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山西省曲沃县2012-2013学年高二数学下学期第一次月考试题 理 新人教A版 2


曲沃中学 2012-2013 学年高二下学期第一次月考数学理试题
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选题择(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 )
2 1.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? ( )

A. (1, 2)

B. [1, 2)

C. (1, 2]

D. [1, 2]

2.下列命题中,真命题是( ) A.

?x0 ? R, e x0 ? 0

B. ?x ? R,2 ? x
x

2

a C.a+b=0 的充要条件是 b =-1

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 )

3.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是( A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

4.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, “ f (x) 为 [0,1] 上的增函数” “ f ( x) 则 是 为 [3,4] 上的减函数”的( )

A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件
2 5.已知 x=lnπ ,y=log52, z ? e ,则( ? 1

) D.y<z<x

A.x<y<z

B.z<x<y

C.z<y<x

?1,x为有理数 D( x ) ? ? , 0,x为无理数 ? 6.设函数 则下列结论错误的是( )
A. D(x)的值域为{0,1} C. D(x)不是周期函数 B. D(x)是偶函数 D. D(x)不是单调函数

?? a-3? x+5? x≤1? , ? 7.已知函数 f(x)=?2a 是(-∞, +∞)上的减函数, a 的取值范围是( 则 ? ? x>1? ?x
A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]

)

1

y ? ax ?
8. 函数

1 (a ? 0, a ? 1) a 的图象可能是(



已知关于 x 的函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 10.设函数 f(x)、g(x)的定义域分别为 F、G。若对任意的 x∈F,都有 g(x)=f(x),则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数” .已知函数 f(x)=2x(x≤0),若 g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函 数,且 g(x)是偶函数,则函数 g(x)的解析式是( )

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则当 x∈[-4, -2]时,f(x)的最小值是( ) 1 A.-9 1 B.-3 1 C.9 D.-1

1 1 12.已知α 、β 是三次函数 f(x)=3x3+2ax2+2bx 的两个极值点,且α ∈(0,1),β ∈(1,2),则 b-2 的取值范围是( a-1 )

?1 ? ? ,1? A. ? 4 ?

?1 ? ? ,1? B. ? 2 ?

? 1 1? ?? , ? C. ? 2 4 ?

? 1 1? ?? , ? D. ? 2 2 ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 )
2 13.已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ?

.

2 14.如果不等式 4x ? x ? (a ? 1) x 的解集为 A ,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么实数 a 的取

值范围是

.

f ? x ? ? f ? 2x ? 3? 15. 定义在 R 上的偶函数 f ?x ? 在[0, ? ? )上是增函数,则方程 的所有实
数根的和为 . 16.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ,且当

2

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 x ?[?2, 0] 时, ?2? ,若关于 x 的方程

x

? a ? 1? 在区间 (?2, 6] 内恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是

.

解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) (本小题满分 10 分) 集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈R 时,若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) x-2 x-a2-2 已知全集 U=R,非空集合 A={x| <0},B={x| <0}. x-?3a+1? x-a 1 (1)当 a=2时,求(?UB)∩A; (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知:2 ? 256 且 log 2
x

x?

1 2,

(1)求 x 的取值范围;

? ? x ? log ? x ? 2? ? ? 2 ? 的最大值和最小值。 (2)求函数 f(x)= log 2 ( 2 )
20.(本小题满分 12 分) 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23,且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0),且 f(x+1)为偶函数,定义:满足 f(x)=x 的实数 x 称为函 数 f(x)的“不动点” ,若函数 f(x)有且仅有一个不动点. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)+kx2 在(0,4)上是增函数,求实数 k 的取值范围; (3)是否存在区间[m,n](m<n),使得 f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,请求 出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=2x 平行, y=g(x)在 x=-1 处取得最小值 且 g? x? m-1(m≠0).设函数 f(x)= x . (1)若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值; (2)k(k∈R)如何取值时,函数 y=f(x)-kx 存在零点,并求出零点.

3

曲 沃 中 学 高 二 年 级 第 一 学 期 第 三 次 月 考 数 学 答 卷 纸 ( 理 科 ) 13.________________ 14._________ 15._______ 16.________ 17.

18. y

0

x

19

4

20

21

5

22. 1

6

【试题答案】 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

选择题 (本大 题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 第Ⅱ卷(非选择题,共 64 分) 填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. -1 14.

? 2,???

15. 4

? 16.

3

4, 2

?

三、解答题: (本大题共 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) [解答] (1)①当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?满足 B?A. ②当 m+1≤2m-1,即 m≥2 时,要使 B?A 成立,
? ?m+1≥-2, 需? 可得 2≤m≤3. ?2m-1≤5, ?

综上,m 的取值范围是 m≤3. (2)因为 x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又 A∩ B=?, 则①若 B=?,即 m+1>2m-1,得 m<2,满足条件. ②若 B≠?,则要满足的条件是
?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, ? ? ? 或? 解得 m>4. ? ? ?m+1>5 ?2m-1<-2,

综上,m 的取值范围是 m<2 或 m>4. (本小题满分 12 分)

7

9 x-4 x-2 1 5 1 9 [解析] (1)当 a=2时,A={x| 5<0}={x|2<x<2},B={x| 1<0}={x|2<x<4}. x-2 x-2 1 9 5 ∴(?UB)∩ A={x|x≤2或 x≥4}∩ {x|2<x<2} 9 5 ={x|4≤x<2}. (2)若 q 是 p 的必要条件,即 p?q,可知 A?B, 由 a2+2>a,得 B={x|a<x<a2+2}, 1 当 3a+1>2,即 a>3时, A={x|2<x<3a+1},
? ?a≤2 1 3- 5 ? ,解得3<a≤ 2 ; ? ?a2+2≥3a+1

1 当 3a+1=2,即 a=3时, A=?,符合题意; 1 当 3a+1<2,即 a<3时, A={x|3a+1<x<2}.
? ?a≤3a+1 1 1 1 ? ,解得 a≥-2,∴-2≤a<3; ?a2+2≥2 ?

1 3- 5 综上,a∈[-2, 2 ].

20. (本小题 满分 12 分) [解答] (1)证明:由 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=y=0,得 f(0)=0. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 f(x)+f(-x)=0,
8

即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (2)f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)是 R 上的单调函数,所以 f(x)在 R 上是增函数. 又由(1)知 f(x)是奇函数. f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0?f(k· 3x)<f(9x-3x+2)?k· 3x<9x-3x+2,即(3x)2-(1+k)3x+2>0 对 任意 x∈R 恒成立. 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 令 g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为 t= 2 , 1+k 当 t= 2 ≤0,即 k≤-1 时,g(0)=2>0,符合题意; 1+k ?1+k? 当 t= 2 >0,即 k>-1 时,则需满足 g 2 >0,解得-1<k<-1+2 2. ? ? 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 本题还有更简捷的解法: 2 2 分离系数由 k<3x+3x-1,令 u=3x+3x-1,u 的最小值为 2 2-1, 2 则要使对任意 x∈R 不等式 k<3x+3x-1 恒成立,只要使 k<2 2-1.

综上,k 的取值范围是

?3,+∞?. ?8 ?
1 1 1 1 (3)f(x)=-2x2+x=-2(x-1)2+2≤2, ∵在区间[m,n]上的值域为[3m,3n], 1 1 ∴3n≤2,∴n≤6, 1 故 m<n≤6,∴f(x)在区间[m,n]上是增函数,

9

? ?f? m? =3m, ∴? 即 ?f? n? =3n, ?

?-2m2+m=3m, ? 1 ?-2n2+n=3n,
1

1 ∴m,n 是方程-2x2+x=3x 的两根, 1 由-2x2+x=3x, 解得 x=0 或 x=-4, ∴m=-4,n=0. 22. (本小题满分 12 分) [解答] (1)设 g(x)=ax2+bx+c,则 g′ (x)=2ax+b, 又 g′ (x)的图象与直线 y=2x 平行, ∴2a=2,a=1. b 又 g(x)在 x=-1 处取最小值,∴-2=-1,b=2. ∴g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,c=m. g? x? m f(x)= x =x+ x +2,设 P(x0,y0), m? m2 ? 则|PQ|2=x2+(y0-2)2=x2+ x0+x0 2=2x2+ x2 +2m≥2 2m2+2m, 0 0 0 0 ? ? ∴2 2m2+2m=2,∴m=-1± 2.

1 若 m<0,k<1-m, -2± 4-4m? 1-k? 1± 1-m? 1-k? 函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x= = ; 2? 1-k? k-1 1 当 k≠1 时,方程(*)有一解?Δ=4-4m(1-k)=0,k=1-m,函数 y=f(x)-kx 有一个零点 x 1 = . k-1

10


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