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2013-2014学年江苏省连云港市新海高级中学高一数学下高级中学学期期中试卷

江苏省新海高级中学 2013-2014 学年度第二学期期中考试

高一年级数学试卷
命题人: 杨善安 霍小伟 2014.5.8 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.与 2014? 终边相同的最小正角是 ▲ . 2.已知角?的终边经过点 P(3,-4),则 sin?-2cos?的值是 ▲ . ▲ .

3.已知 a =(-3,2) ,b =(-1,0) ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 4.已知正△ ABC 的边长为 1,则 AB? BC ? BC? CA ? CA ? AB ? 5. 若 f (sin x) ? sin 3x, 则 f (cos75 ) ? ▲ .
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??





0 6. 已知 a ? 1, b ? 2 ,若 a, b 的夹角为 60 ,则 2a ? b =

?

?

? ?

?

?



. ▲ . .

7. 一个正三棱锥的高和底面边长都为 a ,则它的侧棱和底面所成角= 8. 已知函数 y ? ln?4 ? x ? ? 2 x ? 5 , 则此函数的定义域为 9.设 ? >0,函数 y=cos( ? x+ 小值是 ▲ .
2 2



? 2? )+1 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最 3 6
▲ .

10. 函数 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? cos x( x ? R) 的单调递增区间为 11.已知 tan ? ? 3 ,则
sin 3 ? ? 5cos ? 的值为 2 cos3 ? ? sin 2 ? cos ?





12. 已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ?5 ? ? 2?? ? ? ,则 sin? ? ? x ? ? sin ? ? x ? = 6? 4 ?6 ? ?3 ?
2 2 2





13.如图,设 G、H 分别为△ ABC 的重心、垂心,F 为线段 GH 的中点,若△ ABC 外接圆 的半径为 1,则 AF ? BF ? CF

?





A

H
F

G

B
(第 13 题)
高一数学试卷第 1 页

C

14. 已知 x,y 均为正数, ? ? ? 0,

sin ? cos? ? ?? , ? ? ,且满足 x y ? 4?
▲ .

x cos2 ? sin 2 ? 17 ,则 的值为 ? ? 2 2 2 2 y x y 4?x ? y ?
字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 .......

如图在单位圆中,已知 ?、? 是坐标平面内的任意两个角,且 0 ? ? ? ? ? ? , 请写出两角差的余弦公式并加以证明.

y

P1

? ?
O

P2
1

x

第 15 题 16. (本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上, AD ? C1D. (1)求证: AD ? 平面 BCC1 B1 ; (2)如果点 E 是 B1C1 的中点,求证: A1 E //平面 ADC1 .

A1
E

C1

B1

A D B 第 16 题

C

高一数学试卷第 2 页

17. (本小题满分 14 分) 已知向量 a =(cos ?? ,cos( 5 ? ? )? ), b =( sin(5 ? ? )? ,sin ?? ), ? ,? ? R (1) 求 a ? b 的值; (2) 若 a ? b ,求 ? ; (3) 若 ? ?
2 2

?

?

?

10

,求证: a / / b .

18. (本小题满分 16 分) 已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ? (1)求 a , b 的值; ( 2) 判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f t ? 2 ? f 2t ? k ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

? 2x ? a 是奇函数, 2 x ?1 ? b

?

? ?

?

高一数学试卷第 3 页

19. (本小题满分 16 分) 已知向量 m ? (cos ? x,1) , n ? ( 3,sin ? x) ( ? ? 0 ) ,函数 f ( x) ? m ? n ,且 f ( x) 图象 上一个最高点为 P (

?
12

,2) ,与 P 最近的一个最低点的坐标为 (

7? , ?2) . 12

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 a 为常数,判断方程 f ( x) ? a 在区间 [0, (3)在锐角 ?ABC 中,若 cos(

?
2

] 上的解的个数;

?
3

? B) ? 1 ,求 f ( A) 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知圆 C 通过不同三点 M ?m,0?, N ?2.0?, R?0,1? ,且直线 CM 斜率为 ? 1 , (Ⅰ) 试求圆 C 的方程; (Ⅱ)若 Q 是 x 轴上的动点, QA, QB 分别切圆 C 于 A, B 两点, (1) 求证:直线 AB 恒过一定点; (2) 求 QA? QB 的最小值.
? ?? ? ??

高一数学试卷第 4 页

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 214
0

2. ? 2

3. ?

1 3 4. ? 5. 7 2

1 2 ?5 ? 0 6. 2 3 7. 60 8. ? ,4 ? 9. 4 2 ?2 ?

10.

19 1 ? 5? ? ? ? ? 11.-11 12. 13.3 14. k ? ? , k ? ? k ? z ? 2 16 8 8? ? ?

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 共计 90 分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. 解:两角差的余弦公式为:

cos (? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
证明:设
? ??

…………………6 分

P . 1 ?cos? , sin ? ?, P 2 ?cos? , sin ? ?
? ??

则 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? , OP 2 ? ?cos? , sin ? ? , 因为 OP 1 ? OP 2 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,又因为
? ?? ? ??

? 1 ? 1 ? cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?. OP 1 ? OP 2 ? OP1 ? OP 2 ? cos?? ? ? ?

? ??

? ??

? ??

? ??

(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . 所以 cos


…………………14 分

16.证: (1)? CC1 ? 面ABC, AD ? 面ABC,?CC1 ? AD,

又? AD ? C1D, CC1 ? C1D ? C1 , ? AD ? 平面 BCC1 B1 . …………………7 分
(2) 因为 AD ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AD ? BC . 从而 D 是 BC 中点.连接 DE , 则DE // AA1 .
???

?四边形A1 ADE是平行四边形 . ? A1E // AD. ? AD ? 面ADC1 , A1E ? 面ADC1 ,

? A1E //平面 ADC1 .…………………14 分
17.解:

高一数学试卷第 5 页

(1) a ? b =2…………………4 分 (2) cos?? ? sin?5 ? ? ?? ? cos?5 ? ? ?? ? sin ?? ? sin??5 ? ? ?? ? ?? ? ? sin 5? ? 0,

2

2

?? ?

k? , k ? z. …………………9 分 5

(3) ? ?

?
10

时, a = ? cos

? ?

?

?

10

? , cos?5 ? ? ?

? ? ? ? ?, b ? ? sin?5 ? ? ? , sin ? ? , 10 ? 10 10 ? ?
? ? ?

? cos

?
10

? ? sin

?
10

1 ? ? ? sin ? , 2 5 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? sin ?5 ? ? ? ? sin? ? ? ? ? ? sin ? . 10 2 5 2 ? 5 ? 2 5

cos ?5 ? ? ?

?
10

? sin ?5 ? ? ?

?

? a / / b .…………………14 分
18.解: (1)? f ?? x ? ? ? f ?x ?,

?

? 2? x ? a 2 x ? a ? 2 ? x ?1 ? b 2 x ?1 ? b



??21? x ? b??2 x ? a ? ? ?2 x ?1 ? b??a ? 2? x ?,?4 ? 2ab ? b ? 2 x ? 2a ? 2 ? x ? 2a ? 2 x ? b ? 2 ? x
?4 ? 2ab ? 0 ?a ? 1 ? ?? .…………………4 分 ?b ? 2a b ? 2 ? ?2 a ? b ?
(2)因为 f ? x ? ? ?

1 1 ? ,所以 y ? f ?x ? 是单调递减的. 2 1 ? 2x

证明:设 x1 ? x2 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

?

2 x2 ? 2 x1 x x ,因为 x1 ? x2 , 所以 2 2 ? 2 1 ? 0, 从而 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2

??

?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,所以 y ? f ?x ? 在 R 上是单调递减的. …………………10 分
(3)? f t ? 2 ? ? f 2t ? k , 又? f ? x ? 是奇函数,? f t ? 2 ? f k ? 2t , 又? f ? x ?
2 2 2 2
2 2 2 是减函数,? t ? 2 ? k ? 2t ,即 k ? 3t ? 2, ? k ? ?2. …………………16 分

?

?

?

?

?

? ?

?

高一数学试卷第 6 页

19. (1) f ?x ? ? 2 sin? ?x ?

? ?

??

T 7? ? ? ? ? ,?T ? ? . ?, ? ? 3 ? 2 12 12 2

又? T ?

2?

?? ? ,?? ? 2. ? f ?x ? ? 2 sin? 2 x ? ?. …………………4 分 ? 3? ?
? ?

(2)? f ?x ? ? 2 sin? 2 x ?

??

? ?, x ? [0, ] ,? f ?x ?? 3,2 . ,故有图像知 f ( x) ? a , 2 3?

? ?

所以 a ? 2 或 ? 3 ? a ? 3 时,方程一解;

3 ? a ? 2 时,方程两解;
a ? 2 或 a ? ? 3 时,方程无解. …………………10 分

(3) B ?

?
3

,? A ? B ?

?
2

,0 ? A ?

?
2

,?

?
6

? A?

?
2

.

? 2A ?

?

?? ? 2? 4? ? ? ? ? , ? ,? f ? A? ? sin? 2 A ? ? ? ? 3, 3 . …………………16 分 3 ? 3 3 ? 3? ?
2 2 2 2

?

?

20.(Ⅰ)设圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0),

?1 ? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? ? D m?2 ?? ? 2 则? 2 ,? D ? 1, E ? 5, F ? ?6, m ? ?3. E ? ? ?2 ? ?1 ? D ?? ? m ? 2

1? ? 5? 25 ? 即圆 C : x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0. (也可以写成 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . …………… 2? ? 2? 2 ?
2 2

2

2

5分

高一数学试卷第 7 页

(Ⅱ) (1)设 Q?x0 ,0? ,则过 Q, A, B 三点的圆是以 QC 为直径的圆. 设为圆 C1 : ?x ? x0 ?? x ?

? ?

1? 5? ? ? ? y? y ? ? ? 0 2? 2? ?

① ②

又因为圆 C : x 2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 6 ? 0

1 ? x? ?0 ? 1? 1 5 ? ? 2 ②-①得: ? x ? ? x0 ? x ? y ? 6 ? 0 ,? ? 2? 2 2 ? ?1 x ? 5 y ? 6 ? 0 ? 2 ?2
1 5 ? 1 5? ? x ? ? , y ? . ?恒过定点 ? ? , ?. …………………10 分 2 2 ? 2 2?

5 2 cos? ,则 (3) 设 ?AQB ? 2? , 则 QA ? QB ? 2 sin ?
? ?? ? ??

? ?? ? ??

QA? QB ?

25cos2 ? 25 cos2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? 2 sin 2 ?

?

?

=

25 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? 25 ? 1 ? ? = ? ? 2 sin 2 ? ? ? 3? , 2 2 2 sin ? 2 ? sin ? ?
? ?? ? ??

?

??

?



? ?? t ? sin 2 ? ,? ? ? 0, ?, ? 2?
? ?? ? ??

QA? QB

?

25 ? 1 ? ? 2t ? ? 3?, 2? t ?



t?

2 2





QA? QB min ?

25 75 2 2 ? 3 ? 25 2 ? . …………………16 分 2 2

?

?

高一数学试卷第 8 页


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