)是幂函数(后面 2.3 节中将会学习); (3)是-1 与指数函数 4x 的乘积; (4)底数-4<0,故不是指数函数; (6)指数不是自变量 x,而底数是 x 的函数; (7)底数 x 不是常数. 除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义. 五、变式演练,深化提高 1.2 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 六、反思小结,观点提炼 1.知识点:指数函数的概念 图象 性质 3.思想方法:数形结合 分类讨论


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