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浙大版概率与数理统计PPT课件


复习 X 与Y 的联合分布 F ( x, y ) ? P{ X ? x, Y ? y } p 分布 ? 离散型 F ( x , y ) ? P{ X ? x , Y ? y } ?? ?y ? yi j x x, y x ? 连续型 函数 ? F ( x , y ) ? ??? ??? f ( u, v )dudv
i j

(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布 FX ( x ) ? F ( x ,??), FY ( y ) ? F (??, y ) ? 关于X 的 p ? ? p ? P{ X ? x }, FX ( x ) ?? pi ? i? ij i 离散型 j ?1 x ?x 边缘 ? 关于Y 的 ? x 关于X 的 f X ( x ) ? 分布 ? f ( x , y )dy, FX ( x ) ? ? [ ? ?? f ( u, y )dy] du ??? ?? ?? ? 连续型 关于Y 的 离散型 P { X ? x i | Y ? y j } ? pi j , 二维随机变量的条件分布? ? 连续型 f ( x | y ) ? f ( x, y ) , p? j X |Y ?
i

X 与 Y 相互独立 P ( X? x, Y ? y ) ? P( X ? x ) ? P(Y ? y ) F ( x, y) ? FX ( x)FY ( y) P { X ? x i |Y ? yj } ? pi ? , P { Y ? y j | X ? x i } ? p? j , ?离散型 pi j ? pi ? ? p? j ,
?连续型 f ( x , y ) ? f X ( x ) ? fY ( y ) , ?
f X Y ( x y ) ? f X ( x ), f Y X ( y x ) ? f Y ( y )

x 1 FX Y ( x y ) ? f ( u, y ) du, fY ( y ) ?? ?

f ( x, y ) ? f X |Y ( x | y ) ? fY ( y )

fY ( y )

独立随机变量X,Y 的连续函数 g1(X),g2(Y ) 仍是独立的随机变量 例如: X 与 Y 独立 ? aX?b 与 eY 独立

§5

二维随机变量函数的分布

我们曾经讨论了一维随机变量 X 函数 g(X) 的分布, 独立随机变量的连续函数 g1(x1),…, gn( xn) 仍独立 现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …, Xn 的联合分布已知时, 如何求出它们的函数 Yj = gj (X1, X2, …,Xn) j =1,2,…,m 的联合分布? 我们集中讨论两个随机变量的函数的分布问题 二维随机变量(X,Y)的分布 ? ? ? 一维随机变量 Z 的分布 和二元函数 Z= g(X, Y) ? 我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题 分两种情形讨论

X -1 1 一、离散型随机变量函数的分布 Y 仍从实例中总结一般方法: 1/4 1/8 -1 1/4 3/8 1 例1(P110 例16) 已知(X,Y )的联合分布列 求 (1) Z = X+Y 的分布列; (2) Z= X / Y 的分布列. Z -2 0 解 (1) Z = X+Y 可能的取值为 -2, 0, 2, =2 0 = -2 pk 1/4 P(Z=-2) = P(X=-1,Y=-1) = 1/4 ; 3/8 P(Z =0) = P(X=-1,Y=1)+ P(X=1,Y=-1) = 3/8 ; P(Z =2) = P(X=1,Y=1) = 3/8 ; Z -1

2 3/8 1 5/8

(2) Z2 = X/ Y 可能的取值为 -1, 1, pk =-1 P(Z=-1) = P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1) = 3/8 ; P(Z=1)= P(X=-1,Y=-1)+ P(X=1,Y=1) = 5/8 .

3/8

例2(P111例17) 今有两封信欲投入编号为 A,B,C 的3个邮筒, X ,Y 设 分别表示投入邮筒A号和B号的信的数目, 试求: (2)求 V=min{X,Y }的分布列 . (1) (X,Y)的分布列; 解 (1) 由题意可知 X 和Y 取值均为 0, 1, 2, P ( X ? 0 , Y ? 0 )= P(两封信均投入C邮号筒)? 12 ; 1 3 C2 ; P(X=0,Y=1)= P(一封投入C 筒, 另一封投入B筒) ? 32 P(X=0,Y=2)=P(两封都投入B 筒) ? 12 ; ……,
3
Y 0 1 2 X
0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0/9 2 1/9 0 0

(2) V 的可能取值为 0, 1, 2 2 P (V ? 0 ) ? P ( min ( X , Y )? 0 ) ? ? P ( X ? 0 , Y ? j ) ? ? P ( X ?i , Y ? 0 ) ? 7 ; 9 j ?0 i ?1 P(V ? 1) ? P( min( X , Y ) ? 1 ) ? 1 ? 7 ? 2 ; 9 9 最后写出 V 的分布列即可.

二、连续型随机变量函数的分布
设连续型随机变量(X,Y )的概率密度为 f ( x , y) , 其函数 Z = g(X,Y ) 为连续函数, 求连续型随机变量 Z 的概率密度 fZ (z )? 构成的区域记为G (I) 求 Z 的分布函数 FZ(z); ∵FZ(z)= P(Z? z ) = P( g(X,Y )? z )= P((X,Y)?G ) ? ?? f ( x , y ) dx dy .

? FZ ( z ) ?

g( x, y )? z

??

G

f ( x , y ) dx dy

(II) 对分布函数 FZ(z)求导即得 Z 的概率密度 fZ (z) . 下面就按着这个思路, 讨论几个特殊函数的分布: 分布函数法

1. Z=X+Y 的分布函数 视 z 为常数 FZ( z )= P( Z≤ z )= P(X+Y ≤ z ) ? ?? f ( x , y )dxdy . 直线x+y =z
交换积 分次序
x ? y?z ??

y Y

x+y = z

d 由概率密度与分布函数的关系:ff(F z xyy,, ??)) f (y )概率密度的一般公式 Z 的概率密度函数 y ) ( z ? 令x=u–y ? z ? y f ( x , f Z dx)? ??z?? ( (? ) ? yy du t d t , F ?( x ) ? f ( x ) u? ? ?? ?? ?? f Z ( z ) ? ??? f ( x , z ? x ) d x 由X 和Y 的对称性, 当X 和Y 独立时, 设(X,Y)关于X,Y 的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , f ( x , y ) ? f X ( x ) ? f Y ( y ) , 则上述两式化为: 记住!! 卷积公式用来求独立时 Z=X+Y 的概率密度 ?? ?? f X Z ( f Y ? ??? f X ( z ? y ) f Y ( y ) d y ? ??? f X ( x ) f Y ( z ? x ) d x f ? z) 卷积公式 pZ ( zk ) ? ? p( xi , zk ? xi ) 离散型中也有 i 类似公式 若 X 和 Y 独立,则 pX ( zk ) ? ? pX ( xi ) pY ( zk ? xi ) i 或 pY ( zk ) ? ? pY ( y j ) pX ( zk ? y j )
x
j

? ??? [ ??? f ( x , y )dx ] dy x=u-y z ?? z ?? ? dy dy ? ???[[ ??? f ( u ? y , y )du]] d u ?? ? 记住!!
??

z? y

左下方的半平面
0
0

z

x+y ? z

uX

??

两个随机变量和的

例3

若 X 和 Y 独立,且具有共同的概率密度 ? 1 , 0 ? x ? 1, f ( x) ? ? 求 Z=X+Y 的概率密度 . ? 0 , 其他.
? ??

解 由卷积公式 fZ ( z ) ? ?

f X ( x ) fY ( z ? x )dx
x = z -1 x=z

为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 G
0? x ?1; 0 ? x ? 1; G: ? ? ? ? ? ?0 ? z ? x ? 1 , ? x ? z ? 1? x ,
z

z 2

? ? d x , 0 ? z ? 1; 0 ? 1 1 f Z ( z ) ? ?? dx , 1 ? z ? 2 ; ? z ?1 ? 0, 其他 . 0 ? z, 0 ? z ? 1 ; ? 即 f Z ( z ) ? ?2? z , 1 ? z ? 2; ? 0, 其他. ?

x

例4

若X和Y相互独立,且均服从N(0,1), 求Z=X+Y 的密度. 2 1 ? x2 解 f X ( x) ? e 2 , ?? ? x ? ??; fY ( y ) ? 1 e ? y , ?? ? y ? ??, 2 2? 2? 由卷积公式 2 x ( z? x) ? z ? ?( x ? z ) 2 ? ? ? 2 dx f Z ( z ) ? ??? f X ( x ) f Y ( z ? x )dx ? 1 ??? e ? 2 e 2 d x? 1 e 4 ??? e 2? 2? z z2 ? z 令t ? x? 2 ? ? 1 e 4 ??? e ? t 2 d t ? 1 e ? 4 . ∴ Z 服从正态分布N(0,2). 均匀分布? 2? 2 ? 2 类似地可以证明: 若X和Y 独立, 且 X ~ N ( ? 1 , ? 12 ), Y ~ N ( ? 2 , ? 2 ),
2 2

2

2 ? Z ? X ? Y ~ N ( ? 1 ? ? 2 , ? 12 ? ? 2 ) 此结论推广到 n 个独立的正态随机变量之和的情形 请自行写出结论 更一般地, 可以证明: 若 X i ~ N ( ? i , ? i2 ), 且 X1 , X2 , …, Xn 独立, 则

泊松分布、二项分布 也有相应结论

? ai X i ~ N ( ? ai ? i , ? ai2? i2 ) , i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

其中ai( i =1,2,…, n)为常数.

服从正态分布的有限个独立随机变量的线性组合仍服从正态分布
如设X,Y 独立,都具有正态分布,则 3X+4Y+1也具有正态分布

例5 若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为?1,?2 的泊松分布, 证明 Z=X+Y 服从参数为?1 + ?2 的泊松分布.

e ? ?1 ? 1 , i = 0, 1, 2, … 解 依题意 P ( X ? i ) ? i! e ? ?2 ? 2j , j =0, 1, 2, … P (Y ? j ) ? j!
i
r i ?0
r i 1 r ?i 2

由卷积公式 P ( Z ? r ) ? ? P ( X ? i ) P ( Y ? r ? i ),

? ?e
i ?0

?? 1

r ! ? i ?r ?i ? ? e ?? ? e ?( ? ?? ) r ? i! (r ? i ) ! r ! ? i ! ( r ? i )! 1 2 i ?0
2
1 2

e ?( ?1 ??2 ) (? ? ? )r , r = 0, 1, … ? r 1 2 !

即 Z 服从参数为 ?1 + ?2 的泊松分布

例6 设X和Y相互独立, X~B(n1, p), Y~B(n2, p),求Z =X+Y 的分布. 我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释: 若 X~ B(n1, p),则 X 是在 n1次独立重复试验中事件A 出现的次 数, 每次试验中A 出现的概率都为 p. 同样,Y 是在n2次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试 验中A 出现的概率为 p. 故 Z= X+Y 是在 n1+ n2 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A出现的概率仍为 p,于是 Z 是以(n1+ n2 , p)为参数 的二项随机变量, 即 Z ~ B(n1+n2, p).

例7

若X 和 Y 独立,且均服从U[0,1], 求Z=X+Y 的密度.
?

解 卷积公式 f Z ( z ) ? ??? f X ( x ) f Y ( z ? x )dx 由题意知:当 0 ? x ? 1, x ? z ? 1+x 时, 0 ? z-x ? 1 f X ( x ) fY ( z ? x ) ? 1 ? 1 ? 1 ; 其他区域上, f X ( x ) fY ( z ? x ) ? 0 , 当 z < 0 时, f Z ( z ) ? ??? 0 dx ; 当 0 ? z < 1 时, f Z ( z ) ? ? dx; 0 当 1 ? z < 2时, f Z ( z ) ? ?z ?1 dx 当 z ? 2时, f Z ( z ) ? ??? 0 dx ;
? ?

z 2 1

z = x+1

z=x

0

x

z

1

? z, 0 ? z ? 1 ; ? ? f Z ( z ) ? ?2? z , 1 ? z ? 2; ? 0, 其他. ?

服从均匀分布的有限个独立地随机变量之和不服从均匀分布

2. Z =X /Y 的分布函数 X Z =X /Y 的分布函数为FZ ( z ) = P{Z ≤ z } ? P { Y ? z } ? ?? f ( x , y )dxdy x / y?z Fz ( z ) ? ?? f ( x , y )dxdy ? ?? f ( x , y )dxdy
G1 G2

?? f ( x, y )dxdy ? ?0 dy??? f ( x, y )dx G ?? z y ? 0 y f ( yu, y ) du ? ? ?? ??u ? ??, 交换积 x ?0 dy ??
1

??

x=yu

y

yz

x y ?z

G1 ( y>0)
0

分次序

x ?z ? ??? du ?0 y f ( yu, y ) d y
0 ??

?z y z

?? ?u

x=yu
0z

x ( y<0) G2

G2

? ??? du y yu y u ?? f ( x, y )dxdy ? ??? dy ?yz f ( x, y ) d x ? ????dy ?z??? y ff((yu,, y ))ddy

?? 0

用来求 Z=X /Y x ?? 由概率密度与分布函数的关系:y F ((xyz , ?y? d yt ) d记住!! ?( x ) ? f ( x ) ) ? ?) f ( t, F f z ( z ) ? ??? f 的概率密度

F ?z y f ( [ ??, y y y ?? ) f ( du Fz ( z ) ? ???z[( 0 ) ? ??? yu? y ) df (? u,?yy d y]yu, y ) dy] du
??

z

??

z

??

0

特别地,当X,Y 相互独立时,

f z ( z ) ? ??? y f X ( y z) f Y ( y ) d y

例8(P116 例20) 设(X,Y)分别表示两只不同型号灯泡的寿命, 且X,Y 相互独立, 它们的概率密度分别为 求Z=X/Y 的概率密度. 解 若 z ? 0, f z ( z ) ? 0 ; 若 z > 0,
?e ? x , x ? 0; f X ( x) ? ? ? 0 , 其他,
?2e ?2 y , y ? 0 ; fY ( y ) ? ? ? 0 , 其他 .

f z ( z ) ? ??? y f X ( y z) f Y ( y ) d y

??
??

? ?0 y e ? y z 2e ?2 y d y
? ?0 2 y e ? y ( 2? z )d y
? 2 , ( 2 ? z )2
??

2 ? ?( 2 ? z )2 , z ? 0 ; ? f z (z) ? ? ? 0, z ? 0. ?

3. M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数 X,Y是两个相互独立的随机变量, 其分布函数分别为FX (x) 和 FY (y), 求 M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y) 的分布函数. 分析 M=max(X,Y)不大于z ? X 和Y都不大于z,故有 Fmax (x) = P(M≤z) = P(X≤z, Y≤z) 又由于X 和Y 相互独立,于是 M=max(X,Y) 的分布函数为 Fmax (z) = P(M≤z ) = P(X≤z)? P(Y≤z) z, Y≤z ) 即有 Fmax(z) = FX (z) · Y (z) . F 均可以推广到 n 维

N=min(X,Y) 的分布函数为 Fmin (z) = P(N≤z) = 1- P(N > z) > 即有 Fmin (z) = 1-[1-FX (z)]· = 1-P(X > z, Y P(Y > z) [1-F1- P(X > z)· z) Y (z)] . Fmax(z) = [F (z)]2 Fmin (z) = 1-[1-F (z)]2
特别地,若X 与Y 的分布函数相同时 若X1, …, Xn是连续型随机变量, 在求得 M = max(X1, …, Xn)和 N = min(X1, …, Xn) 的分布函数后,不难求得 M 和N 的概率密度 .

例9 设系统 L由两个独立的子系统 L1, L 2 联接而成, 联接的方式分别为: (1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统L1 损时, 系统L2 开始工作), 设L1, L 2的寿命分别为X, Y, 已知它们的概率 密度分别为 ? ax ? bx , ,
?ae f X ( x) ? ? ? 0, , x?0 ?be fY ( y) ? ? x ? 0, ? 0,

, x?0 , , , ( a ? 0 b ? 0 且 a? b ) x?0
L2
Y

试分别就以上三种联接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度. L1 解 (1)串联的情况: 由于当 L1, L 2中有一个损坏 X 时,系统 L 就停止工作, 故 L 的寿命为 Z=min(X,Y),
x ? 1 ? ae ? ax, x ? 0 , F X ( x ) ? ??? f X ( t ) d t ?? x ? 0, ? 0,

? 1? b e ? by, y ? 0 , FY ( y ) ? ? y ? 0, ? 0, ( )z ? 1? e ? a ? b , z ? 0 , Z = min(X,Y) 的分布函数为 Fmin ( z ) ? ? z ? 0. ? 0, ( a ? b) z ? ? (a ? b X (z)]· , Y (z)], Fmin((z) = 1-[1-F) e [1-F z ? 0 ? f min z ) ? ? z ? 0. ? 0,

(2)并联的情况: 由于当且仅当L1, L 2都损坏时, 系统 L 才停止工作, 故 L 的寿命为 Z=max(X,Y), Z=max(X,Y)的分布函数为 z z

L1 L2

X Y

?(1? e ? a )( 1? e ? b ), z ? 0 , Fmax ( z ) ? FX ( x )FY ( y ) ? ? z ? 0. 0, ? az ( a ? b) z , z? 0, ? a e ? ? b e ? b z ? ( a? b ) e ? ? f max ( z ) ? ? z ? 0. ? L1 0,

。 X (3)备用的情况: 由于当系统 L1 损时,系统 L2 才 。 Y 开始工作, 故 L 的寿命为 Z=X+Y, L2 Z 的概率密度函数, 当 z ? 0 时, f ( z ) ? 0 ; z ?? 当 z > 0 时, f ( z ) ? ??? fX ( z ?y ) fY ( y ) d y ? ?0 a e?a ( y ? z )be ?b ydy
z ? abe ? az ?0 e?( a ?b) y dy ? ab [e ?az ? e ?bz ] b?a ? ab [e ?az ? e ?bz ] , z ? 0 , ? f (z) ? ? b ? a ? 0, z? 0. ?

当X1,…,Xn相互独立,且具有相同分布函数F(x)时, 常称 M = max(X1, … , Xn),N = min(X1, … , Xn) 为极值 .
由于一些灾害性的自然现象,如地震、洪水等等都是极值, 研究极值分布具有重要的意义和实用价值. 以上采用分布函数法讨论了和、商以及极值的分布问题, 其他形式的函数的分布问题仍可采用分布函数法来解决, 例如:

例10 设(X,Y)的概率密度为 求 Z =X-Y 的概率密度 . 解 ∵ FZ(z)= P(Z? z ) = P( X-Y ? y )) dy ?? f ( x, z dx
x ? y?z

3 x , 0 ? x ?1, 0 ? y ? x ; f ( x, ) ? ? y ? 其他. ? 0,
y

y =x x-y = z

当 0 < z < 1 时, z x x 1 d x ?0 3 x d y ? ?z d x ?x ?z 3 x d y ? ( 3 z ? 1 z 3 ; ? FZ (z ) ? ?0 2 2 ) 当 z ? 0 时, FZ (z ) ? 0 ;
0
x

z

1

x

当 z ? 1时, FZ (z ) ? ?0 d x ?0 3 x d y = 1 ,
1

? 2 ( 1 ? z 2 ) , 0 ? z ? 1; ? f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? ? ? ? 0, 其他 .

3

例11(P121 例23 ) 若X 和 Y 独立, 且概率密度分别为,
? 2 e ? x2 ? , 0 ? x ? ??; ? f X ( x) ? ? ? 0, 其他, ?

? 2 e ? y2 ? , 0 ? y ? ??; ? fY ( y ) ? ? ? 0, 其他, ?

求 Z ? X 2 ? Y 2 的概率密度 . 解 ∵ X 和Y 独立, ? 4 e ?( x ? y ) , 0 ? x ? ?? , 0 ? y ? ?? ; ? f ( x , y ) ? f X ( x ) ? fY ( y ) ? ? ? ?
2 2

? ?

0,

其他,

y

当 z ? 0 时, FZ(z)= P(Z ? z ) ? P ( X 2 ? Y 2 ? z ) = 0 ; 当 z > 0时, FZ ( z ) ? P ( X 2 ? Y 2 ? z ) ? P ( X 2 ? Y 2 ? z 2 ) 2 2 ? ?? f ( x , y ) dx dy ? ?? 4 e ?( x ? y ) dx dy ? 2 2 2 x ?y ? z
2 2 2

Z ? X 2? Y 2

0

x

x ?y ? z

? ?0 d?

? /2

e ? ? ? d? ? ( 1 ? e ? z 2 )? , ?0
z
2

2 2 z e?z , z ? 0; ? f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? ? ? ? ? 0, 其他 .

我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法,需重点掌握的是: 1. 已知两个随机变量的联合概率分布,会求其函数的概率分布; 2. 会根据多个独立随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布. 离散型的分布函数 请通过练习熟练掌握 ? Z=X+Y 或 Z=XY——先找出Z 的取值, 再用独立性或其他条件. ? Z=max{X,Y }——独立时, P{ Z ? k } ? P { X ? k , Y ? k } ? P { X ? k , Y ? k } 连续型的分布函数 ?? ?? ? Z=X+Y—— f Z ( z ) ? ??? f ( z ? y , y ) d y ? ??? f ( x , z? x ) dx ?? ?? 独立时, f Z ( z ) ? ??? f X ( z ? y ) f Y ( y ) d y ? ??? f X ( x ) f Y ( z ? x ) d x ? Z=X/Y—— f z ( z ) ? ??? y f ( yz , y ) d y, Fz ( z ) ? ??? [ ??? y f ( yu, y ) d y]du ?? 独立时, f z ( z ) ? ??? y f X ( y z) f Y ( y ) d y ? Z= max(X,Y)—— 独立时, Fmax(z) = FX (z) · Y (z) , F 有相同的分布函数时,Fmax(z) = [F (z)]2 ? Z= min(X,Y)—— 独立时, Fmin (z) = 1-[1-FX (z)]· [1-FY (z)] 有相同的分布函数时,Fmin (z) = 1-[1-F (z)]2
?? z ??

我们介绍了如何求随机变量函数的分布函数. 但有时我们 无法精确求出此分布. 例如,想求两个独立连续型随机变量之和X+Y 的分布函数, X 的密度函数为 f X , Y 的密度函数为 f Y , 在理论上,可以求得:
f Z ( z ) ? ??? f X ( z ? y ) f Y ( y ) d y ? ??? f X ( x ) f Y ( z ? x ) d x
?? ??

当这个积分无法精确求出时,一个可取的方法是采用计算 机模拟.

小结 对于离散型随机变量,先找出Y 与 X 的对应 值g(xk) ,再利用 X 的分布列来求Y 的分布列, g(xk) 中有相同值时,将其概率相加并项.
当Y = g(X) 具有单调性时,用定 对于连续型 理求得 Y 的分布; (4步) 随机变量 当Y = g(X) 不具有单调性时,用 分布函数法来求得Y 的分布. (2步)


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