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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.2.1对数与对数运算(一


2.2.1 对数与对数运算(一)
(一)教学目标 1.知识技能: ①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ②理解和掌握对数的性质; ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . 3.情感、态度、价值观 (1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力. (2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . (3)在学习过程中培养学生探究的意识. (4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力. (二)教学重点、难点 (1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 (2)难点:推导对数性质的 (三)教学方法 启发式 启发学生从指数运算的需求中, 提出本节的研究对象——对数, 从而由指数与对数的关 系认识对数,并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算. 引导学生在指数式与对数式的互化过程中, 加深对于定义的理解, 为下一节学习对数的 运算性质打好基础. (四)教学过程

教学 环节 提出 问题 1.提出问题

教学内容

师生互动

设计意图

老师提出问题, 学生思考回答. 启发学生从指数运算的需

由实际问 题引入, 激发学 生的学习积极

(P72 思考题) y = 13 × 1.01x 中,哪一年 的人口数要达到 10 亿、20 亿、30 亿……,该

如何解决? 即:

求中,提出本节的研究对象— —对数,

性.

18 20 30 = 1.01x , = 1.01x , = 1.01x , 13 13 13

在个式子中, x 分别等于多少? 象上面的式子, 已知底数和幂的值, 求指 数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出 对数的概念).

概念 形成

合作探究:若 1.01x=
1.01 为底的

18 ,则 x 称作是以 13

合作探究 师:适时归纳总结,引出 对数的定义并板书.

让学生经 历从“特殊一 一般”,培养 学生“合情推

18 的对数.你能否据此给出一个一 13

般性的结论? 一般地,如果 a =N(a>0,且 a≠1) ,那 么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 举例:如: 4 = 16, 则2 = log 4 16 ,读作
2

x

理”能力,有 利于培养学生 的创造能力.

2 是以 4 为底,16 的对数.

4 2 = 2 ,则
为底 2 的对数.

1

1 1 = log 4 2 ,读作 是以 4 2 2

概念 深化

1. 对数式与指数式的互化

掌握指数式与对数式的互 化、而且要明确对数运算是指 数运算的逆运算.

通过本环 节的教学,培 养学生的用联 系的关点观察 问题.

在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制 a >0,且 a ≠1 (2) a = N ? log a N = x
x

指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 幂 数← x →对数 ←N→真数

说明:对数式 log a N 可看作一记号,表 示底为 a ( a >0,且 a ≠1) ,幂为 N 的指数工 表示方程 a = N ( a >0,且 a ≠1)的解. 也
x

可以看作一种运算,即已知底为 a ( a >0, 且 a ≠1)幂为 N,求幂指数的运算. 因此,对 数式 log a N 又可看幂运算的逆运算. 2. 对数的性质: 提问:因为 a >0, a ≠1 时,

a x = N ? x = log a N
则 由1、a 0=1 何转化为对数式 ②负数和零有没有对数? ③根据对数的定义, a
log a N

2、a 1= a



=?

(以上三题由学生先独立思考, 再个别提 问解答) 由以上的问题得到 ①

Q a 0 = 1, a1 = a

( a >0,且

a ≠1)
② ∵ a > 0 , 且 a ≠1 对 任 意 的 力 ,

log10 N 常记为 lg N .
恒等式: a 3. 两类对数 ① 以 10 为底的对数称为常用对数,
log a N

=N

log10 N 常记为 lg N .
② 以无理数 e=2.71828…为底的对数称

为自然对数, log e N 常记为 ln N .

以后解题时, 在没有指出对数的底的情况 下,都是指常用对数,如 100 的对数等于 2, 即 lg100 = 2 .

应用 举例

例 1 将下列指数式化为对数式,对数式 化为指数式: (1)54=625; (2)2 6=


例 1 分析:进行指数式和 对数式的相互转化,关键是要 抓住对数与指数幂之间的关 系,以及每个量在对应式子中 扮演的角色. (生口答,师板书) 解: 1)log5625=4; ( (2)log2 1 =-6; 64 (3)log 1 5.73=m;
3

通过这二 个例题的解 答,巩固所学 的指数式与对 数式的互化, 提高运算能 力.

1 ; 64

1 (3) )m=5.73; ( 3

(4)log 1 16=-4;
2

(5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303.

(4 ) (

1 -4 ) =16; 2


(5)10 2=0.01; (6)e2.303=10.

例 2 分析:将对数式化为 例 2:求下列各式中 x 的值 (1) log 64 x = ? (2) log x 8 = 6 (3) lg100 = x (4) ? ln e = x
2

指数式,再利用指数幂的运算 性质求出 x. 解: 1) (

2 3

x = (64)
=4
2 3?( ? ) 3

?

2 3

= (43 )

?

2 3

= 4?2 =

1 16

(2) x 6 = 8,

所以( x ) = (8)
1 1

1 6 6

1 6

= (23 ) 6 = 2 2 = 2

(3) 10 = 100 = 10 ,
x 2

于是x = 2
(4)由 ? ln e = x,
2

得 ? x = ln e 2 , 即e-x = e2
所以 x = ?2

练习 (生完成, 师组织学生 进行课堂评价) 解答:1.(1)log28=3; (2)log232=5; 课本 P74 练习第 1,2,3,4 题. (3)log2

1 =-1; 2
1 3

(4)log27 =-

1 . 3

2.(1)32=9; (2)53=125; (3)2 2=


1 1 - ; (4)3 4= . 81 4

3. ( 1 )设 x=log525 ,则 5x=25=52,所以 x=2;

( 2 ) 设 x=log2 1 , 则 16
- 2x= 1 =2 4,所以 x=-4; 16

( 3 ) 设 x=lg1000 , 则
10x=1000=103,所以 x=3;

( 4 ) 设 x=lg0.001 , 则
10x=0.001=10 3,所以 x=-3. 4.(1)1; 2)0; 3)2; ( (


(4)2; 5)3; 6)5. ( (

归纳 总结

1.对数的定义及其记法; 2.对数式和指数式的关系; 3.自然对数和常用对数的概念.

先让学生回顾反思,然后 师生共同总结,完善.

巩固本节 学习成果,形 成知识体系.

课后 作业

作业:2.2 第一课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 将下列指数式与对数式进行互化. (1) ( ) x = 64
1 4

(2) 5

?

1 2

=

1 5

(3) log 1 27 = ?3
3

(4)log x 64 = ?6

【分析】利用 ax = N ? x = logaN,将(1) (2)化为对数式, (4)化为指数式. (3) 【解析】 (1)∵ ( ) x = 64 ,∴x = log 1 64
4

1 4

(2)∵ 5

?

1 2

=

1 5

,∴ log 5

1 5

=?

1 2

(3)∵ log 1 27 = ?3 ,∴ ( ) ?3 = 27
3

1 3

(4)∵logx64 = –6,∴x

-6

= 64.

【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据,同时,教材的“思考”说明了 这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时,依据对数的定义 ab = N ? b = logaN 进行转换 即可. 例 2 求下列各式中的 x. (1) log 8 x = ? (2) log x 27 =
2 ; 3 3 ; 4

(3) log 2 (log 5 x) = 0 ; 【解析】 (1)由 log 8 x = ? 得x=8
? 2 3

2 3

= (2 3 )

?

2 3

= 2–2,即 x =

1 . 4

(2)由 log x 27 =
4

3 ,得 x 4 = 27 = 3 3 , 4

3

∴ x = (3 3 ) 3 = 3 4 = 81 . (3)由 log2 (log5x) = 0 得 log5x = 20 = 1. ∴x = 5. 【小结】 (1)对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段. (2)第(3)也可用对数性质求解.如(3)题由 log2(log5x) = 0 及对数性质 loga1=0. 知 log5x = 1,又 log55 = 1. ∴x = 5.


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