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05 平面向量


5.1 向量
教学目标 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义; 2.理解向量的几何表示,会用字母表示向量; 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会判断向量间平行(共线)、相等的关系; 4.通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生的唯物辩证思 想和分析辨别能力. 教学建议 知识结构:

重点难点分析: 本节重点是向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示.向量在数学和物理学中应用很广泛, 提供了一种便于空间数形问题研究的方法.对学生来说向量是一种新的量,其特征有两个:既有大小, 又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键, 还要让学生理解向量和数量的区别联系, 建立一种新的量的思维体系.相等向量只与方向、大小有关,与位置没有关系,进一步理了解学习的向 量是自由向量,为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础.向量的几种表示方法在运算中必须用到, 掌握这几种表示法及几何表示的意义.

本节难点是向量概念的理解.由于向量是一种新的量,与以前的数量是不同的体系,两者之间既有 联系又有区别,数量的运算律、性质等对于向量是不适合的,让学生先直观上认识,再逐步抽象使学生 建立向量的运算、性质体系,改变学生误认为:数量的运算律对于向量也适合的.引入向量概念之后, 随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要 抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在 学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段 的身份、地位和作用. 教法建议: 1.采取实际问题的方式引入课题,例如:美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:向 1200 公里处发射两枚战斧式巡航导弹 (精确 10 米左右, 射程超过 2000 公里) , 试问导弹一定能击中目标吗? 或者象向量的概念从帆船航行的位移等其它实例, 通过具体实例使学生了解生活中除了表示大小的数量 外,有时还要标出方向,从而引出向量的概念.在讲解实例时最好结合相应几何图象配合,并充分发挥 几何图形的直观的特点,使学生在感性认识的基础上建立概念,并理解向量概念的实质.再让学生列举 实际生活中向量还有哪些,如速度、力、加速度等.向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来,而成 为平面内的一自由向量,因此教学时要注意把握概念的物理意义,理解有关概念的实际背景,有助于学 生认同新概念的合理性。 2.引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量, 平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生分析比较这些概念的区别与联系.由于向量同 时具有几何图象的特征,在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义,且图形还可以从简单 到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份, 地位和作用. 对于单位向量与以前的单位长度的区别要 给学生讲解清楚,单位向量不止一个,因为要表示不同的方向.讲清基本概念后,可让学生归纳数量和 向量的区别和联系. 3.对向量的位置不确定性的认识,即向量是自由向量,可以通过把向量放在简单几何图形中,体 现共线与平行的关系,准确理解相等向量的含义,在图形中帮助学生体会向量的几何特征和数量特征的 统一.相等向量的定义也可以通过师生共同讨论得到,如数量相等,是指大小相等的两个数量,那模相 等的两个向量是否相等?单位向量是否相等?让学生思考总结得到定义. 教学设计示例 一.教学目标 1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义,并能用数学符号表示向量; 2.理解向量的几何表示,会用字母表示向量; 3.了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义,并会判断向量的平行、相等、共线; 4.通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生进行唯物辩 证思想. 二.教学具准备 直尺、投影仪. 三.教学过程

1.设置情境 师:(边画图边讲解)美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:向 1200 公里处发射两枚战 斧式巡航导弹(精度 10 米左右,射程超过 2000 公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标? 生:不能,因为没有给定发射的方向. 师:现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 生:力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向. 师: 对! 力、 速度、 加速度等也是既有大小也有方向的量, 我们把既有大小又有方向的量叫做向量. 数 学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用 射线表示方向. (1)意义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等 (2)向量的表示方法: ①几何表示法:点和射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素:起点、方向、长度

符号表示:以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作

(注意起讫).

②字母表示法: 例

可表示为

(印刷时用黑体字)

用 1cm 表示 5n mail(海里)

(3)模的概念:向量

的大小——长度称为向量的模。

记作:|

|,模是可以比较大小的

注意:①数量与向量的区别:

数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 ②从 19 世纪末到 20 世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。 2.探索研究(学生自学概念) (1)介绍向量的一些概念 师:长度为零的向量叫什么向量?如何表示?长度为 1 的向量叫做什么向量?是不是只有一个? (学生看书回答) 生:长度为零的向量叫做零向量,表示为:0;长度等于 1 的向量叫做单位向量,有许多个,每个 方向都有一个. 师:满足什么条件的两个向量是相等向量?符号如何表示?单位向量是相等向量吗? 生:如果两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量,a=b 单位向量不一定是相 等向量,单位向量的方向不一定相同. 师:有一组向量,它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系? 生:平行. 师:对!我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量,符号如何表示?如果我们把一组平行向 量的起点全部移到同一点 ,这时它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?

生:是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上. 师:对!由此,我们把平行向量又叫做共线向量. (2)例题分析 【例 1】判断下列命题真假或给出问题的答案 (1)平行向量的方向一定相同? (2)不相等的向量一定不平行. (3)与零向量相等的向量是什么向量? (4)与任何向量都平行的向量是什么向量? (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (6)两个非零向量相等的充要条件是什么?

(7)共线向量一定在同一直线上吗? 解:(1)根据定义:平行向量可以方向相反,故命题(1)为假; (2)平行向量没有长、短要求,故命题(2)为假; (3)只有零向量; (4)零向量; (5)平行向量; (6)模相等且方向相同; (7)不一定,只要它能被平移成共线就行. 说明:零向量是向量,只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.

【例 2】如图,设 相等的向量.

是正六边形

的中心,分别写出图中与向量





解:

练习:(投影)在上题中

变式一,与向量

长度相等的向量有多少个?(11 个)

变式二,是否存在与向量

长度相等,方向相反的向量?(存在)

变式三,与向量 3.演练反馈(投影)

共线的向量有哪些?(有







(1)下列各量中是向量的是( A.动能 B.重量 C.质量

) D.长度

(2)等腰梯形 上, 过 且

中,对角线



相交于点

,点 )



分别在两腰



,则下列等式正确的是(

A.

B.

C.

D.

(3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量 参考答案:(1)B; 4.总结提炼 (1)描述一个向量有两个指标:模、方向. (2)平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这儿的平行是指方向相同或相反的一对向 量,它与长度无关,它与是否真的不在一条直线上无关. (3)向量的图示,要标上箭头及起、终点,以体现它的直观性. 四.板书设计 向 量 (2)D; (3)相等,相反

1.向量的定义 2.表示法 3.零向量和单位向量 4.平行向量(共线向量) 5.相等向量 典型例题 例 1.判断下列命题的真假: ①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量; ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件; 6.例题 7.演练反馈 8.总结提炼

③向量 ④向量

与 与向量

是共线向量,则 平行,则 与







必在同一直线上;

的方向相同或相反;

⑤四边形

是平行四边形的充要条件是



分析:判断上述五个命题的真假性,需细心辨别才能识其真面目. 解:①直角坐标系中坐标轴的非负半轴,虽有方向之别,但无大小之分,故命题是错误的. ②由于两个向量相等,必知这两个向量的方向与长度均一致,故这两个向量一定平行,所以,此命 题正确;

③不正确.∵



共线,可以有



平行;

④不正确.如果其中有一个是零向量,则其方向就不确定; ⑤正确.此命题相当于平面几何中的命题:四边形 边平行且相等. 是平行四边形的充要条件是有一组对

小结:学习向量时,由于向量具有数形两重性,所以不仅要知其本身的一些概念性质,还应与相关 的平面几何知识联系起来,这对理解向量的一些性质很有好处. 例 2.下列各量中是向量的有_______________. A 动能 B 重量 C 质量 D 长度 E 作用力与反作用力 F 温度

分析:用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识. 解:A,C,D,F 只有大小,没有方向,而 B 和 F 既有大小又有方向,故为向量. 小结::此题意在加强应用意识,注重与其他学科的综合,在应用背景中认识大小和方向的含义, 强化对向量的认识. 例 3.命题“若 A.总成立 B.当 , ,则 时成立 C.当 .”( ) 时成立 D.当 时成立

分析:这里要作出正确选择,就是要探求题中命题成立的条件.∵零向量与其他任何非零向量都平 行,∴当两非零向量 、 不平行而 选择 A,也不能选择 B 与 D,故只能选择 C. 答案:C 小结: 本例说明向量平行的传递性要成立, 就需“过渡”向量 情况下:① 反向,∴ 零,均有 与 时,∵ 同向或反向,∴ .由以上①②可以确定 ,∴ .②若 与 与 不为零向量. 事实上, 在 ,∴ 与 的 同向或 时,有 , ,但这时命题不成立,故不能

同向或反向.又∵

中有一个为零,则另一个无论为零还是不为

是正确的.

例 4.如图, 三边 量. 、 、





分别是△

的 共线的向

的中点,写出与

分 共线的向量的主要特性是与

析: 要注意到线段

是△

的中位线, 与

平行,结合中位线的性质可以得出结论.

解:与

共线的向量有















小结:应注意共线向量就是平行向量,所以在图中凡是与 量都是与 共线的向量.

共线或平行的有向线段所表示的向

例 5.如图,



?

是⊙

上的八个等分点,则在以



?

及圆



个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少?模等于半径 个?

倍的向量有多少

分析:(1)由于



?

是⊙

上的八个等分点,所以八边形

?

是正八 与

边形, 正八形的边及对角线长均与⊙ ( 、2?8)两类.

的半径不相等. 所以模等于半径的向量只可能是

(2)⊙ 内接正方形的边长是半径的 两点为端点的向量个数.

倍,所以我们应考虑与圆心

形成

圆心角的

解: (1) 模等于半径的向量只有两类, 一类是 2?8)也有 8 个.两类合计 16 个.



、 2?8) 共 8 个; 另一类是





(2)以 一个是正方形



?

为顶点的⊙

的内接正方形有两个,一个是正方形

;另

.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对 倍.所以模为半径 倍的向量共有 个.

应两个向量)的长度为半径的

小结:(1)在模等于半径的向量个数的计算中,要计算 般地我们易想到 ( 、2?8)这 8 个,而易遗漏

与 (



、2?8)两类.一

、2?8)这 8 个.

(2) 圆内接正方形的一边对应了长为 的两个向量, 例如边 对应向量 与 因此与(1)一样,在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为 8 是错误的.



例 6.在平面中下列各种情形中,将各向量的终点的集会分别构成什么图形? (1)把所有单位向量的起点平移到同一点 (2)把平行于直线 (3)把平行于直线 解:(1)以点 (2)直线 (3)直线 . 上的 . 点.

的所有单位向量的起点平移到直线 的所有向量的起点平移到直线

上的点

为圆心,1 为半径的圆. 上与点 . 的距离为 1 个长度单位的两个点.

小结: 本小题考查向量的平移变换和单位向量等基础知识, 考查对向量与集合知识的综合运用能力. 扩展资料 向量的由来 向量又称为矢量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度 等都是向量.大约公元前 350 年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的 组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使 用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向.但是在高等数 学中还有更广泛的向量.例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看 成一个向量.在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量 比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以指导线性代数方法应用到 广阔的自然科学领域中去了.因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内 容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间” 这一抽象的概念提供出了一个具体的模型. 从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到 19 世纪 末 20 世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体 系. 向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18 世纪末期,挪威测量学家威塞 尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把 坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了 复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学. 但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体, 则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19 世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数 (包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基 础.随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处 理,从而创造了大量的向量分析.

三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于 19 世纪 8O 年代各 自独立完成的.他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数.他们引进了两 种类型的乘法,即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引 进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具. 扩展资料 平面向量概述 一.本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学 和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形 的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量,它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此,本章在介 绍向量概念时, 重点说明了向量与数量的区别, 然后又重新给出了向量代数的部分运算法则, 包括加法、 减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后,又将向量与坐标联系起来,把关于向量的 代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来, 这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法 ——向量法和坐标法。 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”,内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数 与向量的积、平面向量的坐标运算;线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的 坐标表示、平移等。 第二大节是“解斜三角形”。 这一大节可以看成是向量知识的应用, 内容包括正弦定理、 余弦定理, 解斜三角形应用举例和实习作业等。 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理,教科书通过向量的数量积把 三角形的边与角联系起来,推导出了这两个定理,并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方 面的实际问题,特别在这一大节中,还安排了一个实习作业,从而使学生进一步了解数学在实际中的应 用,激发学生学习数学的兴趣,培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。 为扩大学生的知识面,本章中还安排了两个阅读材料,即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测 量地球的半径”。 本章重点是: (1)向量的概念、向量的几何表示和坐标表示; (2)向量的代数运算法则,向量的数量积; (3)线段的定比分点公式和中点公式、平移公式; (4)解斜三角形. 本章难点是: (1)熟练运用向量的概念、向量的几何表示和坐标表示;

(2)理解和运用向量的运算法则; (3)已知两边和其中一边的对角解斜三角形. 引入向量后,运算对象扩充了,要注意熟悉这套运算法则,特别要区别向量运算与实数运算的异 同.另外通过向量的应用,学会把实际问题抽象为数学模型,提高解决问题的能力.向量知识处处充满 唯物辩证法,是中学阶段不可多得的培养唯物辩证思想的内容,有目的、有计划地指导学生运用辩证唯 物主义观点去研究问题,是学生进行德育教育,培养学生辩证唯物主义思想的极好途径. 二.本章教学要求 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 2.掌握向量的加法与减法。 3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。 4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直 的问题,掌握向量垂直的条件。 6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式,并且能熟练运用,掌握平移公式。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决斜三角形的计算问 题,通过解三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三.课时安排 本章教学时间约 22 课时,具体安排如下: 5.1 向量 约 1 课时 5.2 向量的加法与减法 约 2 课时 5.3 实数与向量的积 约 2 课时 5.4 平面向量的坐标运算 约 2 课时 5.5 线段的定比分点 约 l 课时 5.6 平面向量的数量积及运算律 约 2 课时 5.7 平面向量数量积的坐标表示 约 1 课时 5.8 平移 约 1 课时 5.9 正弦定理、余弦定理 约 4 课时

5.10 解斜三角形应用举例 约 2 课时 5.11 实习作业 约 2 课时 小结与复习 约 2 课时 探究活动

右图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.马可从 ,用向量 有情况. 解:马在 、 表示马走了“一步”.试在图中画出马在

跳到 、

,也可以跳到

处走了“一步”的所

处只有 3 处可走,在

处有 8 处可走.图形中马的走法如下:

能否将将马在表格的任意一点处走一步的一般规律总结出来? 习题精选 一、判断题 1.判断下列命题真假 ①平行向量一定方向相同. ②共线向量一定相等.

③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. ④不相等的向量,则一定不平行.

⑤非零向量的单位向量是 2.判断下列各命题是否正确



①若

,则



②若 、 行四边形的充要条件. ③若 ,





是不共线的四点,则

是四边形

是平

,则



④两向量



相等的充要条件是



是向量

的必要不充分条件.

⑥ 二、选择题

的充要条件是



重合、



重合.

3.如图,四边形

,其中

,则相等的向量是(



A.



B.



C.

与 )

D.



4.下列命题中,正确的是(

A.

B.

C. 5.下列各命题中假命题的个数为( )

D.

①向量 ②向量

的长度与向量 与向量 平行,则

的长度相等. 与 的方向相同或相反.

③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同. ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量.

⑤向量

与向量

是共线向量,则点







必在同一条直线上.

⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段. A.2 B.3 C.4 ) D.5

6.在下列各结论中,正确的结论为(

①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件; ②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件; ③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件; ④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件. A.①、③ B.②、④ ) C.③、④ D.①、③、④

7.下列命题,真命题的个数为(

①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.

②若非零向量 ③若 且

与 ,则

是共线向量,则 .







四点共线.

④四边形 A.0 8.在矩形 、 A.9 、 、

为平行四边形的充要条件是 B.1 中, C.2 , 、 D.3 分别为





的中点,则在以 )





为起点和终点的所有向量中,相等向量的对数为( C.18 ) D.24

B.11

9.下列各命题为真命题的有(

①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量. ②温度有零上温度和零下温度,因此温度也是向量.

③方向为南偏西 ④坐标平面上的 A.个

的向量与北偏东 轴和 B.2 个 轴都是向量. C.3 个

的向量是共线向量.

D.4 个

三、 填空

题 的三等分点,分别以图中各点为起点

图, 、 是线段 10.如 和终点,最多可以写出__________个互不相等的非零向量. 11.如下图,等腰三角形 ,则 中, . 、 分别是腰



靠近顶点

的三等分点.若

四、解答题

12.如右图,在以正方体

的顶点为起点、终点的向量中,

(1)写出所有与

相等的向量;

(2)写出所有与

相反的向量;

(3)写出与

相等及相反的向量;

(4)写出所有与

共线的向量.

13.在直角坐标系中,画出下列向量:

(1)



的方向与

轴正方向的夹角为

,与

轴正方向的夹角为



(2)



的方向与

轴正方向的夹角为

,与

轴正方向的夹角为



(3) 参考答案:



的方向与

轴正方向的夹角为

,与

轴正方向的夹角为



1.(1)假命题 (2)假命题

(3)真命题

(4)假命题

(5)真命题

2.(1)不正确 (2)正确 (3)正确

(4)不正确

(5)正确

(6)不正确

3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9.B ①真命题.作用力与反作用力是一 对大小相同方向相反的向量,因而它们是一对共线向量.②假命题.因为零上和零 下并不代表方向.③真命题.因为南偏西 的向量恰好为北偏东 的向量的

反方向(如图),所以它们共线.④假命题.因为虽然 轴和 轴有方向,但无长度(或者说无法 测得它们的长度,也无法确定它们的起点与终点),故它们不是向量.综上所述,在四个命题中,真命 题有①③两个,故应选择 B. 10.6 11.2

12.(1)





是与

相等的向量;

(2)







是与

相反的向量;

(3)



相等,





相反;

(4) 13.















共线.

5.2 向量的加法与减法
教学目标 1.掌握向量的加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量; 2.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算; 3.明确相反向量的意义,掌握向量的减法,会作两个向量的差向量;

4.在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合, 并能利用向量运算完成简单的几何证明; 5.通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量 的加法运算,可以渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间相互转化,相互联系的辨证思想,同时由 于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意 识. 教学建议 知识结构:

重点难点分析: 本节重点是向量的加法和向量的减法的定义、运算、几何表示.我们学过的数能进行运算且有相关 的运算律而向量也应当可以进行加法减法运算,也必须遵循相应的运算律,且能作出几何解释,才能让 向量发挥更大的作用.所以向量的加减运算法则必须重点体会理解.而加法交换律,结合律等运算律的 出现使向量的运算具备了线性性质,更是我们所希望的,尤其是向量的加法表示两个向量可以合成,利 用它可以解决有关平面几何中的问题,这些自然应在教学中引起重视.本节内容也是本章的重要内容之 一. 本节的难点是对向量加减法定义的理解及向量加法,减法运算时方向的确定.向量的加法与数量的 运算有很大的区别,运算中包含方向和长度两方面,因此首先要学生从几何表示上理解运算的意义.向 量的减法实际上是转化成加法来进行的,转化的前提是掌握相反向量的概念.减法的三角形法则与加法 的三角形法则是不同的,特别是减法的三角形法则应让学生记住:连接两端(两向量的终点),指向被减 (箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 教法建议: 1.向量的加法可以从实际问题引入,例如可以从物理上的位移入手,由于大陆和台湾没有直航, 因此 2003 年春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?位移也是向量 的一种,那么向量和的定义也是一致的.从而使学生有物理上的位移直观理解向量和的定义,然后再从 数学的角度定义向量的三角形法则.给学生说明三角形法则对于一切向量都适合,但物理习惯用的平行 四边形法则对于共线向量不适合,要让学生特别注意. 2.向量的减法引入之前,要给学生讲清相反向量的意义和表示方法.让学生理解向量的减法的几 何表示,可以按照下图讲解,理解差向量的起点终点的选择.

3.掌握向量的加法和减法法则时,一方面要用形来帮助理解,另一方面还可以从特殊位置到一般 位置去认识,如共线的,共起点的,共终点的等特殊想来能够之间的运算熟悉法则的使用.让学生结合 图形,归纳总结向量和的性质,如向量的方向,模等与两向量间的关系. 4. 对于加法的结合律让学生通过图形自己检验,一方面可以熟悉向量的加法,还可以理解结合 律.由于向量的加法满足结合律,和交换律,所以向量的加法中向量的个数可以推广到 n 个即 n 个向量 相加可以写成 ,并且按向量加法的三角形法则 可以得到 n 个向量相加的法则是:以前一个向量的终点作为下一个向量的起点,相继作出向量 ,再以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点作向量,这个向量就 是所求的这 n 个向量的和. 教学设计示例(第一课时) 一.教学目标 (1)掌握向量的加法的定义,会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两 个向量的和向量; (2)掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行计算; (3)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题; (4)培养学生化归的数学思想. 二.教学重点:向量的加法的定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,作两个向量的和向量; 教学难点:对向量加法定义的理解. 三.教具:多媒体、实物投影仪 四.教学过程 1.设置情境 请同学看这样一个问题:(投影)

(1)由于大陆和台湾没有直航,因此 2003 年春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这 两次位移之和时什么?

(2)如图(2),飞机从 应该是_____________.



,再改变方向从



,则两次位移的和是



(3)如图(3),船的速度是 ___________.

,水流速度是

则两个速度的和是

应该是

生:(1)这人两次的位移的和是从台北到上海;(2)飞机两次位移的和是 度的和是 .

;(3)两个速

师:很好!两人向量的和仍是一个向量.本节课就来研究两个向量的和(板书课题:向量的加法). 2.探索研究 (1)向量的加法的定义:

已知向量 和。记作:

,在平面内任取一点 A,作 即

,则向量

叫做向量



零向量与任意向量

,有

(2)两个向量的和向量的作法: ①三角形法则:两个向量“首尾”相接

注意:1°三角形法则对于两个向量共线时也适用; 2°两个向量的和向量仍是一个向量

例 1.已知向量

,求作

向量

作法:在平面内任取一点 O,作 ②平行四边形法则:

,则

由同一点 A 为起点的两个已知向量 是向量

为邻边作平行四边形 BCD,则以 A 为起点的向量



的和。这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则

注意:平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 3.向量和与数量和的区别:

①当向量

不共线时,

的方向与

不同向,且

②当向量

同向时,

的方向与

同向,且

当向量

反向时,若 ;若

,则 ,则

的方向与 的方向与

同向,且 反向,且 ;

4.向量的运算律:

①交换律:

证明:当向量

不共线时,如上图,作平行四边形 ABCD,使





,

因为



所以

当向量

共线时,若



同向,由向量加法的定义知:



同向,且



同向,且

,所以





反向,不妨设

,同样由向量加法的定义知:



同向,且



同向,且

,所以

综上,

②结合律: 学生自己验证。 由于向量的加法满足交换律和结合律, 对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组 合来进行了

例如:

例 2.如图,一艘船从 A 点出发以 为 ,求船实际航行的速度的大小与方向。

的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时喝水的流速

解: 设 则

表示船垂直于对岸的速度,

表示水流的速度, 以 AD,AB 为邻边作平行四边形 ABCD,

就是船实际航行的速度



中,



所以

因为

答:船实际航行的速度的大小为 4.演练反馈(投影)

,方向与水流速间的夹角为

是(

(1)在平行四边形 ) A. + B.

中,



则用



表示向量



C.0

D.



(2)若 A.内心

为△

内一点, B.外心 C.垂心

,则 D.重心 )

是△

的(



(3)下列各等式或不等式中一定不能成立的个数(





③ A.0 5.总结提炼 (1) 就是以 B.1 C.2

④ D.3

是一个向量, 在三角形法则下: 平移 的起点为起点, 的终点为终点的新向量.

向量, 使

的起点与

的终点重合, 则

(2)一组首尾相接的向量和:

,如图.

(3)对任意两个向量 五.板书设计



,任有

成立.

1.引例揭示课题 2.例 1 例2

演练反馈 总结提炼

教学设计示例(第二课时) 一.教学目标 1.明确相反向量的意义,掌握向量的减法,会作两个向量的差向量; 2.能利用向量减法的运算法则解决有关问题; 3.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题; 4.过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的 加法运算,可以渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间相互转化,相互联系的辨证思想,同时由于 向量的运算能反映出一些物理规律, 从而加强了数学学科与物理学科之间的联系, 提高学生的应用意识. 二.教学重点:向量的减法的定义,作两个向量的差向量; 教学难点:对向量减法定义的理解. 三.教 具:多媒体、实物投影仪

四.教学过程 1.设置情境 上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.本节课,我们继续学习向 量加法的逆运算:减法(板书课题:向量的减法) 2.探索研究 (1)向量减法 ①相反向量:与 长度相等,方向相反的向量叫做相反向量。记作

规定:零向量的相反向量仍是零向量

注意:1°



互为相反向量。即

2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。即

3°如果



是互为相反向量,那么





的差:向量

加上

的相反向量,叫做



的差

即 ③向量的减法:求两个向量的差的运算叫做向量的减法



的作法:已知向量 。即



,在平面内任取一点 O,作 的终点指向向量 的终点的向量

,则

可以表示为从向量

⑤思考:为从向量

的终点指向向量

的终点的向量是什么?( ,所以

) 就是 ,因而

师:还可以从加法的逆运算来定义,如下图所示,因为 只要作出了 ,也就作出了 .

要作出

,可以在平面内任取一点

,作



,则



师:若两向量平行,如何作它们的差向量?两个向量的差仍是一个向量吗?它们的大小如何 ( 的几何意义)?方向怎样?

生:两个向量的差还是一个向量, 向指向被减向量. 练习:(投影) 判断下列命题的真假

的大小是

,是连接



的终点的线段,方

(1)

.(



(2)相反向量就是方向相反的向量.(



(3)





(4) 参考答案:√、×、×、× (2)例题分析 【例 1】已知向量 、









,求作向量 与

, ,首先要做什么?

师:已知的四个向量的起点不同,要作向量

生:首先在平面内任取一点

,作











,则



【例 2】如图所示,





,用



表示向量





师:由平行四边形法则得 由作向量差的方法

得 练习:(投影) 对例 2 进行变式训练 变式一,本例中,当 、 满足什么条件时, 与 互相垂直?

变式二,本例中,当



满足什么条件时,



变式三,本例中, 参考答案:



有可能相等吗?为什么?

变式一:当

为菱形时,即

时,



垂直.

变式二:当 变式三:不可能,因为 3.演练反馈(投影)

为长方形时

,即 的对角线总是方向不同的.



(1)△

中,



,则

等于(



A.

B. )

C.

D.

(2)下列等式中,正确的个数是(

① . A.5

















B.4

C.3

D.2

(3)已知 参考答案:(1)B; 4.总结提炼

, (2)B;

,则

的取值范围是_____________.

(3)[3,13]

(1)相反向量是定义向量减法的基础,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量:

(2)向量减法有两种定义:①将减法运算转化为加法运算:

②将减法运算定

义为加法运算的逆运算:如果 ,则 .从作图上看这两种定义没有本质区别,前 一个定义就是教材采用的定义法,但作图稍繁一点;后一种定义便于作图和记忆,两个有相同起点的向 量相减,所得向量是连接两向量终点,并且指向被减向量的终点. 五.板书设计

向量的减法 相反向量 向量的减法 典型例题 例 1. 例 2.

例 1.如图 1 所示,已知向量

,试求作和向量



分析:求作三个向量的和的问题,首先求作其中任两个向量的和,因为这两个向量的和仍为一个向 量,然后再求这个向量与另一个向量的和.即先作 ,再作 .

解:如图 2 所示,首先在平面内任取一点 向量 ,然后作向量

,作向量

,再作向量 即为所求.

,则得

,则向量

小结:此题的目的主要在于用几何作图熟悉加法的三角形法则及对结合律的认识. 例 2.化简下列各式

(1)



(2)



分析:化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简;②是利用代数 方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序,有 时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.

解: (1)原式=

(2)原式=



小结:向量的加法,减法的运算并不困难,但运算的途径很多,十分灵活,如平面任一向量都可以 写成两个向量的和,同样任一向量都可以分成两个向量的差等.通过这种调整来简化运算.

例 3.用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 分析:要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等.由相等向量 的意义可知,只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.(需首先将命题改造为数 学符号语言) 已知:如图 3,ABCD 是四边形,对角线 AC 与 BD 交于 O,且 AO=OC,DO=OB. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.

证明:由已知得



,且 A,D,B,C 不在同一直线上, 故四边形 ABCD 是平行四边形. 小结:这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明,故应把平面几何的语言准确无误的转换为平 面向量的语言,如本题中 ∥ . ,而不能写 ∥

例 4.证明:对于任意两个向量

都有



分析: 由于不等式本身有明显的几何意义, 故应选用向量的几何意义进行证明. 可根据向量 线与不共线两种情况进行讨论.



证明:若

中有一个为零向量,则不等式显然成立.若 ,则 .

都不是 0 时,记

(1) 当

不共线时,如图 4 甲所示,则有 .

.即

(2) 当 即 ;

共线时,若

同向,如图 4 乙所示,





反向,如图 4 丙所示

,即



综上可知



小结: 两个向量之间无大小可言而两个向量的长度之间可以比大小. 此不等式一般称为三角不等式, 它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值. 在证 明之后还可以让学生一起讨论不等式中两个等号成立的条件. 例 5.设 a 表示“向东走 10km”,b 表示“向西走 5km”,c 表示“向北走 10km”,d 表示“向南 走 5km“.说明下列向量的意义. (1)a+b (2)b+d (3)d+a+d

分析:根据实际意义来确定向量的方向,再根据三角形法则进行加法运算.

解:(1) a+b 表示向东走 5km.

(2) b+d 表示向西南走

km

(3) d+a+d 表示向东南走

km.

小结:关于向量的加法实际就是向量的合成,而向量的合成在实际中有着广泛的应用,此题就是初 步了解其应用.

例 6.如图 5,一物体受到两个大小均为 60N 的力的作用,两力的夹角为 60 求合力的大小及方向. 分析:首先应根据题目已知条件作出向量图,从图中观察合力与分力的关系.

且有一力方向水平,

解:设

分别表示两力,以

为邻边作平行四边形 OACB,则

即为合力.

由已知可得△OAC 为等腰三角形,且

.过 A 作



,则在

中,





,即合力的大小为

,方向与水平方向成 30°角.

小结:在这种向量的合成中注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加,只有在两向量方向相同 时才可以. 扩展资料 向量 -------思维的全新视角、教学的最佳契机 南京十三中 陶可 向量是新教材增加的内容,无论是对于教师还是学生都是新的,作为学生,接触到新的内容,不仅 增大了知识的容量,而且由于立足于向量这一新的视角,进一步拓宽了思维的渠道。作为教师不仅要学 习新内容,而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质,修整原有的认知,用向量的观点研究以往教材 的知识结构体系, 培养学生运用向量解决问题的意识。 向量教学是发展创新意识与创新能力的极佳契机。 在这一章的教学中,学生的反馈并不如教师心中之预料,一些教师认为这一章内容安排思路清晰并 不难, 只是概念多了一些。 但学生却觉得这一章内容比较抽象, 就拿向量的概念来说就觉得不太好把握, 究其原因,是因为向量是既有大小又有方向的量,与以往所学的数量、长度大不相同,向量的形式运算 是多次抽象的结果,如果学习的方法不当,就会产生枯燥无味的感觉。 笔者以为,这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的 联系,向量应用的优越性也是非常明显的。恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创 新精神与能力的极佳契机。 一、突出概念、定理的抽象概括过程 向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来, 而成为平面内的一自由向量, 虽然是抽象的形式符号, 依然可以以位移为背景图象,理解上并不困难。因此教学时要注意把握概念的物理意义,理解有关概念 的实际背景,有助于学生认同新概念的合理性。在概念引入时,如果回避知识的产生过程,生搬概念从 而迅速进入解题阶段,忽略对问题的感悟进而导致对问题的一知半解。例如在向量的加法教学中,如果 一上来就按照课本给出加法的三角形法则,就会造成学生的生搬硬套。我的经验是直接提出问题:应该 怎样定义两个向量的加法?你在物理中能找到那些依据?数学与物理的结合顿时使同学们产生一种新 鲜感与一股探求的欲望,从而进入一种紧张的思维状态,在大脑中积极主动的搜寻能抽象出两个向量加 法的实际背景。经过讨论很快就达成共识,有两种物理原型:位移的求和与力的求和。这样学生不仅能 正确的表述出怎样求两向量的和,而且发现这两种方法的一致性。在这样一种学习的氛围中,教师所要 做的并没有多少,语言也寥寥无几,教师看起来似乎漫不经心,很轻松,但就是在这样的情景下学生之 间已形成了思维共振,在“随意”中实现了知识的有效迁移。 我经常鼓励同学们,以你们现在的知识,完全可以发现以往科学家发现的内容,甚至能够你独到的 发现,发现别人所没有发现的,从而极大的鼓舞了学生的士气,激发其探求的欲望。例如在引入数量积 = cos 的定义后,我并没有把教材中的五条性质逐一讲述出来,虽然这样学生也能理解的 很好,我总觉的新的内容新的方法如果你告诉他怎么做,尚不如告诉他为什么这样做,更不如引导他怎 样去想。我适时地提出问题:从这个定义中能得到什么信息从而更好的理解这个公式呢?引导学生站在 哲学的高度,运用联系的观点,一般与特殊的处理方法去探索发现,结果同学们不仅“发现”了书上的 所有性质,而且还得到了 等结论,加深了对抽象内容的理解。从而使学生不仅在探索 中证明了诸多性质,更重要的是让学生感悟到了应该如何去发现。课后经常有同学拿着自己推导出的结 论,有些是自己的独到发现,有些是将要学习的新内容,对此我都大加赞赏,夸奖他的独立思考的精神, 或赞叹他的数学上的天赋,或赠送其数学博士的称号。

二、突出数形结合的思想 在新教材中,向量的运算法则以及运算律的给出容易使学生产生向量是属于代数内容,但向量实际 上又是属于几何的范畴的,虽然有时也会脱离图形而进行形式运算,但所研究的内容大都与图形有关, 所以向量是数形结合的一个典范。学好向量这一章的内容,能进一步促进学生对代数几何关系的理解, 运用代数几何化,几何代数化的方法从多角度思维,对于培养学生正确的数学观有着重要的作用。例如 证明 ⊥ = ,既可以从数量积的角度算出 ,进而得到 ⊥ ;亦可 以从矩形的角度证明该命题。而证法二有利有学生的思维从直观形象向抽象过渡,更好的理解该命题。 再如对任意向量 都有 , 从三角形三边关系上更能看出问题的实质。 因此教师在教学时应有意识的引导学生从数形结合的角度进行思考,避免单一的思维渠道。 三、突出新旧思维矛盾 向量运算是建立在新的运算法则上,向量的运算与实数的运算不尽相同,在教学中要注意新旧知识 之间的矛盾冲突,及时让学生加以辨别、总结,利于正确理解向量的实质。例如向量的加法与向量模的 加法的区别,向量的数量积与实数积的区别,在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区别。数 量积的运算律这一节可以这样安排,作为一种乘法运算,可以和实数的乘法运算做比较,让学生回忆实 数乘法的运算律有哪些,在向量的乘法运算中运算律是否也成立?在试图证明乘法的结合律时,大多同 学不置可否的认为当然对, 个别同学却认为不一定, 并且根据逻辑推理判定等号两边的向量不一定共线, 从而由弱势群体最终战胜了优势群体,靠的是理性而不是无端的猜测。整堂课都是在一种浓郁的研究氛 围中进行的,真正做到了使学生从幕后走到舞台前,在动态思维的过程中成为学习的主体。 四、突出向量的应用意识 学以至用,新教材之所以增加向量的内容,不仅是因为教材内容的陈旧而增加新的内容以适用形式 的需要,更是因为向量是解决问题的有效的思想方法,它为教材增加了新鲜的血液,使得教材体系更加 富有活力,更有利于学生思维的发展。由于向量的模就是线段的长度,因此用向量可以解决很多的几何 问题,有时会起到意想不到的神奇效果,充分体现了向量解决问题的优越性。例如利用向量的模可以推 导出两点之间的距离公式,两直线平行或垂直的证明可以转化为向量的共线及数量积为零。在三角函数 这一章里我们证明了两角差的余弦公式,过程比较复杂,如果利用数量积的相关内容来解决却是那样的 简洁明了。

例题:利用向量方法证明公式:

证明:如图在单位圆中做向量 ,点 B 的坐标是

,与 x 轴正向的夹角分别是 α 、β ,则点 A 的坐标是 ,则 ,则等式成立。 ,又

向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变,形成了新的探索途径,容易激发并凝注了 所有学生的参与,探索新的解题途径,展示各自的思维能力和创新意识。但是一开始学生并不能很快进 入状态,在教学中不应操之过急,要注意控制难度以及逐步渗透。另外,向量应用的教学对于教师来讲 也是应该进行研究的, 例如哪些问题可以用向量解决?向量能否与几何的性质定理结合起来应用?能否 象几何一样添加辅助线?如何探索向量证明的过程?教学相长,师生在互动中相互学习中才能得到提 高。 探究活动

如图,在平面上有一边长为 1 的正五边形 ABCDE,边长 AB 与数轴 l 成 E 在数轴 l 上的垂直投影分别为 、 、 、 、 .

角,顶点 A、B、C、D、

(1)求证:

0;

(2)求证:

0

(3)求值

证明:(1)

0

( 2)

0

(3)因为正五边形 ABCDE 的边长为 1,边 AB 与数轴 l 成 (用正负表示方向)的大小为 , 、 、 、 ,同理可推得向量 、

角,所以向量 在 l 上的投影 、 分别为

在 l 上的投影 表示为 、

在 l 上投影

,由题(2)的结论可知 =0. 习题精选

一、选择题 1.下列各式正确的是( )

A.若 a、b 同向,则

B.



表示的意义是相同的

C.若 a、b 不共线,则

D.

永远成立

2.

等于(



A.

B.0

C.

D. )

3.若 a、b、a+b 均为非零向量,且 a+b 平分 a 与 b 的夹角,则(

A. 4.下列命题

B.

C.

D.以上都不对

①如果 a 与 b 的方向相同或相反,那么的方向必与 a、b 之一的方向相同。

②△ABC 中,必有

0。

③若

0,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点。

④若 a、b 均为非零向量,则



一定相等。

其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3



5.已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的向量分别为 a、b、c,则向量 A. B. C. D.

等于(



6.如图,在四边形 ABCD 中,设

,则

等于(



A. C.

B. D. )

7.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法错误的是( A.a 与 b 的长度必相等 C.a 与 b 一定不相等 B. D.a 是 b 的相反向量

8. 的是(

可以写成:① ) B.②③

;②

;③

;④

,其中正确

A.①②

C.③④

D.①④ )

9.在以下各命题中,不正确的命题个数为(





的必要不充分条件;

②任一非零向量的方向都是惟一的;





④若

,则

0;

⑤已知 A、B、C 是平面上的任意三点,则 A.1 B.2 C.3 D.4

0。

10.某人先位移向量 a:“向东走 3km”,接着再位移向量 b:“向北走 3km”,则





A.向东南走

km

B.向东北走

km

C.向东南走

km

D.向东北走

km

11.若

,则

的取值范围是(



A. 二、填空题

B.(3,8)

C.

D.(3,13)

12.若三个向量 a、b、c 恰能首尾相接构成一个三角形,则





13.设 ABCDEF 为一正六边形,

,则

14.化简: 15.如图所示,用两根绳子把重 10kg 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上, ,则 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)分别 是 三、解答题 。

16.如图所示,在

ABCD 中,已知

,用 a、b 表示向量





17.如图所示,已知在矩形 ABCD 中, 。

,设

。试求

18.如图所示,在矩形 ABCD 中,O 是对角线 AC 与 BD 的交点。若 明: 。

,试证

19.在无风时,飞机的航速为 320km/h,现在飞机朝东飞行,而风以 80km/h 的速度向北吹。求飞机的 实际航速和航向。 参 考 答 案 1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.B 11.C

12.0 13.

14.0 15.

kg,5kg

16.由于

,而

,所以



由于四边形 ABCD 为平行四边形,所以



17.



延长 BC 至 E,使

,连 DE。由于



∴四边形 ACED 是平行四边形,∴



∴ 18.证明:

,∴



19. 飞机的实际速度是飞机速度与风速的向量和, 飞机的实际航速是 330km/h, 航向是北偏东 75°58′。

5.3 实数与向量的积

教学目标 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量的积的运算 律进行有关的计算; 2.理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线; 3.了解平面向量基本定理,能作出由一组基底表示的向量,能用给定图形上的一组基底表示指定 的向量; 4.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动 变化的辩证思想. 教学建议 知识结构:

重点难点分析: 本节的重点是实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件,平面向量基本定理.向量的 加法、减法,实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步 学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础.实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个 要素去理解.向量共线定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平 行问题又提供了一种方法.平面向量基本定理体现了数学的化归思想,在几何题目中可以将条件和结论 表示为一组向量线形组合的形式,方便问题的解决,另外还为向量的坐标表示提供了理论依据. 本节的难点是共线向量充要条件及平面向量基本定理的理解.通过充分性和必要性两个方面的说 明,让学生认识定理的本质,向量的共线要与平面中直线的平行区别开.平面向量基本定理通过图形直 观得到的,要让学生理解有些困难,另外对于任意一个向量都可用一组基底表示出来,学生刚开始运用 可能有难度,要通过练习结合图形逐步理解. 教法建议:

1.从实际问题出发引入新课,不但展示了教学的主要内容,而且还激发了学生学习兴趣.如可以 通过物理中力与加速度的关系 f=ma,位移与速度的关系 s=vt 等实际问题引入实数与向量的积. 2.实数与向量的三个运算律,为了降低难度课本上没有证明,可以结合图形给学生直观解释,程 度好的学生可以适当指导给出证明,证明的关键是向量的两要素:方向和大小. 3.由于学生已理解共线向量,因此可以让学生观察共线向量间的关系,可以提示从方向和大小两 个方面来考虑.然后指出向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.给学生说明定理的作 用,通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行,要指出与平面中直线间的平行的区别. 4.平面向量本定理可以从物理上力的分解来引入,学生对于力的分解比较熟悉,使学生首先对定 理的应用有所了解. 定理是向量坐标表示的基础, 因此要学生理解基底的意义. 由于不要求证明该定理, 只要学生会用即可,所以教学中要侧重于它的应用,培养学生应用所学数学知识的能力. 教学设计示例(第一课时) 一.教学目标 1.理解并掌握实数与向量的积的意义. 2.理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动 变化的辩证思想. 二.教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件; 教学难点:理解实数与向量的积的定义,向量共线的充要条件; 三.教学具准备 直尺、投影仪. 四.教学过程 1.设置情境 我们知道,位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关 系常常在物理公式中体现,如力与加速度的关系 f=ma,位移与速度的关系 s=vt.这些公式都是实数与 向量间的关系.

师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出 和 向量,(已 知向量已作在投影片上),并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素 有关?

生: 长度是

的长度是 长度的 3 倍,其方向与

的长度的 3 倍,其方向与 的方向相反.

的方向相同,



师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:实数与向量的乘积(一)) 2.探索研究 师:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?可结合教材思考. 生:我想这样规定:实数 与向量 的积就是 与向量 ,它还是一个向量. 相乘的含义作一番解释才行. ,它的长度和方向规定如下:

师:想法很好.不过我们要对实数 实数 与向量

的积是一个向量,记作

(1) (2) 特别地,当 时, 或 的方向与 时, 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;

下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律:

师:求作向量 和 ( 为非零向量)并进行比较,向量 等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较)

与向量



生: 师:设 、

, 为任意向量, , 为任意实数,则有:

(1)

(2)

(3)

通常将(1)称为结合律,(2)(3)称为分配律,有时为了区别,也把(2)叫第一分配律,(3) 叫第二分配律. 请看例题

【例 1】计算:(1)

, (2)



(3)

解:(1)原式 (2)原式

(3)原式 下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.



师:请同学们观察 生:因为 师:若 、 ,所以

, 、 是共线向量.

,有什么关系.

是共线向量,能否得出 、

?为什么,可得出

吗?为什么?

生:可以!因为

共线,它们的方向相同或相反. 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实

师: 由此可得向量共线的充要条件. 向量 数 ,使得 此即教材中的定理. 对此定理的证明,是两层来说明的. 其一,若存在实数 即 与 共线. ,使

,则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知



共线,

其二,若 方向如何:① 数 (

与 、 或

共线,且不妨令 同向,则 )使

,设 ,②若 . 、

(这是实数概念).接下来看 反向,则记



,总而言之,存在实

【例 2】如图:已知



,试判断



是否共线.

解:∵





共线.

练习(投影仪)





是两个不共线向量,已 的值.



,若





三点共线,求 参考答案







三点共线.





共线

存在实数

,使

即 ∴ ,

3.练习反馈(投影仪)

(1) 若



的对角线交点,



, 则

等于 (



A. (2)在△

B. 中,点 、 、

C. 分别是边 . 、

D. 、 的中点,那么

(3)如图所示,在平行四边形

中,



中点,点



上一点,

求证 参考答案:





三点共线.

(1)B; (2)



(3)设





又 ∴ 、 、 共线.

,∴

4.总结提炼 (1) 与 的积还是向量, 与 是共线的.

(2)一维空间向量的基本定理的内容和证明思路,也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要 用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.

五.板书设计 1.实数与向量的积定义 2.运算律 ① ② ③ 3.向量共线定理 教学设计示例(第二课时) 一.教学目标 1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用; 2.能够在解题中适当地选择基底,使其它向量能够用选取的基底表示. 二.教学重点:平面向量基本定理 教学难点:理解平面向量基本定理. 三.教学具准备 直尺、投影仪. 四.教学过程 1.设置情境 上节课我们学习了共线向量的基本定理,通过它们判定两个向量是否平行,而且共线向量可由该集 合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性 呢?如果是这样的话,对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了. 2.探索研究 师:向量 与非零向量 共线的充要条件是什么? ,使得 例1 2 演练反馈 总结提炼

生:有且仅有一个实数

师:如何作出向量



生:在平面上任取一点

,作



,则

师:对!我们知道向量 是向量 与 的合成, 解,是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢?



也可以看做是由向量

的分

平面向量基本定理:如果 量 ,有且只有一对实数 ,

、 使

是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向

我们把不共线的向量



叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

说明:①实数 理.



的确定是由平面几何作图得到的,同时也应用了上节课的共线向量基本定

②对该定理重在使用. 下面看例题

【例 1】已知向量



,求作



【例 2】 如图所示, 表示 解:在 、 、 中 和

的两条对角线相交于点 ?

, 且



, 用







说明:①这些表示方法很常用,要熟记 ②用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是 它可以“生”成 , ,??. 的两条对角线 与 交于 , 是任意一点,求证 、 ,由

【例 3】如图所示,已知

证明:∵

是对角线



的交点





.在△

中,

同理:

相加可得:

注:本题也可以取基本向量 公式(向量),得 两种表示方式:







,利用三角形中线





①+②得

证毕.

【例 4】如图所示 , 表示 .



不共线,



),用







说明:①本题是个重要题型:设

为平面上任一点.

则:





三点共线

或令 )









三点共线

(其中

②当 3.演练反馈 (1)命题 的( )

时,

常称为△

的中线公式(向量式).

:向量



共线;命题

:有且只有一个实数

,使

;则



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件

(2)已知



不共线,若



共线,则实数

的值等于____________.

(3)如图△ , 参考答案: (1)B (2)

中,点 与

是 相交于点

的中点,点 ,求

在边 的值.

上,且

(3)解:(如图)设



,则



,∵



、 ,







分别共线,∴存在 .



,使



,而



∴由基本定理得 4.总结提炼





,即

(1)当平面内取定一组基底 在惟一这数对 ,使



后,任一向量 ,则必有

都被 且



惟一确定,其含义是存 .

(2)三点 且 五.板书设计

、 )



共线

(其中

典型例题

例 1.如图,已知向量





,求作向量

.

分析:作向量的和差倍分问题,可以用三角形法则或平行四边法则。 作法一:用三角形法则,如图.

此时,由向量的加法可知,欲求作的向量为 作法二:利用平行四边形法则,如图

.

作 分别以

, 的对角钱

, 以及

。 为邻边作 ,则向量

为所求作的向量.

小结:向量的加法、减法、实数与向量的积是向量中基本的运算,不仅要掌握其运算法则,更应理 解这些运算的几何意义. 另外, 在求作本题时, 若利用减法的几何意义作出 以在作向量的和差倍分时,一般可把“差”转换成“和”来作. , 则更容易失误. 所

例 2.已知向量 a、b 是两非零向量,在下列四个条件中,能使 a、b 共线的条件是( ① ②存在相异实数 且 、u,使 ; ;





(其中实数 x、y 满足



④已知梯形 ABCD 中,其中 A.①② B.①③ C.② D.③④





分析:A、B 均含有①,而 C、D 均含有④,所以可先判定①或④。若①能使 a、b 共线,则只有从 A、 B 中进一步作出选择,若①不能使 a、b 共线,则应从 C、D 中进一步作出选择。首先判定①能否使 a、b

共线。由向量方程组: 共线,因此可排除 C、D。而由②可得

可求得: 、u 是相异实数,所以 、u 不同时为 0,不防设

,∴a、b

,故 a、b 共线,所以排除 B,选择 A。 答案:A

小结:条件③中当 不仅可得 a、b 共线,而且可得

时,就不能得到 a、b 共线。其实,在条件③中若添上 。

,则

条件④中没有明确 AB、CD 是上、下底,因此它们也可能是两腰,故条件④不能得到 a、b 共线。 例 3.如图, 的中点,已知 是一个梯形, , ,试用 且 , 表示 , 和 、 . 分别是 和

分析:利用三角形法则(平行四边形法则)求解,也可利用“首尾顺次相接的 问量构成封闭图形时,其中各向量的和为 0”解题.

解法一: 连结 是平行四边形,





的中点, ∵ .

, ∴四边形

又∵







解法二:在梯形

中,有

,即

,得

.

仿上,在四边形

中,利用

,可得

.

小结:从解法二可以看出,利用前述这条向量的性质解题确实显得简捷.另外,本例本质上是平面 向量基本定理的具体应用,因为 来表示。 , 是两个不共线的向量,所以 及 可以用它们

例4

如图,设 ,试求

为 , .

内一点,

,且







分析:根据题设,考虑用三角形法则求



,即由 , 便可解决问题。



,再利用平面几何及向量知识求出

解:由平面几何知,



,且对应边之比为



















分别共线,即知



.





即 小结:利用三角形法则求某一个向量时,选取第三个点时,应注意恰当性,如本题中,若采用 , 些。 ,虽然也可求出 , 来,但计算过程就显得复杂

例 5.设两非零向量



不共线,

(1)如果 点共线.





,求证







(2)试确定实数

,使



共线。

分析: 要证明 与





三点共线, 须证存在 ,使

使 .

即可 。 而若

共线,则一定存在

(1)证明



, ,

∴ ∴

, , ,

共线,又有公共点 三点共线.

(2)解





共线,

∴存在

使





,由于



不共线,

只能有



.

小结:本题充分地运用了向量共线的充要条件,即 与逆用) 扩展资料



共线

存在

使

(正用

高中数学研究性学习的思考 凉山州教育科学研究所 谌业锋 一. 研究性学习 (一)研究性学习 研究性学习是学生在教师指导下,从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究,以类似科学研 究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用 知识、解决问题的学习活动。研究性学习与社会实践、社区服务、劳动技术教育共同构成“综合实践活 动”,作为必修课程列入《全日制普通高级中学课程计划(试验修订稿)》。 实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育,关键是改变教师的教学方式和学生的学习方 式。设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式,为学生构建开放 的学习环境,提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践的机会,培养创新精神和实践 能力。当前,受传统学科教学目标、内容、时间和教学方式的局限,在学科教学中普遍地实施研究性学 习尚有一定的困难。因此,将研究性学习作为一项特别设立的教学活动作为必修课纳入《全日制普通高 级中学课程计划(试验修订稿)》 , 这将会逐步推进研究性学习的开展, 并从制度上保障这一活动的深化, 满足学生在开放性的现实情境中主动探索研究、获得亲身体验、培养解决实际问题能力的需要。 (二)研究性学习的特点 研究性学习具有开放性、探究性和实践性的特点,是师生共同探索新知的学习过程,是师生围绕着 解决问题共同完成研究内容的确定、方法的选择以及为解决问题相互合作和交流的过程。 1.开放性 研究性学习的内容不是特定的知识体系,而是来源于学生的学习生活和社会生活,立足于研究、解 决学生关注的一些社会问题或其他问题, 涉及的范围很广泛。 它可能是某学科的, 也可能是多学科综合、 交叉的;可能偏重于实践方法,也可能偏重于理论研究方面。 在同一主题下,由于个人兴趣、经验和研究活动的需要不同,研究视角的确定、研究目标的定位、 切人口的选择、研究过程的设计、研究方法、手段的运用以及结果的表达等可以各不相同,具有很大的 灵活性,为学习者、指导者发挥个性特长和才能提供了广阔的空间,从而形成一个开放的学习过程。

研究性学习,要求学生在确定课题后,通过媒体、网络、书刊等渠道,收集信息,加以筛选,开展 社会调研,选用合理的研究方法,得出自己的结论,从而培养了学生的创新 意识、科学精神和实践能 力,它的最大特点是教学的开放性。 (1)教学内容是开放的。天文地理、古今中外,只要是学生感兴趣的题目,并有一定的可行性, 都可作为研究课题。 (2)教学空间是开放的。强调理论联系实际,强调活动、体验的作用。学习地点不再限于教室、 实验室和图书馆,要走出校门进行社会实践;实地勘察取证、走访专家、收集信息等等。 (3)学习方法、思维方式是开放的。针对不同目标,选择与之适应的学习形式,如问题探讨、课 题设计、实验操作、社会调查等。要综合运用多门学科知识,分析问题、解决问题的能力增强了,思维 方式从平面到立体,从单一到多元,从静态发展到动态,从被动发展到主动,从封闭到开放。 (4)收集信息的渠道是开放的。不是单纯从课本和参考书获取信息,而是从讲座、因特网、媒体、 人际交流等各种渠道收集信息。 (5)师生关系是开放的。学生在研究中始终处于主动的地位,教师扮演着知道者、合作者、服务 者的角色。提倡师生的辩论,鼓励学生敢于否定。 2.探究性 在研究性学习过程中,学习的内容是在教师的指导下,学生自主确定的研究课题:学习的方式不是 被动地记忆、理解教师传授的知识,而是敏锐地发现问题,主动地提出问题,积极地寻求解决问题的方 法,探求结论的自主学习的过程。因此,研究性学习的课题,不宜由教师指定某个材料让学生理解、记 忆,而应引导、归纳、呈现一些需要学习、探究的问题。这个问题可以由展示一个案例、介绍某些背景 或创设一种情景引出,也可以直接提出。可以自教师提出,也可以引导学生自己发现和提出。要鼓励学 生自主探究解决问题的方法并自己得出结论。 3.实践性 研究性学习强调理论与社会、科学和生活实际的联系,特别关注环境问题、现代科技对当代生活的 影响以及社会发展密切相关的重大问题。要引导学生关注现实生活,亲身参与社会实践性活动。同时研 究性学习的设计与实施应为学生参与社会实践活动提供条件和可能。 (三)研究性学习的目标 研究性学习强调对所学知识、技能的实际运用,注重学习的过程和学生的实践与体验。需要注重以 下几项具体目标: 1.获取亲身参与研究探索的体验 研究性学习强调学生通过自主参与类似于科学研究的学习活动, 获得亲身体验, 逐步形成善于质疑、 乐于探究、勤于动手、努力求知的积极态度,产生积极情感,激发他们探索、创新的欲望。 2.培养发现问题和解决问题的能力

研究位学习通常围绕一个需要解决的实际问题展开。在学习的过程中,通过引导和鼓励学生自主地 发现和提出问题,设计解决问题的方案,收集和分析资料,调查研究,得出结论并进行成果交流活动, 引导学生应用已有的知识与经验,学习和掌握一些科学的研究方法,培养发现问题和解决问题的能力。 3.培养收集、分析和利用信息的能力 研究性学习是一个开放的学习过程。在学习中,培养学生围绕研究主题主动收集、加工处理和利用 信息的能力是非常重要的。通过研究性学习,要帮助学生学会利用多种有效手段、通过多种途径获取信 息,学会整理与归纳信息,学会判断和识别信息的价值,并恰当的利用信息,以培养收集、分析和利用 信息的能力。 4.学会分享与合作 合作的意识和能力,是现代人所应具备的基本素质。研究位学习的开展将努力创设有利于人际沟通 与合作的教育环境,使学生学会交流和分享研究的信息、创意及成果,发展乐于合作的团队精神。 5.培养科学态度和科学道德 在研究性学习的过程中,学生要认真、踏实的探究,实事求是地获得结论,尊重他人想法和成果, 养成严谨、求实的科学态度和不断追求的进取精神,磨练不怕吃苦、勇于克服困难的意志品质。 6.培养对社会的责任心和使命感 在研究性学习的过程中,通过社会实践和调查研究,学生要深入了解科学对于自然、社会与人类的 意义与价值,学会关心国家和社会的进步,学会关注人类与环境和谐发展,形成积极的人生态度。 二.高中数学研究性学习 (一)数学研究性学习 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分,是在基础性、拓展性课程学习的基础上,进 一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习, 是以学生动手动脑主动 探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。 它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓 励的良好氛围,给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。数学研究性学习更加关注学习 过程。 用于数学研究性学习的材料应是建立在学生现有知识经验基础之上,能够激起学生解决问题的欲 望,体现数学研究的思想方法和应用价值,有利于营造广阔的思维活动空间,使学生的思路越走越宽, 思维的空间越来越大的一种研究性材料。 数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的,而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料 等方式概括出问题,甚至可以通过日常生活情景提出数学问题,进而提炼成研究性学习的材料。在研究 性学习的过程中,学生是学习的主人,是问题的研究者和解决者,是主角,而教师则在适当的时候对学 生给予帮助,起着组织和引导的作用。 数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果,而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的 深度与广度,学生获得了哪些发展,并且特别注意学生有哪些创造性的见解,同时对学生的情感变化也 应予以注意。为了使评价能够真实可靠,起到促进学生发展的目的,因此要充分尊重学生自己对自己的 评价以及学生之间的相互评价。既要有定量的评价也要有定性的评价。

(二)数学研究性学习课题的选择 数学研究性学习课题主要是指对某些数学问题的深入探讨, 或者从数学角度对某些日常生活中和其 他学科中出现的问题进行研究。要充分体现学生的自主活动和合作活动。研究性学习课题应以所学的数 学知识为基础,并且密切结合生活和生产实际。新高中数学新教材将按《新大纲》的要求编入以下课题, 供参考选用,当然教学时也可以由师生自拟课题。提倡教师和学生自己提出问题。 新高中数学新教材研究性学习参考课题有六个:数列在分期付款中的应用,向量在物理中的应用, 线性规划的实际应用,多面体欧拉定理的发现;杨辉三角,定积分在经济生活中的应用。其教学目标是: (1)学会提出问题和明确探究方向;(2)体验数学活动的过程;(3)培养创新精神和应用能力;(4) 以研究报告或小论文等形式反映研究成果,学会交流。 (三)数学开放题与研究性学习 研究性学习的开展需要有合适的载体,即使是学生提出的问题也要加以整理归类。作为研究性学习 的载体应有利于调动学生学习数学的积极性,有利于学生创造潜能的发挥。实践证明,数学开放题用于 研究性学习是合适的。 自 70 年代日本、美国在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来,数学开放题已逐渐被数学 教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题,因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣,而 强烈的求知欲望浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。80 年代介绍到我国后,在国内引起了广 泛的关注,各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章,并形成了 一个教育界讨论研究的亮点。 高考命题专家也敏锐地觉察到开放题在考查学生创新能力方面的独特作用, 近几年在全国和各地的 高考试题中连续出现具有开放性的题目。例如高考数学题中,1993 年的存在性问题,1994 年的信息迁 移题,1995 年的结论探索性问题,1996 的主观试题客观化,1997 年填空题选择化, 1998 的条件开放题, 1999 年的结论和条件探索开放。 数学开放题的常见题型,按命题要素的发散倾向分为条件开放型、方法开放型、结论开放型、综合 开放型;按解题目标的操作摸式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、数学建模型、问题探求型、 情景研究型;按信息过程的训练价值分为信息迁移型、知识巩固型、知识发散型;按问题答案的机构类 型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型。 数学开放题体现数学研究的思想方法,解答过程是探究的过程,数学开放题体现数学问题的形成过 程,体现解答对象的实际状态,数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空,便于因材 施教,可以用来培养学生思维的灵活性和发散性,使学生体会学习数学的成功感,使学生体验到数学的 美感。因此数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的。 (四)数学研究性学习中开放题的编制方法 无论是改造陈题,还是自创新题,编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行,开放题应当随 着使用目的和对象的变化而改变,应作为常规问题的补充,在研究型课程中适合学生研究性学习的开放 题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。 用于研究性学习的开放题尽量能有利于解题者充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题。 编制 的开放题应体现某一完整的数学思想方法,具有鲜明的数学特色,帮助解题者理解什么是数学,为什么 要学习数学,以及怎样学习数学。开放题的编制不仅是教师的任务,它的编制本身也可以成为学生研究 性学习的一项内容。

数学开放题的编制方法: 1. 以一定的知识结构为依托,从知识网络的交汇点寻找编制问题的切入点。能力是 以知识为基础的,但掌握知识并不一定具备能力,以一定的知识为背景,编制出开放题, 面对实际问题情景,学生可以分析问题情景,根据自己的理解构造具体的数学问题,然后 尝试求解形成的数学问题并完成解答. 2. 以某一数学定理或公设为依据,编制开放题。数学中的定理或公设是数学学习的重要依据,中 学生的学习特别是研究性学习常常是已有的定理并不需要学生掌握,或者是学生暂时还不知道,因此我 们可以设计适当的问题情景,让学生进行探究,通过自己的努力去发现一般规律,体验研究的乐趣。 3. 从封闭题出发引申出开放题。我们平时所用习题多是具有完备的条件和确定的答案,把它称之 为封闭题,在原有封闭性问题基础上,使学生的思维向纵深发展,发散开去,能够启发学生有独创性的 理解,就有可能形成开放题。在研究性学习中首先呈现给学生封闭题,解答完之后,进一步引导学生进 行探究,如探究更一般的结论,探究更多的情形,或探究该结论成立的其它条件等等。 4.为体现或重现某一数学研究方法编制开放题。数学家的研究方法蕴涵深刻的数学思想,在数学 研究性学习中让学生亲身体验数学家的某些研究,做小科学家,点燃埋藏在学生心灵深处的智慧火种。 以此为着眼点编制开放题,其教育价值是不言而喻的。 5.以实际问题为背景,体现数学的应用价值编制开放题。在实际问题中,条件往往不能完全确定, 即条件的不确定性是自然形成的或是实际需要,其不确定性是合理的。如包装的外型,花圃的图案,工 程的图纸这些是需要设计的,而由于考虑的角度不同,设计者的知识背景、价值判断不同,得出的方案 也会不同。 以实际问题为背景,编制出设计类型的开放题,用于研究性学习,可以培养学生创新精神和实践能 力。第 19 届国际数学教育心理会议的公开课问题:“在一块矩形地块上,欲辟出一部分作为花坛,要使 花坛的面积为矩形面积的一半,请给出你的设计。”是一道公认的开放题,花圃的图案形状没有规定性 的要求,解题者可以进行丰富的想象,充分展示几何图形的应用,这种以实际问题为背景编制的开放题 往往有趣而富有吸引力。 将数学开放题作为数学研究性学习的一种载体,首先必须有适合的问题,如何编制能够用于研究性 学习的开放题,这是值得研究的。在研究性学习的教学实践中,有充满活力和创造力的学生的参与,必 将促进对这一问题认识的深化和提高。 探究活动

已知



不共线,

=t

(t

R),用



表示

=(1-t)



t

.试问

中 t=0 时点 P 在哪儿?t=1 时点 P 又在哪儿?点 P 的集合 构成什么图形?所有适合条件

t
解:t=0 时点 P 与点 A 重合;

R 的点 P 都在直线 AB 上吗?

t=1 时点 P 与点 B 重合;

,P 点组成的图形是线段 AB;

t

R 时 P 点组成图形时直线 AB.

习题精选 一、选择题 1.已知 ① ② ③ ④ ⑤ μ μ 、μ , , , , , B.3 个 ,则在以下各命题中,正确的命题共有( 时, 时, 时, 时, 时, C.4 个 )

a 与 a 的方向一定相反。 a 与 a 的方向一定相同。 a 与 a 是共线向量。 a 与 μ a 的方向一定相同。 a 与 μ a 的方向一定相反。
D.5 个 )

A.2 个

2.下面给出四个命题,其中正确命题的个数为(

①对于实数 m 和向量 a、b,恒有



②对于实数 m、n 和向量 a,恒有



③若

,则有



④若 A.1 B.2 C.3 D.4

,则



3.如图所示,MN 是△ABC 的中位线,则(



A.

B.

C.

D.

4.如图所示,已知 A.共线 B.同向 C.共线且同向

,则向量



的关系为(



D.共线,同向,且

的长度是

的3倍

5.将 A. B. ) C.

化简成最简式为( D.



6.向量 a、b 共线的有(









③ A.①②③ B.②③④ 7.若 a、b 不共线,且 C.①③④





D.①②③④ ),则( )

(λ 、μ

A. 8.当 m、n(m、n 的公共始点),其中 A.

B.

C.

D.

)满足什么条件时,才能使 a、b、c 的终点在同一条直线上(设 0 为 a、b、c 。 B. C. D.

9.已知向量 a、b 不共线,则 A.共线 B.平行 C.不共线也不平行

的关系是( D.无法确定



10.若 G 是△ABC 的重心,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则

等于(



A.6

B.-6

C.-6

D .0

11.若 A.平行四边形 B.菱形

,且 C.等腰梯形

,则四边形 ABCD 是( ) D.不等腰梯形

12.设 、 是两个不共线的向量,则向量 共线的充要条件是( )

与向量





A. 二、填空题

B.

C.

D.

13.△ABC 中, 是 。

交 AC 于 F 点,设

,则用 a、b 表示向量

14.已知四边形 ABCD 中, 向量 15.梯形 ABCD 中, ,且 ,试用 a、b 表示 和

,对角线 AC、BD 的中点为 E、F,则

,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,如图所示,若 ,则

16. 、 是两个不共线的向量,且 若 A、B、D 三点共线,则 k 的值为 三、解答题

。 。

17.如图所示,在△ABC 中,G 是△ABC 的重心。试证明:



18.如图所示,在任意四边形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,F 为 BC 的中点,则



19.设



是两个不共线的非零向量,若向量 ,试证明:A、C、D 三点共线。

20.如图所示,已知

ABCD 中,E、F 分别是 BC、DC 边上的中点。若 。

,试以 a、

b 为基底表示



21. 设 、 参考答案 1.D 2.C 3.B 4.D ,使

, 求证:



、 ,且

三点共线的充要条件是存在不全为 0 的实数 。



5.B

6.A 7.B 8.D 9.C 10.D 11.C

12.D

13.

14.

15.

16.-8

17. 证明: ∵G 是△ABC 的重心, ∴延长 AG 与 BC 的交点 D 是 BC 的中点, 再延长 AD 到 E, 使 又∵D 是 BC 的中点,∴四边形 ABEC 是平等四边形,∴ 。





,∴



18.证明:∵F 是 BC 的中点,∴







∵E 是 AD 的中点,∴



又∵在△AFE 中,

;在△DEF 中,







19.证明:





,又











共线,

∴A、C、D 三点共线。 20.解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,E、F 分别是 BC、DC 边上的中点,











21.证明:必要性 数 m、 n, 使





、 , 即

三点共线,那么

、 , ∴

共线,所以存在不全为零的实 。



,则





不全为零,

使





充分性

反过来,设有不全为零的实数 。





,使得









由 线。





不全为零,所以



共线,故





三点共

5.4 平面向量的坐标运算
教学目标 1.理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标,会作出已知坐标表示的向量; 2.掌握平面向量的坐标运算,能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则, 并能进行相关运算,进一步培养学生的运算能力; 3.会根据平面向量的坐标,判断向量是否共线; 4.通过学习向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养 学生辩证思维能力. 教学建议 知识结构

重点难点分析 本节的重点理解平面向量的坐标表示,平面向量的坐标运算,向量平行的充要条件的坐标表示.向 量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示, 使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种方法. 本节的难点是对平面向量坐标表示的理解.向量的坐标表示中,根据平面向量基本定理可选择特殊 的基底将向量坐标化.学生理解向量与坐标间对应关系的理解有些困难,由于这里是自由向量,可以规 定起点,从而使向量与坐标之间形成一一对应关系,使向量的坐标表示具有完备性. 教法建议 1. 为了便于学生接受向量的坐标表示, 正确理解这一概念, 在教学过程中可采用类比的教学方法. 一 开始从平面上的点与坐标的关系入手,在复习平面向量基本定理之后,引出向量的坐标问题.在学习的 过程中采用指导阅读、讲解相结合,以达到提高学生阅读理解能力. 2.向量是数形结合的一个典范.学好向量坐标表示这一内容,能进一步促进学生对代数几何关系 的理解,运用代数几何化,几何代数化的方法从多角度思维,对于培养学生正确的数学观有着重要的作 用.在研究向量坐标运算及简单应用时,有意渗透数形结合思想. 3.教学中应使学生明确任意向量都与唯一的实数对一一对应,这不仅使向量的坐标表示成为可能, 也使表示向量的坐标与向量的起点和终点的具体位置没有关系. 4.充分发挥学生的主体作用,开展自学活动,通过类比,联想发现,解决问题.本节在引导学生 理解向量坐标表示的意义后, 可以放手让学生自己研究获得向量坐标运算的方法以及平行向量的坐标表 示. 5.在讲解向量平行的坐标表示时,首先要掌握好向量平行的充要条件从中得到相等的向量,再根 据相等向量坐标相同得出关系式.为此可先通过复习让学生掌握好向量平行充要条件,相等向量坐标关 系,为新知识的学习做好铺垫. 教学设计示例(第一课时)

一.教学目标 1.理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标,会作出已知坐标表示的向量; 2.掌握平面向量的坐标运算,能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则, 并能进行相关运算,进一步培养学生的运算能力; 3.通过学习向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养 学生辩证思维能力. 二.教学重点 教学难点 三.教学具准备 直尺、投影仪 四.教学过程 1.设置情境 理解平面向量的坐标表示,平面向量的坐标运算. 对平面向量坐标表示的理解.

师:平面内有点 ,点 要学习的平面向量的坐标运算. (板书课题)平面向量的坐标运算 2.探索研究

,能否用坐标来表示向量

呢?这就是我们今天

(1)师:平面向量的基本定理的内容是什么?什么叫平面向量的基底?

生:如果 有一对实数

、 、

是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只 ,使

我们把不共线的向全



叫做这一平面内所有向量的一组基底, 这就是平面向全的基本定理.

师:如果在直角坐标系下,我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,任 作一向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x,y 使得

我们就把(x,y)叫做向量 a 的(直角)坐标,记作;

这就叫做向量的坐标表示 显然 i=(1,0) j=(0,1) 0=(0,0)

如图(1)所示,以原点 O 为起点与向量 a 相等的向量 反之设 ,则点 A 的坐标(x,y)也就是向量

,则 A 点的坐标就是向量 a 的坐标, 的坐标.

问题: 1°已知 2°已知

(x1, y1)

(x2, y2) 求λ



+ 的坐标



-

的坐标

(x, y)和实数 λ ,

解:

+

=(x1

+y1

)+( x2

+y2

)=(x1+ x2)

+ (y1+y2)

即:

+

=(x1+ x2, y1+y2)

同理:

-

=(x1- x2, y1-y2)

结论:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。 用减法法则:



=

-

=( x2, y2) - (x1,

y1)

= (x2- x1, y2- y1) 实数与向量积的坐标运算:已知 =(x, y) 实数 λ

则λ ∴λ

=λ (x

+y

)=λ x

+λ y

=(λ x, λ y)

结论:实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 师:如果两个向量相等,那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢?是充要条件吗?

生:a=b (2)例题分析



【例 1】 如图所示,用基底 i、j 分别表示向量 a、b、c、d 并求出它们 的坐标。

解:

师:平面向量可以用坐标表示,向量的运算可以用坐标来运算吗?如何计算?

(1)已知

,求





(2)已知

和实数

,求

的坐标(由学生完成)。

解:(1)



(2)

∴ 师:通过以上计算,你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗? 生:两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差,实数与向量的积的坐标等 于这个实数乘以原来向量的相应坐标。

【例 2】 已知

,求





的坐标。

解:

【例 3】 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3, 4),求顶点 D 的坐标。

解:设顶点 D 的坐标为





由 ∴顶点 D 的坐标为(2,2) 3.演练反馈。(投影仪)

(1)已知三个力

的合力

,求

的坐标。

(2)已知向量

,则

等于(



A.

B.

C.

D.

(3)已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 ①t 为何值时,点 P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限?

,求

②四边形 OABP 能成为平行四边形吗?若能,求出相应的 t 值,若不能,请说明理由。 参考答案:

(1)

∴ (2)B.

(3)①

,若 P 在 x 轴上,只需



若 P 在 y 轴上,只需



;若 P 在第二象限,则需

解得





若 OABP 为平行四边形,需

于是 4.总结提炼

无解。故四边形 OABP 不能成为平行四边形。

(1)引进向量的坐标后,向量的基本运算转化为实数的基本运算,可以解方程,可以解不等式, 总之问题转化为我们熟知的领域之中。

(2)要把点坐标 五.板书设计

与向量坐标区分开来,两者不是一个概念。

1.平面向量的坐标定义。

例1 例2

(1) 演练反馈 (2)i、j 的含义 总结提炼 (3) 是 a 的坐标

2.平面向量坐标运算

教学设计示例(第二课时) 一.教学目标 1.熟练掌握向量的坐标运算,并能应用它来解决平面几何的有关问题. 2.会根据平面向量的坐标,判断向量是否共线; 二.教学重点 教学难点 三.教学具准备 直尺、投影仪 四.教学过程 1.设置情境 引进直角坐标系后,向量可以用坐标表示.那么,怎样用坐标反映两个向量的平行?如何用坐标反 映几何图像的结合关系?本节课就这些问题作讨论. 2.探索研究 (1)师:板书或投影以下 4 个习题: 向量共线充要条件的坐标表示及应用. 向量与坐标之间的转化.

①设

,则 .

②向量 a 与非零向量 b 平行(共线)的充要条件是

③若 M(3,-2),N(-5,-1)且

,则点 P 的坐标为



A.(-8,-1) B.

C.

D.(8,-1)

④已知 A(0,1),B(1,2),C(3,4),则 参考答案:

(1) (2)有且只有一个实数 ,使得 (3)B (4)(-3,-3)

师:如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?会得到什么重要结论?(引导学生) 生:设

师:很好!这就是说 (共线)充要条件的两种表示形式.

的充要条件是

(板书或投影).向量平行

(1)

(2) (2)例题分析

【例 1】 已知 解:∵

,且

,求 y.



∴ 【例 2】 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证 A、B、C 三点共线.

证:





∴ 又∵直线 AB 和直线 AC 有公共点 A

∴A、B、C 三点共线

【例 3】 若向量



共线且方向相同,求 x.

解:∵

共线,







∵a 与 b 方向相同,



师:若

,不合条件吗?

生:∵若

,则

∴ ∴a 与 b 反向与已知符.

【例 4】 已知点 A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 吗?直线 AB 与 CD 平行吗? 师:判断两向量是否平行,需要哪个知识点.



平行

生:用两向量

平行的充要条件是

解: 又 2×2-4×1=0,





又 且 2×2-2×6≠0,





不平行.

∴A、B、C 三点不共线,AB 与 CD 不重合. ∴直线 AB 与 CD 平行. 3.演练反馈(投影) (1)A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1) 求证: .

(2)已知向量



,则

等于(



A.3

B.

C.

D.-3

参考答案:(1)先证 4.总结提炼

,再证 A、B、C、D 四点不共线;(2)C

本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示,要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式,会 用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合). 五.板书设计 课题 演练反馈

1.向量平行的坐标表示 总结提炼 (充要条件) 2.举例. 1. 2. 典型例题

例 1. 设向量 的





, 则“



”是“



(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

分析:根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可.

解:若 且




,∵

,则

,代入坐标得:

,即

消去 r,得

反之,若

,则













∴“



”是“

”的充要条件.

答案 C. 小结:本题意在巩固向量平行的坐标表示.

例 2.已知

=(1,-1),

=(-1,3),

=(3,5),求实数 x、y,使

=x

+y



分析:根据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可. 解:由题意有

x

+y

=x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).

又 ∴

=(3,5) x-y=3 且-x+3y=5

解之得 x=7 且 y=4 小结:在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.

例 3. 已知 A (-1, 2) , B (2, 8) , 求点 C、D 和向量 的坐标.

=



=-



分析: 待定系数法设定点 C、 D 的坐标, 再根据向量 用方程思想解之.





关系进行坐标运算,

解:设 C、D 的坐标为(

)、(

),由题意得

=(

),

=(3,6)

=(

),

= (-3,-6)



=



=-

∴(x1+1,y1-2)=

(3,6), (-1-x2,2-y2)=-

(-3,-6)





















∴点 C、D 和向量

的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4)

小结:本题涉及到方程思想,对学生运算能力要求较高. 例 4.已知任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,如图 1,

求证: 证法一:

=



+

).

∵E、F 分别是 AD、BC 的中点



+

=

+

=



=

+

+

= 两式相加得

+

+

2

=

+



=



+

).

证法二:在平面内任取一点O(如图 2), ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点



=



+



=



+





=

-

=

[(

-

)+(

-

)]=



+





=



+

).

证法三:建立直角坐标系 A(

),B(

),C(

),D(





=(

),

=(







+

)=(







E(



),F(







=(

-



-





=



+

).

小结:本题证法较多,利于开阔学生思路,同时三种证法各有千秋,证法二和证法三都是向量中常 用方法,还有一定美感.

例 5.已知向量

,且

,求



分析:分别求出向量 u 与 v 的坐标以后,再根据向量平行的坐标表示进行求解。

解法一:据已知可得



,知存在

,使

,即

也即

解得



解法二:由解法一知,



,∴

,得



小结:向量共线定理在向量解题中有较广泛地应用,但在具体应用中,使用其两种形式的哪一种, 要视具体情况来决定。如在本例中,显然使用其坐标形式解题过程简捷一些。 扩展资料 向量符号

1806 年,瑞士人阿尔冈以 表示一个有向线段或向量(vectors)。麦比乌斯(1827 年)以 AB 表示一起点为 A 而终点为 B 的向量,这用法为相当广泛的数学家所接受。实际上,1 现在亦偶然用这表

示方法。 与他同时代的哈密顿、 吉布斯等人则以一小写希腊字母表示向量, 现今还有这用法。 1896 年,沃依洛特区分了「极向量」及「 轴向量」;1912 年,兰格文以 表示极向量, 其后于字母上加箭头以表示向量的方法逐渐流行, 尤其在手写稿中。一些作者为了方便印 刷,以粗黑体小写字母 a,b 等表示向量。这两种符号一直沿用至今。

1853 年, 柯西把向径记作

, 而它于坐标轴上的分量则分别记作 形式表达,其 中 表示一具有坐标

,

及 , ,

, 且记

。 。1878 年,

但早于 1797 年,韦塞尔已把向量以 格拉斯曼给前二者之工作, 以 及



的点, 其中



分别为三个坐标轴方向的单位长度。此外,哈密顿则把向量记作

,其中

, , 为两两垂直的单位向量 ( unit vector) , 因而有 i. j=-j. i=k, j. k=-k. j=i, k. i=-i. k=j 。 这记法后来与上述向量之记法相结合:印刷时把 i,j,k 印成小写粗黑体字母,手写时于字母上加箭 头,并把系数( 坐标)写于前面,即 探究活动 或 ,这就是现今之用法。

若将向量 a=(2,1)绕原点按逆时针旋转 (

得到向量 b,向量 b 的坐标是什么?若 a=(m,n),

),其它条件不变,b 的坐标又是什么?

解:向量 a 所在的射线与 x 轴的夹角设为

,则向量 b 所在射线与 x 轴的夹角为

,则向

量 b 的坐标为向量终点的坐标,|b|=

,所以 b 的坐标为

.利用三角函数中的和差化积公式,从而求的 b 的坐标为



若 a=(m,n),(

),则 b 的坐标为 习题精选



一、选择题

1.已知

,则

等于(



A.(-5,14)

B.(5,14)

C.(7,4) D.(5,9)

2. 已知三点 A.(-2,0) B.(2,2)

,若 C.(2,0)



是相反向量,则 D 点坐标是(



D.(-2,-2)

3.平行四边形 ABCD 中,

,对称中心为 O,则

等于(



A.

B.

C. )

D.

4.以下选项中,不是单位向量的有(



;② D.4 个

;③

;④

A.1 个 B.2 个 C.3 个

5.设向量

,且点 A 的坐标为(1,2),则点 B 的坐标为( C.(3,5) D.(4,4)



A.(1,1,) B.(-1,-1)

6.若三点

共线,则( )

A.

B.

C.

D.

7.与向量

平行的向量是( )

A.

B. )

C.

D.

8.以下命题错误的是(

A.若 i、j 分别是 x 轴、y 轴同向的单位向量,则





B.若 C.零向量的坐标表示为(0,0)

,则必有





D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标

9.已知 A.a 和 b;c 和 d C.a 和 c;b 和 d B.a 和 d;b 和 c D.以上都正确

,其中的共线向量有(



10.已知

,若

,则点 C 的坐标为(



A.(12,13) B.(-12,13) C.(-12,-13)

D.(12,-13)

11.平面内有三点 A.5 二、填空题 B.2 C.-1 D.-5

,且

,则

的值为(



12.若已知作用在坐标原点的三个力 是 。

,则这三个力的合力坐标

13.若向量



相等,其中

,则



14.已知边长为单位长的正方形 ABCD,若 A 点与坐标原点重合,边 AB、CD 分别落在 x 轴、y 轴的正向 上,则向量 的坐标为 。

15.已知 三、解答题

,若



平行,则

16.已知

,且

。求向量 a。

17.如图所示,已知

中 。

,M、N 是 AB、CD 的中点,D 是 BC 的中点,

MN 与 AD 交于 F。求

18.已知点



。求点 C、D 和

的坐标。

19.已知 是反向?

,当 k 为何值时,



平行?平地时它们是同向还

20.已知点 。若 点 P 在第一、三象限的角平分线上?点 P 在第三象限内? 参考答案 1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.C 10.B 11.B 15.±1

,试求

为何值时,

12.(8,0)

13.-1 14.(3,4)

16.设



解得



∴向量

或(-6,8)。

17.



又∵D 是

的中点,∴

又∵M、N 分别为 AB、AC 的中点,∴F 为 AD 的中点,



18.设 C、D 的坐标分别为



,由题可得









也就是











∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0)。

因此



19.







平行等价于

,解得





时,



平行。

此时

,所以



反向。

20.设点 P 的坐标为

,则



,∴





∴P 点的坐标为



(1)若点 P 在一、三象限的角平分线上,则

,∴



(2)若点 P 在第三象限内,则 即只要 时,点 P 就在第三象限内。





5.5 线段的定比分点
教学目标 1.理解点 P 分有向线段所成的比 λ 的含义,能确定 λ 的正负号; 2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式,并能熟练运用这两个公式解决实际问题; 3.向学生渗透数形结合的思想,培养学生的思维能力,发现事物间的变化规律. 教学建议 知识结构

重点难点分析 本节重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用.线段的定比分点和中点的坐标公式,在向量运算 以及解析几何中会经常用到,因此首先要学生掌握它们的应用.其中对 λ 值的确定是正确运用定比分 点公式的关键,尤其符号的确定. 本节难点是利用线段定比分点坐标公式解题时确定 λ 的值.由于是有向线段的比,涉及到方向问 题,要通过 λ 的正负来确定,学生求 λ 值时经常出现错误,要讲清确定 λ 的方法,先确定有向线段 的起点、分点、终点,在确定比值和正负(即方向问题). 教法建议

1.本节课通过共线向量引入来介绍,一点分一条有向线段所成比的概念,结合图形讲清 λ 的符号 情况,让学生理解符号正负的确定是由方向确定的,另外要注意比值的顺序始点、分点、终点,λ 值 是求解线段定比分点坐标的关键. 2.本节是运用已有知识推导出新的结论,因此可以以学生推导、分析、总结为主,培养学生运用 数学概念分析问题、解决问题的能力.对“数形结合”这一数学思想的渗透贯穿于本节课的始终,作为 本节课的一条主线. 3.通过具体例题及练习让学生掌握公式的应用,尤其是 λ 值的确定.让学生通过例题练习归纳总 结规律. 教学设计示例 一.教学目标 1.理解点 P 分有向线段所成的比 λ 的含义,能确定 λ 的正负号; 2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式,并能熟练运用这两个公式解决实际问题; 3.向学生渗透数形结合的思想,培养学生的思维能力,发现事物间的变化规律. 二.教学重点 教学难点 三.教学具准备 投影仪,直尺. 四.教学过程 1.设置情境 线段的定比分点和终点的坐标公式的应用. 用线段的定比分点坐标公式解题时区分 λ >0 还时 λ <0.

已知线段

的两个端点





为线段

所在直线上任 及 ,求 、 值.

一点, 由共线向量知识, 必有 ,求 P 点坐标

. 我们能否解决这样的问题, (1 ) 已知 ;(2)已知 、 及

本节课就来讨论上述两个问题,(板书课题——线段的定比分点) 2.探索研究 (1)师:请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则. 生:两个向量的和(差)的坐标,等于这两个向量的相应的坐标的和(差);实数与向量的积的坐 标,等于这个实数与这个向量的相应坐标的积.

师:已知直线 l 上两点 哪几种情形?



,在直线 l 上取不同于



的任一点 P,则 P 点的位置有

生:有三种情形,P 在

之间;P 在

的延长线上,P 在

的延长线上.

师:请得很好,下面我们就 P 在直线

上的三种情况给出定义:





是直线 l 上的两点,点 P 是 l 上不同于 ,则 叫做点 P 分有向线段



的任意一点,若存在一个实数

使

所成的比.

你能根据 P 点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定 从向量的方向上考虑)

的取值范围吗?(启发学生

生:当 P 在 时,

之间时,



方向相同,所以

;当点 P 在 .

的延长线上

;若点 P 在

的延长线上时,同理可得

下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式

师:设



,P 分

所成的比为

,如何求 P 点的坐标呢?

(按以下思路引导学生进行思考)

师:设

,你能用坐标表示等式

吗?

生:

师:由两个向量相等的条件,可以得出什么结论呢?

生:

师:对!这就是线段

的定比分点 P 的坐标公式,特别地,当

时,得中点 P 的坐标公

式: (2)例题分析

【例 1】 已知两点



,求点



所成的比

及 y 的值.

解:由线段的定比分点坐标公式得

【例 2】 如图所示,

的三个顶点的坐标分别为







D 是边 AB 的中点,G 是 CD 上的一点,且
解:∵D 是 AB 的中点

,求点 G 的坐标.

∴点 D 的坐标为





由定比分点坐标公式可得 G 点坐标为:

即点 G 的坐标为 3.演练反馈(投影)

,也就是

的重心的坐标公式.

(1)如图所示,点 B 分有向线段 ,点 A 分有向线段

的比为 的比为 .

,点 C 分有向线段

的比为

标是

(2)连结 A(4,1)和 B(-2,4)两点的直线,和 x 轴交点的坐标是 .

,和 y 轴交点的坐

(3)如图所示, 1),求 A、B、C 的坐标.

中,AB 的中点是 D(-2,1),AC 的中点是 E(2,3),重心是 G(0,

参考答案:(1) 图得:A(0,5),B(-4,-3),C(4,1) 4.总结提炼 (1)定比分点的几种表达方式:

;(2)(6,0)、(0,3);(3)用三角形基法作

??向量式

??坐标式

??公式形式 (2)中点公式,重心公式要熟记. (3)定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法. 五.板书设计

1.定比分点的定义 (1)内分点 (2)外分点 a. b. 2.分点坐标公式 a. b. 典型例题 4.演练反馈 5.总结提炼 3.例 1

例 1.已知



,且



,求点



的坐标.

分析:借助线段的定比分点式求解.

解:设



.



,可得

,即



.

运用定比点公式可知

仿上可求得



综上可知,欲求



两点坐标为



.

小结:对于本题欲求

点的坐标时,也可以由

,得到

,从而由定

比公点公有 得 , . 同理,也可以由 求得 点坐标,这表明,我们在利用定点比分点公式时,既要注意使用公式的前提,同时也要注意灵活地使用 公式。

例 2. 已知 于 ,且直线 平分

的三顶点坐标分别为 的面积,求

, 点坐标.



, 直线

, 交

分析:本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题,解题时,应先确定 再利用公式求解.



的比,

解:设直线交 ∽ ,所以 .



,依题意, ,

,又因为 . 即点 分

,故 的比为



的坐标为

,由定比分点公式有



.



点的坐标为

. 的值,除注意 的符号外,还常常

小结:求解定比分点坐标的关键是求出定比 的值. 求 用到平面几何知识,如相似形的性质,比例线段等等。

例 3.已知 成



不共线,



,将符号下列条件的

向量写

的形式:

(1)点



所成的比

,求



(2)点



所成的比

,求

.

分析:借助定比分点的概念解题。

解:(1)由

,得





.







.

(2)由上可知



.

小结:本题从表面上看不涉及分点的坐标问题,但利用定比分点的概念,导出了

这个与定比 有关的等式, 这实际上是定比分点坐标公式的另一种表 现形式,即向量形式. 值得注意的是,这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。

例 4.若直线 范围.

与连接



两点的线段有交点,求实数

的取值

分析:当直线与线段 关于

有交点时,这个交点分有向线段

所成的比

不小于 0,从而得到

的不等式,但应注意考虑端点的情况.

解:当直线过

点时,有

,∴

.

当直线过

点时,有

,∴

.

当直线与线段 标为 ,则

的交点在



之间时,设这个交点



的比为

,它的坐



.

而直线过

点,则



整理,得

.



,得

,解得



.

故所求实数

的取值范围为





小结: (1)定比 当点 在线段

的符号是求解本题的关键.应当注意,当点 或 的延长线上时,

在线段

上时,



. 切不可将之混为一谈.

(2)恰当地利用定比 学问题.

的几何意义,可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数

扩展资料 专家呼吁:莫忘数学中的人文内涵 “为什么一提素质教育, 我们想到的只是增加些美术和音乐?为什么我们的教学从来没有想让学生 体会数学中的哲学内涵?从来不讲数学中的人文思想?” 日前,在华中科技大学出版社举办的 5 卷本工具型巨著《现代数学手册》首发座谈会上,与会的数 学家们引出尖锐话题。 座谈会上,吴文俊、丁石荪等十几位著名数学家高度肯定《现代数学手册》的出版“反映了中国数 学发展的潜力”,“是一部出色的工具型巨著”。尔后,中科院院士马志明、王梓坤教授提出:《现代 数学手册》应该有第六卷———应当把数学思想发展史、数学教育学、数学心理学、数学哲学、数学美 学写进数学手册。这一话题引起与会学者共鸣。学者们认为,数学是一种文化,不去发展它,它就会衰 落,达尔文的进化论———适者生存同样适合于数学。拿破仑的名言“国家的富强必须要依赖数学的发 达”并没有过时。著名数学家徐利治先生认为,数学有着两重功能:一个是科技的功能,一个是文化的 功能,不应忽视文化的功能。 全国数学教学指导委员会主任、 清华大学教授萧树铁则针对现在许多工科院校不重视数学教育的现 状指出,数学教育应该是一种思维教育、素质教育,但是许多人一提素质教育,想到的只是增加些美术 和音乐。中华民族是擅长数学智慧的民族,为什么我们的数学教学从来没有想让学生体会数学中的哲学 内涵?从来不讲数学中的人文思想?数学在古希腊是哲学的一部分,在孔夫子那里也包容在“六 艺”(礼、乐、射、御、书、数)之中。但我们现在只是把数学当成一种工具,现在从中学到大学,数学 教育的内容就是解题技术,题型研究,把生动活泼的数学变成了一种程式化的东西,变成了应试教育的 产物。这种目光短浅的数学教育,必然使学生知识面过于狭窄,一旦离开学校必然缺乏创新的后劲。 学者们呼吁:“对数学中基本人文思想的挖掘,在我们今天还是空白,数学教育能否走出解题技术 的小圈子,在高度重视基础科学的今天,我们的目光是否应该放得更远一点?” 探究活动

线段定比分点的向量公式如下:在平面内任取一点 O,设













公式 请利用上述公式证明下题:

就是线段的定比分点向量公式.

如图,求证:

的三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G,且



证明:在平面内任取一点 O,设 .则

a,

b,

c,又设

为 AD 上一点,且

a
∵ D 为 BC 的中点,

(b+c)

a

(b+c)=

(a+b+c)

同样设



可证得

(a+b+c),

(a+b+c)

三点重合.

设交点为 G,则有 请与课本上利用坐标形式的证明比较异同?



习题精选 一、选择题

1.已知

点分有向线

所成的比为

,则点

分有向线段

所成的比为(



A.

B.

C.

D.

2.已知点

分有向线

的比为 2,则下列结论中错误的是(



A.点



比是

B.点



的比是

C.点



的比是

D.点



的比是 2

3.设点 A.

在有向线段 B.

的延长线上, C.



所成的比为 D.

,则(



4.连结点 坐标是(

、 )

得线段

,再延长到点

,使

,则点



A.

B.

C.

D.

5.已知点 值是( )



,点

分线段

成两部分,其中

,则



A.

B.

C.

D.

6.如果

的顶点坐标分别是





,则重心的坐标是(



A.

B.

C.

D.

7.若点



的比和点



的比恰好互为倒数,则点



的比为(



A.1

B.2 或

C.2 或

D.不确定

8.已知点

,分有向线段

的比为

,且

,则

点坐标为(



A.

B.

C.

D.

9.点



的比为



为线段

的中点,则



的比为(



A.

B.

C.

D.

10.点

关于点

的对称点是(



A.

B.

C.

D.

11.已知点

关于点

的对称点是

,则点

到原点的距离是〔



A.

B.

C.4

D.

12. 已知点



, 则直线



轴的交点分有向线段

所成的比为 (



A. 二、填空题

B.

C.2

D.3

13.已知 、 、 三点共线,且 纵坐标为___________.



,若

点的横坐标为 6,则

点的

14.已知 点,则



两点,若

在直线

上,且

,又

是线段

的中

点的坐标是_________.

15.已知 顶点

三边





的中点分别为





,则

的坐标为___________.

16.已知平面上有





三个点,又有一点



上,使

,连结 三、解答题

,并延长到

,使

,则

点的坐标为_____________.

17.已知

的三个顶点





,求顶点

的坐标.

18.过 的比值.



的直线与一次函数

的图像交于点

,求



所成

19.已知两点



,在直线

上求一点

,使得

.

20.已知 答案: 1.C 2.D



的边

上一点,且

. 求点



所成的比.

3.A

4.C

5.B

6.B 7.A 8.B 9.B 10.D 11.D 12.C 13.

14.

15.

16.

17.解:设 中点坐标为

点坐标为 ,

,则



的交点恰为



的中点,由已知得







点坐标为

.

18. 解: 设



的比为

, 则

将它代入一次函数表达式



可得:

,解这个关于

的方程可得

.

19.解:(1)当



的内分点时,由

可得



所成的比值







点坐标为

.

(2)当



的外分点时,由

可得



所成的比值







点坐标为

.

20.解:由



.

设从



所作的高为

,则

.



,从而

,∴点



的比为

.

5.6 平面向量的数量积及运算律
教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆 用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题; 3.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确 定参数的值; 4.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 5.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态 度以及实际动手能力; 6.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识. 教学建议 知识结构

重点难点分析 本节重点是平面向量的数量积概念及其性质、运算律,向量垂直的条件.数量积概念的理解决定这 种新型运算的掌握及其运用的能力.向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系,特别 用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中,还能解决三角形边角 之间的有关问题。平面向量的数量积是处理平面几何中有关长度、角度和垂直问题又一种有效方法. 教学难点是平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质及运算律,以及平面向量的数 量积的应用.两向量的数量积是两向量间乘法的一种,是学生以前所未接触到的新的乘法,与以前数量 间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别,因此运算法则、运算律都要重新定义,学生对于概念和运 算法则的理解和掌握有些困难.它与实数的乘法的概念,性质及运算律有联系也有区别,这一区别是教 学的重点也是学生学习研究的难点.平面向量的数量积是解决有关长度,角度等问题的重要工具,特别 是证明垂直关系的重要依据,平面向量的数量积的作用是显而易见的,但对于学生来讲,接受新定义, 理解新运算,认识新法则都需要一定的时间,应用这一知识也就有一定的困难. 教学建议

1.本节内容分为两课时,一是平面向量的数量积的概念及运算性质,二是平面向量的数量积的运 用. 2.因为学生在物理学科中已经学过矢量及矢量运算,所以可从物理知识引入,由此也体现了数学 知识与其他学科的联系,引起学生的兴趣,而且让学生了解所学内容在实际生活中的具体运用. 3.在定义了向量的数量积的运算后,启发学生由实数的乘法的运算性质猜想向量乘法的运算性质, 再引导学生自主探索研究其运算性质. 4.引导学生观察平面向量的数量积公式的结构特征,归纳其功能——知三求一,从而发现其应用 类型,即求长度或角度,特殊情况下就是垂直关系的证明依据了. 教学设计示例(第一课时) 一、教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆 用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题; 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实 际动手能力; 4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识. 二、教学重点 教学难点 三、教学具准备 直尺,投影仪 四、教学过程 1.设置情境 师:我们学过功的概念:即一个物体在力 ,其中 表示力 的方向与位移 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功: 平面向量的数量积概念、性质及其应用 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解.

表示一个什么角度? 的方向的夹角.

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量 义。



,来规定

的含

2.探索研究

(l)已知两个非零向量



,在平面上任取一点 与

,作



,则

叫做向量

的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗?



与 ,④

的夹角为 与

,② .



的夹角为

,③



的夹角是

的夹角是

(2)下面给出数量积定义:

师:(板书)已知两个非零向量 向量 与 的数量积或(内积)记作



,它们的夹角为 即

,我们把数量

,叫做

并规定 师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别. 生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量.

师:你能从图中作出

的几何图形吗?

表示的几何意义是什么?

生:如图,过

的终点



的垂线段

,垂足为

,则由直角三角形的性质得:

所以

叫做向量

在向量

上的投影,

叫做



上的投影.

师: 因此我们得到 的方向上的投影

的几何意义: 向量 的积.



的数量积

等于

的长度





注意:1°投影也是一个数量,不是向量。 2°当 q 为锐角时投影为正值; 当 q 为钝角时投影为负值; 当 q 为直角时投影为 0; 当 q = 0°时投影为 |b|; 当 q = 180°时投影为 -|b|。 向量的数量积的几何意义: 数量积 a×b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosq 的乘积。 (3)下面讨论数量积的性质: (每写一条让学生动手证一条)设 是 与 的夹角,则 , 都是非零向量, 是与 的方向相同的单位向量,

① ②

③当



同向时,

,当



反向时,



特别地



⑤ 3.演练反馈(投影) (通过练习熟练掌握性质)

判断下列各题是否正确 (1)若 (2)若 (3)若 (4)若 ,则对任意向量 ,则对任意非零量 ,且 ,则 ,则 或 ,有 ,有 ( ( ( ( ) ) ) )

(5)对任意向量 (6)若 ,且

有 ,则

( (

) )

参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×. 4.总结提炼 (l)向量的数量的物理模型是力的做功.

(2)

的结果是个实数(标量)

(3)利用

,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。

(4)二向量夹角范围 (5)五条属性要掌握. 五、板书设计 课题 1.“功”的抽象 2.数量积的定义 3.(5)条性质 (1)



4.演练反馈 5.总结提炼

(2) (3) (4) (5) 教学设计示例(第二课时) 一、教学目标 1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题; 2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确 定参数的值; 3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态 度以及实际动手能力; 5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识. 二、教学重点 教学难点 三、教学具准备 投影仪 四、教学过程 1.设置情境 上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种 运算,它还满足哪些运算律? 2.探索研究 (1)师:什么叫做两个向量的数量积? 平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件; 平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用.

生: 的乘积)





向量的数量积等式

的模





的方向上的投影

师:向量的数量积有哪些性质? 生:(1)

(2)

(3) (4)

(5)

(6) 师:向量的数量积满足哪些运算律? 生(由学生验证得出) 交换律:

分配律:

师:这个式子

成立吗?(由学生自己验证)

生: 与 共线的向量,而 (2)例题分析 【例 1】求证: 与

,因为

表示一个与

共线的向量,而

表示一个

一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。

(1)

(2) 分析:本例与多项式乘法形式完全一样。

证:

注: 答:一般不成立。

(其中



为向量)

【例 2】已知







的夹角为

,求

.

解:∵

注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值.

【例 3】已知 互相垂直.







不共线,当且仅当

为何值时,向量



分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么? 生: 解: 与 互相垂直的充要条件是











当且仅当

时,



互相垂直.

3.演练反馈(投影) (1)已知 直,求 与 , 为非零向量, 与 互相垂直, 与 互相垂

的夹角.

(2) ①求

, 的值; 与

为非零向量,当

的模取最小值时,

②求证:

垂直.

(3)证明:直径所对的圆周角为直角. 参考答案: (1)

(2)解答:①由





最小;

②∵





垂直.

(3)如图所示,设 为圆周上任一点)





(其中

为圆心,

为直径,







∴ 4.总结提炼 (l)



圆周角

(2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立. (3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件. (4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律. 五、板书设计 课题: 1.数量积性质 2.数量积运算律 例题 1 2 3 典型例题 例 1.已知 、 、 是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( ) 演练反馈 总结提炼









反向

③ A.1 B.2 C.3 D.4





分析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的 平行四边形法则.①中∵ ,∴ 或 ,∴ ,∴由 及 、 为非零向量可得 、 反

且以上各步均可逆, 故命题①是真命题.②中若

向,则



的夹角为

,∴ 、

且以上各步均可逆,故命题②是真 的起点确定在同一点,则以向量 、 为邻边作平行四边 .反过来,若 ,因此命题③是真命题.④ ,反过来由

命题.③中当

时,将向量

形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有 ,则以 中当 但 与 、 为邻边的四边形为矩形,所以有 与 的夹角不等时,就有

的夹角和

也推不出 [答案]C

.故命题④是假命题.

小结:(1)两向量同向时,夹角为 0(或 垂直时,夹角为 则两向量共线.

);而反向时,夹角为

(或

);两向量 ,

.因此当两向量共线时,夹角为 0 或

,反过来若两向量的夹角为 0 或

(2)对于命题④我们可以改进为:

既不是

的充分条件也不是必要条件.

例 2.已知 分别求 与

, 的数量积。

,当(l)

(2)

, (3 )



的夹角为

时,

分析:已知



,求

,只需确定其夹角

,须注意到

时,有



两种可能。 解:(1) ,若 与 同向,则 ,

∴ 若 与 反向,则 ,



∴ (2)当 时, ,



∴ (3)当 与 的夹角为

, 时,

.

小结:(1)对于数量积 (2)非零向量 是 和 . ,

,其中

的取值范围是 和

; 共线的充要条件

;(3)非零向量

例 3.设

,则



的夹角

的余弦值为_____.

分析:要求夹角需先求出

的值。

解:

, .把 代入得 .由

,得

于是



小结:本题涉及了平面向量的数量积的概念,性质 强的综合性.

以及有关运算律,体现了较

例 4.已知

,当

时,求实数

的值.

分析:求一个实数的值,运用方程的思想,建立一个方程,通过解方程使问题得解.

解: 即



. ,

, ※.把





代入※式,得

例 5.用向量方法证明:正方形的对角线互相垂直. 分析:运用数量积为零来证明.

证明:设正方形为

,对角线为



,以下只需证明









正方形

中,



,即对角线互相垂直. 小结:本题意在让学生了解用数量积证明平面几何中的垂直问题,

例 6.已知非零向量 .



夹角为

,且

,求证:

分析:欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零.

证明:因为



夹角为 ,所以

,所以 ,即

;又因为

, , 即 .因为

,把 .所以

代入上式消去

得 .

小结:这也是垂直的证明问题,但不是从平面几何的角度,而是直接从数量积的角度给出条件,再 运用数量积的有关知识解决问题.

例 7. 如图,已知 的中点, 是

中,

是直角, . 求证:



是 .

上的一点,且

分析:借助向量垂直的充要条件解题,即证明 证明:设此等腰直角三角形的直角边长为 ,则

.

. 所以 .

小结:用向量方法证明几何问题时,一般应把已知和结论转化成向量的形式,再通过相应的向量运 算完成证明,不难发现,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题,利用向 量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。 扩展资料 对数学未来的思考 我们依然站在不断扩展的地平线的门口. 让我们想象一下:Archimedes(公元前 287 -前 212 年 ) 这位在所有时代都是最卓越数学家之一的 他正在提问:对于数学的未来你们看到了什么?这位古代数学家刚刚计算了球的表面积与体积,或者一 段抛物弓形的面积,伸了伸懒腰,坐在位于西西里东海岸他家乡叙古拉的沙滩上,凝视着天边。他感到 困惑:在数学上,他或者其他任何人还能再做点别的什么?他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体 积和表面积;然而他还不知道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的,基于希腊数学家们的数百年的 研究并在他出身的数十年前由 Euclid 编写在他的名著《原本》中的那些知识。鉴于数学工具的十分缺 乏,局限了 Archimedes 的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此,人们得花上千年时间等 待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。 十进制的引进所带来的符号简化在其力所能及的范围是 革命性的。 将 Archimedes 留在叙拉古的沙滩上, 让他去思考数学的未来还有些什么吧, 现在我们去造访 Issac Newton 爵士(1642 -1727)。23 岁时,当时刚取得剑桥大学学士学位,Newton 便被迫回家度过了 18 个月光阴,因为那时正值大瘟疫,使大学关了门。在这短短的时间里,Newton 有了许多基本的发现, 数学上他发现了二项式定理及微积分的初期形式,在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律,现在 我们去会一会年事已高的 Newton 并问一问他那个同样对 Archimedes 提出的问题:什么是数学的未

来?他可能会很快回应道,简单的回答是,继续建造微积分,借助于微积分,Newton 可以把任何几何 形状的体积和表面积用积分来表示,并能计算到任意精确度,这 Archimedes 是所不能想象的, Newton 思考着这样的事实,即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律(他会说'我的定律'),他能够以解 微分方程的办法来算出运动物体的轨迹,而这些方程表现了力的平衡,那么,他自问道'我们能用微分 方程去描述其他的自然法则,从而能以发展解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗?'但即便 是 Newton 的视野也不可避免地有所局限。 从这时起到 Gauss (1777 -1885)在数论中的基本发展花去了一百年,而到发展微几何的复杂性 和 Riemann 流形则又多花了五十年。当我们离现代越近则未来便越容易预测了,David Hilbert (1862 -1943) 是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献的人。 他在巴黎召开的国际数学家大会 (1900) 上列出一系列著名的数学问题,在这整个 20 世纪对各个数学领域有着极大的影响,比如在数论、集合 论、几何、拓扑论及偏微分方程中。 在最近的五十年中,我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。在我所从事的偏微分方程 (PED)这一领域中,我们现在有了一个巨大的知识主体,使我们能够去理解,预测并计算许多重要的 物理和技术过程。例如,当我们测量一个固体的表面温度,我们就可通过解称之为'热传导方程'的偏微 方程去推导出物体内部的温度,如果从外部加热一个冰块,它开始融化,我们在微分方程方面的知识使 我们可以断定融化了的体积是怎样变化的,以及在融化了的体积中的水温。'梁杆方程'同样能预言当承 受压缩力时一个弹性梁是如何变化。当加在梁上的压力超过一个临界值时,它就会突然翘曲,形变为许 多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。 不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富,仍然有许多东西我们不知道。举例来说,我们不知道 气体动力方程是否有一个数学解,这个方程是用来确定飞机周围和发动机内的气流的。我们没有合适的 知识来处理预测水的运动方程的解,从而我们对海洋的涡流缺乏了解,这些及其他许多的基本问题仍然 期待得到数学的解答,在未来十年中它们仍是深入研究的主题。 数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态: 虽然取得巨大进展, 依然有许多基本问题没有解决。 相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位:我们已经发展了许多重要的研究领域,已 经有了许多强有力的计算和理论的工具。 数学家们在未来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新 方法,用来解决在数学和非数学(即科学和工程)领域中出现的问题。然而数学史表明,由现在去预言 长远未来的发现是多么徒劳。的确如此,在今天难以想象的数学的新领域,会完全料想不出地冒出来。 因此我不去预测下个世纪数学的未来,而在这里举出科技中三个关键领域的例子,在那里数学是以 诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学,生命科学和数码技术。 材料科学中的数学 材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料,了解并预言材料的性质以及在一定时 间段内控制和改进这些性质。不久以前,材料科学还主要是在冶金,制陶和塑料业中的经验性研讨,今 天却是个大大增长的知识主体,它基于物理科学,工程及数学。所有材料的性质最终取决于它们的原子 及其组合成的分子结构。例如,聚合体是由简单分子组合成的物质,而这些分子是些重复的结构单元, 称之为单体。 单个的聚合体分子可以由数百至百万个单体构成并具有一个线性的, 分枝或者网络的结构。 聚合体的材料可以是液态也可以是固态,其性质取决于加工它的方式(譬如,先加热,逐渐冷却, 高压)。聚合体的交错缠绕的排列提出了一个困难的建模问题。但是,在一些领域中数学模型已经表现 得相当可靠,这些模型非常复杂,故而迄今只取得很少几个结果,它们对聚合体加工可能有用,聚合体 的较简单但却更表象的模型是基于连续介质力学,但附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说,解 的稳定性与奇点是重要的结果,但甚至对于这些较简单的模型仍缺少数学。

复合材料的研究是另一个运用数学研究的领域,如果我们在一种材料颗粒中搀入另一种材料,得到 一种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料, 例如汽车公司将铝与硅碳粒子相混合 以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子充电粒子的气流能提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。 最近十年来,数学家们在泛函分析,PDE 及数值分析中发展了新的工具,使他们能够估计或计算混 合物的有效性质。但是新复合物的数目不断增长,同时新的材料也不断被开发出来,迄今所取得的数学 成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对已经研究了好些年的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例 如,当一个均匀的弹性体在承受高压时会破裂。破裂是从何处又是怎样开始的,它们是怎样扩展的,何 时它们分裂成许多裂片,这些都是有待研究的问题。 生物学中的数学 在生物学和医药科学中也出现了数学模型, 炒得很热的基因方案的一些重要方面需要统计, 模型 识别以及大范围优化法 虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展, 比如在生理学方面, 拿 肾脏作个例子吧, 肾的功能是以保持危险物质( 如盐) 浓度的理想水平来规范血液的组成。 如果一个人 摄入了过多的盐,肾就必须排出盐浓度高于血液中所含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管,称 作肾单位,负有从血液中吸收盐份转入肾中的职责,他们是通过与血管接触的一种传输过程来完成的, 在这个过程中渗透压力过滤起了作用。生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了,但过 程的精确过程却还只是勉强弄明白了。 肾脏的运作过程的一个初级数学模型, 虽然简单, 却已经帮助说明了尿的形成以及肾脏做出的抉择, 比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿,然而我们仅仅是在了解这种机理的非常初级的阶段。 一个更加完全的模型可能会包含 PDE 、 随机方程、流体力学、弹性力学、滤波论及控制论,或许还有 一些我们尚不具备的工具。心脏力学、钙(骨)力学、听觉过程、细胞的附着与游离(对生物过程是非 常重要的,如发炎与伤口愈合)以及生物流体(biofluids)是生理学中其他一些学科,在那里现代数 学研究已经取得了一些成就;更多的成就会随后而至。 数学将要取得重要进展的其他领域, 包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、 细胞染色、 免疫学、 反复出现的传染病,还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性的建模。当然我们决不能忘记还 有人类的大脑,自然界最棒的计算机,还有它所具有的感觉神经元、动作神经元以及感情和梦想! 多媒体中的数学 大约五十年前建成了第一台计算机,从而开始了一场可从表面上看 1760 年到 1840 年发生在英国 的产业革命相匹比的静 那牡母 命。 我们现在亲自证实了这场计算机革命的完全冲击: 在商业、 制造业、 保健机构及工程业,与计算和通讯技术的进步相配的是数字信息的萌芽状态,它已为多媒体铺出了一条 路,其产品包括了文字图像、电影、录像、音乐、照像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件,所有 这些都由一个单独站址发送。

多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域,它包含有计算机可视化,图像处 理,语音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。这些会有广泛的应用,应 用于制造业、商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化,还有娱乐业,这只点出了 几个而已。多媒体中的数学工具可能包括随机过程、Marko 场、统计模型、决策论、PDE 、数值分析、 图论、图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些,目前似乎还处在某种程度的监护下, 如人造生命和虚拟世界。 计算机辅助设计正在成为许多工业部门的强大工具:完全在计算机上设计,在键盘上一敲后产品便 在远处的工厂里实现了。这种技术能成为数学家进行研究的工具吗?万维网(WWW)已经成为多媒体最 强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法的发展,目前仍处在孩提时期。随着多媒体 技术的扩展,对于保护私人数据的通讯文本的需要也与日俱增。发展一个更加安全的密码系统就是数学 家们的任务了。为此,他们必定要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展,当然 还有其他一些领域。 在物质的与生命的科学和在技术的发展中, 数学继续起着与日俱增的重要作用。 正如 Archimedes 站 在叙拉古的海滩上一样,这里我们正站在一个新世纪和一个新千年的门槛上。我们只能推测,新的理论 最终会解决一切向数学挑战的问题,无论它是来自我们生活的世界还是来自数学本身。 探究活动 试寻找 解:如图,设 应满足什么条件,能使角 A 的平分线于从 B 引的中线相互垂直? 的角 A 的平分线 AQ,从 B 引的中线 BM,



c,

b,

与 BM 交于 O,另|c |=c,|b |=b ,

a ,则

b-c

(—c+b—c)=

(b—2c)

(b—2c)

b

c

|b|

=2 |c|

,则

因此,

中当且仅当 AC=2AB 时,角 A 的平分线与从 B 引的中线互相垂直. 习题精选

一、选择题 1.下列各题 ①若 ②若 ③若 ④若 ⑤若 ⑥若 , ,则 ) D.4 ,则对任何一个向量 ,有 ,有 . . . .

,则对任何一个非零向量 , ,则 、 ,则

中至少有一个为 ,则 .

,当且仅当

时成立.

其中真命题的个数为( A.1 B.2 C.3

2.设 ② ④





是任意的非零平面向量,且相互不共线,则① ; ③ 不与 垂直; )



中,是真命题的有( A.①② B.②③ C.③④ D.②④

3.已知







的夹角为

,则

等于(



A.12

B.3

C .6

D.

4.已知



是两个单位向量,夹角为

,则下面向量中与

垂直的是(



A. 5.设 A. 6.已知 则 、

B. 是夹角为 B. 中 等于( 、 ) 、

C. 的单位向量,则 C.

D. 和 D. 的夹角为( )

的对边分别为













A.

B.

C.

D.

7.有四个式子,① 的个数为( ) A.4 个 B.3 个

;②

;③

;④

,其中正确

C.2 个

D.1 个

8.在

中,设



,则

等于(



A.0 9、设 与 、

B. 是两非零向量,

C. 是 ) 在

D. 的方向上的投影,而 是 在 的方向上的投影.若

的夹角为钝角,则(

A.

B.

C.

D.

10.在 形状是(

中,若 )





,且

,则



A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.ABC 均不正确

11.若 为 的形状为( ) A.正三角形 二、填空题

所在平面内一点,且满足

,则

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.A、B、C 均不是

12.已知 相垂直的单位向量).



,那么

=__________(设



是两个互

13.如果向量



满足



,且



的夹角为

,那么

=________.

14.若向量





满足 _______.

,且





. 则

15.设 三、解答题



,且

垂直,则

的值为__________.

16.设向量



的长度分别为

和 3,夹角是

,求

.

17.已知



,且





方向相同,求证

.

18.求证:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。

19.已知: 与 20.已知: 垂直?



,且



的夹角为

,问当且仅当

为何值时,向量

为⊙ .

的一条直径,

为圆周角,求证:直径所对的圆周角是直角,即

21. 已知向量 正三角形. 答案: 1.A 2.D 3.C





是模相等的非零向量, 且

, 求证



4.C

5.B

6.D 7.D 8.D 9.C

10.C 11.C12.

13.3

14



15.

16. 17.证明:∵ , ,∴ ,又 、 、 同方向,





而 (同学们思考:若 、 、

,故结论得证. 方向不同,结果又如何?)

18.证明:设在 ,

中,

,对角线



,则







即 ∴原题得证。

.

19.

.

20.证明:设 故



,则

, , ∴

, , 即

,且

, .

21. 如图所示,令 则

, ,故可通过平移使

, 、 、

, 恰好构成一个三角形.

∵ ∴ 、 、

,∴此三角形为正三角形, 两两之间的夹角为 .

又∵ ∴ 即 , 是正三角形.

,∴



5.7 平面向量数量积的坐标表示
教学目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示和运算,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,掌握平面内两点 间的距离公式. (1)根据向量的坐标计算它们的数量积,由数量积的坐标形式求两个向量的夹角. (2)运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题,特别是运用坐标法证明两个向量垂直. (3)根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式. 2.通过本节内容的研究学习,培养学生的动手能力和探索精神. 3.通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化,使学生进一步体会数形结合思想,增强用两 种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识. 教学建议 知识结构

重点难点分析 教学重点是平面向量数量积的坐标表示,及向量垂直的坐标表示的充要条件.平面向量数量积和向 量垂直的坐标表示是前一节有关问题的代数形式,是解决向量问题的代数方法,是研究两个向量夹角的 又一重要工具,所以本节以此为重点. 教学难点是平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用.平面向量数量积的两种 形式表明了向量是数与形的结合体,它们互相渗透,彼此作用,也应是教学的一个重点;而学生对它们 的联系是陌生的,所以在理解上有一定的难度.另外,根据已知条件,选择恰当的形式(坐标法与向量 法)解决问题是学生学习的又一难点. 教法建议 1.平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示,是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内 容,在教学中抓住数形结合这条主线,不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,推

出平面内两点间的距离公式,并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题,这样不但能够提高学生的 解题能力,而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法. 2.本节课开始时应向学生指出:对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度,还要寻求 其坐标表示;在引入新知识之前应复习前面的有关知识,如平面向量,两个向量的和与差,实数与向量 的积的坐标表示,以及平面向量的基本定理.

3.应将平面向量数量积的两种形式结合起来,交待等式 其中 .这个等式体现了数与形的结合,揭示了数与形的内在联系. 4.教学中注意设计综合性问题,加强与前段知识的联系. 教学设计示例 一.教学目标

,

1.掌握平面向量数量积的坐标表示和运算,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,掌握平面内两 点间的距离公式. (1)根据向量的坐标计算它们的数量积,由数量积的坐标形式求两个向量的夹角. (2)运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题,特别是运用坐标法证明两个向量垂直. (3)根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式. 2.通过本节内容的研究学习,培养学生的动手能力和探索精神. 3.通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化,使学生进一步体会数形结合思想,增强用 两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识. 二.教学重点 教学难点 三.教学具准备 直尺、投影仪 四.教学过程 1.设置情境 我们知道,向量的表示形式不同,对其运算的表达方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决向 量的加、减、数乘向量带来了极大的方便,那么向量的坐标表示,对数量积的表达方式会带来哪些变化 呢? 本节课我们就来讨论这一问题 平面向量数量积的坐标表示,及向量垂直的坐标表示的充要条件. 平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用.

2.探索研究 (1)师:请同学思考一下,如何用向量的长度、夹角反映数量积?又如何用数量积、长度来反映 夹角?向量的运算律有哪些?

生: 运算律有 1.



2.

3.

师:已知 (投影)

,怎样用



的坐标表示

呢?请同学看下列问题

设①

___________



____________



____________



____________

参考答案①1;②1;③0;④0. 师:你能推导出 的坐标公式吗?

师:

师: 正确! 这就是向量的数量积的坐标表示, 类似可得: 设 公式. 、 则 ,这就是 、

. 若 两点间的距离

师:请同学写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐标表示式.

生:(1)

(2)

(3) (2)例题分析

【例 1】设



,求

.

解: 问: 、 夹角多大?

【例 2】已知





,求证

是直角三角形.

证明:∵

∴ 是直角三角形. 问:还有其他证明方法吗?

(可计算





,然后用勾股定理验证)

【例 3】求与向量 分析:单位向量其长为 1.

的夹角为

的单位向量.

解:设所求向量为 ∵ 与 成



另一方面



??①



??②

联立解之:







.





说明:也可以设 3.演练反馈(投影)

,还可以先把

单位化.

(1)已知





,求

.

(2)已知

,求与

垂直的单位向量.

(3) 提示:分类讨论 参考答案:

中,



,求

的值.

(1)

(2)∵

,则易证





垂直.

∴ 与

垂直的单位向量为

,或

,而

.





为所求答案.

(3)解:①

时,



时,

③ 4.总结提炼

时,

.

(1)用坐标表示的数量积公式,常用来计算两向量的夹角.

(2)两向量垂直时,在表达方式上有一定技巧,如 (3)把一平面向量单位化, 有时能给讨论问题带来方便, 比如求 单位化,为 五.板书设计 课题 1.复习数量积定义式 ,则 就是所求答案。

与 在

总是垂直的。 方向的投影, 不妨先把

例题 1 2

2.计算基度向量



的数量积 3.推导 3 公式 演练反馈 总结提炼 典型例题

例1.已知













分析:运用平面向量数量积的坐标进行计算.

解:









小结:通过本题检验平面向量数量积的运算不具有结合律.

例2.已知两个非零向量 角的余弦值.



满足

,求



的夹

分析:要求



的夹角的余弦值,首先要确定向量 和



,由于已知

是向

量的坐标形式,所以运用方程的思想确定

的坐标形式.

解:设









解得







于是







小结:设计本题的意图是将向量加减法的坐标形式与本节知识结合.

例3.已知两个非零向量



满足

,求证:



分析:将已知条件代数化,通过代数变换得到代数结论,再将代数结论几何化.

证明:设

















化简得

,即



小结:本题运用向量的坐标形式来解决垂直问题,其实并不一定非用这个方法,而且这个方法还不 是最简单的,只是通过本题使学生熟悉这种证明方法. 例 4.如图所示,四边形 ADCB 是正方形,P 是对角线 DB 上的一点,PFCE 是矩形。试用向量法证 明:

(1)

;(2)



分析:如果我们能用坐标来表示 与 ,则要证明的两结论,只要分别用两点间的距离公 式和两向量垂直的充要条件进行验证即可。因此只要建立适当的坐标系,得到点 A、B、E、F 的坐标后, 就可进行论证。 证明:以点 D 为坐标原点,DC 所在直线为 x 轴建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为 l。

,则



于是



(1)









(2)







小结:把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的 代数运算和向量运算,从而使问题得到解决。这种解题方法具有普遍性,应该把它掌握好,其中坐标系 的建立很重要,它关系到运算的简与繁。

例 5. 已知: (1)求证: 与 互相垂直;



(2)若



大小相等,求

(其中



)。

分析:利用向量垂直的充要条件及向量模的公式解题。 解:(1)依题意知







所以



(2)由于



所以



又因为

,所以

,且





。又

,所以



小结:对于(1)还有另解:由于 ,所以 有另解:由 得 ,进一步有 ;对于(2)也 ,由此可



. 扩展资料 如何培养学生提出问题 温州三溪中学 张明

当代数学教学模式的发展趋势更突出学生的主体地位,老师的主导作用.而研究性学习是在老师的 指导下,学生从自然,社会和生活中选择和确定专题进行研究,并在研究过程中主动的获取知识,应用 知识,解决问题的学习过程.其中培养学生发现问题和解决问题的能力是其最重要的目标之一.所以研 究性学习符合教学模式的发展趋势. 这种研究性学习从认知心理学上讲也是学生在原有的认知基础上的 自主建构.所以研究性学习也有其深刻的心理学背景. 而本论文主要对如何选择和确定一个专题的一点思考. 爱因斯谈说过:提出问题比解决问题更重要.提出问题相当于发现一个新规律.至于正确处理与否 只不过是时间问题,总可以证明或证伪. 在做研究性学习时,老师一般自己去选择一些专题,交给学生,让学生在一定时间内完成.我觉得 还应当更进一步.老师选最后过渡到学生自己选,即让学生自己提出一个问题,并解决它.这对培养学 生思维独立性有巨大帮助,对进一步培养学生的创新能力和创新精神也有巨大的促进作用. 那如何培养学生提出问题 ⑴在课堂教学中培养.

①多采用启发式教学,创造一个良好的问题情境,问题贯穿整堂课始终,问题由学生提出. ②加强数学思想方法的教学.比如: ⅰ)对比方法教学:正面与反面对比,正向与逆向对比,题型间对比都会与原有认知冲突从而提出 问题. ⅱ)在讲授猜想,归纳,证明时有助于学生提出问题,故不可轻视. ⅲ) 特殊化思想教学有助于学生在事物的特殊处提出问题. 如常常验证公式在特殊情况下是否成立. ⑵培养学生观察自然,社会与生活各种现象的能力.这主要在课堂教学中找到概念的实际模型,在 教学中加强数学应用能力教学. 比如讲向量内积的教学可采用下列实际模型. 某人到商场买铅笔, 钢笔, 圆珠笔,分别为 a,b,c 支,价格分别为每支 m,n, 量(m,n,l),则内积 元.设笔数组成三维向量(a,b,c),价格组成三维向 即为价格总数.

⑶给学生讲讲科学家提出问题的故事,激起学生提出问题的兴趣,并意识到提出问题的重要性.比 如,哥德巴赫猜想,费尔马大定理都给数学注入活力. ⑷教导学生平时多多问自己几个为什么.比如: 为什么这种解法要比原先解法简单. 我为什么会想到这种办法. 为什么我这样做是错的,而那样做却是对的. ⑸老师自身要加强修养,培养自己提出问题的能力.把自己提出问题的过程,思路,当时情形讲给 学生听.比如有一次我问自己,三角形有无穷多个但到底有“多少”个即基数是多少.后来经过证明发 现跟实数一样“多”. 证明如下:把三角形放在直角坐标系中,则三角形由三个顶点坐标确定.设 显然一个三角形对应一有限实数列 假定 取遍所有实数,因为三点不能共线,故 有限制.由定理实数列全体 的基数是 C(C 为实数基数)得三角形集基数 A≤C,显然 A≥C,所以 A=C 而一个三角形有一个外接圆与它对应, 一个圆有一个内接三角形与它对应, 所以圆跟三角形一样多. 后来发现平行四边形,正方形,五边形,六边形等等集合的基数都是 C. 当老师把自己的亲身体会讲给学生听时,学生由于老师思维的别开生面,新奇,他会由不自觉到自 觉模仿老师的行为. 最后当学生初步具备这种提出问题的能力时,在实行研究性学习时,老师就可以让学生自己提出问 题并解决它. 而

扩展资料 巧用向量和求三角式的值举例

例:求 如图,在直角坐标系平面内作边长为 1 的正七边形,则七长边所对应的七个向量为:















显然,它们之和为 0,用坐标表示,它们又可分别表示如下:







同理可得:

如果将正七边形以原点为中心逆时针旋转 请同学尝试证明下列问题:

,还可以证昨:



,求下列三角式值.

(1)

.

(2)

参考答案:(1)

;(2)

. 习题精选

一、选择题 1.下列各命题中为真命题的是( )

①若

②若

③若

④若 A.①② B.②③ C.③④ D.①④

2.在点 A.-1 B.0 C.1 D.2

等于(



3.已知

,则向量



的夹角为(



A.

B.

C.

D.

4.已知 A.1 B.-1 C.1 或-1

恰好与 D.以上皆非

垂直,则实数

的值是(



5.设 有(

是两上非零向量,且 )

,则以下等式中与

等价的个数

① A.1 个

;② B.2 个

;③ C.3 个 D.4 个

;④

.

6.已知点 A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D.矩形



7.已知坐标平面上的三点 A(1,2)、B(4,1)、C(0,-1),则 A.直角三角形 B.等腰三角形

的形状为(



C.等腰直角三角形 D.A、B、C 均不正确

8.已知

.若

,则 m 的取值范围为(



A.(-1,1) B.

C.

D.

9.已知 A、B 是不同的两点,若

,则

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

10.已知向量 a、b 满足

,且

,则(



A.

B.

C.

D.

11.已知

.若 a 与 b 的夹角为钝角,则

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

12.已知



,则在下列各结论中为

的充要条件是(



① A.①③ 二、填空题

或 B.②③



;② C.③④

;③ D.①④

;④

13.若

,则

14.若

,则与 a 垂直的单位向量的坐标是______.

15.已知三点 三、解答题

,则



的夹角为______.

16.已知

.若存在向量 c,使得

,试求向量 c 的坐标.

17.已知向量 a 与 b 同向, (1)求向量 a 的坐标;

(2)若

,求

.

18.已知

.当

为何值时,

与 a 垂直?

19.如图所示,以原点和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形 坐标.

.求点 B 和



参考答案 1.B 2.B 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.A 12.D

13.

14.



15.

16.设

,则由

可得:



又由

可得:



于是有:

由(1)+2×(2)得

.将它代入(1)可得:

.



.

17.(1)因为 a 与 b 同向,又

,所以

.

又因为 件,∴ .

,所以

,解得



符合 a 与 b 向同条

(2)

18.

由于 ∴当

与 a 垂直,则有 时, 与 a 垂直.

19.设

,∴





,即





,即



由①②组成方程组

.解得



∴B 点坐标为









.

5.8 平移
教学目标 1.了解平移的概念及平移的几何意义; 2.掌握平移的公式及其推导过程,会用平移公式解决有关点的平移、化简函数式及求平移向量等 有关问题; 3.通过平移简化函数式,方便函数的研究,揭示平移图象和平移轴的内在联系,对学生进行辩证 唯物主义教育。

教学建议 知识结构

重点难点分析 本节重点是平移公式的推导过程及其应用.平移公式实质上是点之间的一种映射,它反映了图形中 的每一点前后的新坐标与原点间的关系.在向量知识的基础上介绍平移,一个平移就是一个向量,学好 平移有利于学生理解向量,能促使学生更自觉地应用向量知识去理解有关的数学概念.通过图象的平移 将复杂的函数解析式化简,是研究函数的一种重要方法. 本节难点是平移公式在函数图象平移中的应用.关键是把平移看成两个点集之间的映射,要分清原 象与象,对应法则,突数与形的转换.使学生理解平移与向量之间的关系,是正确应用平移公式的关键. 教法建议 1.在学生熟悉二次函数图像基础上,不妨径直提出问题:抛物线 y = (x-2) +3 怎样运动后,它 2 可有简单的表达式 y = x ?经验表明,多数学生能有正确答案,从而较顺利引入本课的主题. 2.类比力学中钢体平动引入几何图形上点的平移变换.用位移向量导出平移公式.通过例题与练 习的解答与分析讲解,使学生掌握平移变换问题求解的操作步骤,并逐步理解它的几何涵义.小结时强 调平移变换特征,点明典型问题的基本形式,在最后的引申和思考中,对学有余力的学生适当拓宽点变 换的形式.使他们在后续课程中对这一重要思想方法有更好的理解与掌握. 3.在教学过程中结合图形讲解,使学生理解平移图象的目的,关键是把平移看成两个点集之间的 映射,要分清原象与象,对应法则,突数与形的转换. 教学设计示例 一.教学目标 1.了解平移的概念及平移的几何意义; 2.掌握平移的公式及其推导过程,会用平移公式解决有关点的平移、化简函数式及求平移向量等 有关问题; 3.通过平移简化函数式,方便函数的研究,揭示平移图象和平移轴的内在联系,对学生进行辩证 唯物主义教育。 二.教学重点 教学难点 平移公式的推导过程及其应用. 平移公式在函数图象平移中的应用.
2

三.教学具准备 直尺、投影仪 四.教学过程 1.设置情境

初中学习二次函数图像时,把抛物线

向右平移两个单位,再向上平移 3 个单位,得新位置

上的抛物线 ,显然新、旧抛物线大小、形状都没有改变,只是位置发生了变化.这 里所说的大小、形状都没有改变,是从总体宏观上说明的.那么我们能否从微观上分析新、旧位置上两 抛物线对应点的坐标变化规律?本节课就来讨论这一问题. 2.探索研究 (1)概念讲授 师:把一个向量 a 平行移动到某一位置所得新向量与原向量相等吗? 生:相等. 师:把一个图形 F 作平行移动到某一个位置所得的新图形 生:相同. 师:演示图形 F 按向量 a 平移到图形 的过程,给出平移的定义. 与原图形 F 相同吗?

设图形 F 上任意一点 ,则由向量加法

,在接向量 得

平移后,图形

上的对应点为



这个公式叫做点的平移公式

指出两点:①平移公式反映了图形中每一点在平移前后的新坐标与原坐标间的关系.②平移公式只 适用于坐标轴不变,图形(或点)平移的情况. (2)例题分析

【例 1】(l)把点



平移,求对应点

的坐标



(2)点 M(8,-10),按 a 平移后的对应点

的坐标为(-7,4),求 a.

解:(1)由平移公式得

即对应点

的坐标为(1,3).

(2)由平移公式得





【例 2】 将函数

的图象 l 按

平移到

,求

的函数解析式。

解:设

为 l 上的任意一点,它在

上的对应点

由平移公式得。

将它们代入到

中得到



习惯上将上式中的



写作 x,y 即

的函数式为:



【例 3】 已知抛物线 (1)求抛物线顶点坐标; (2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时函数的解析式。

解:(1)设抛物线的顶点坐标为 即这条抛物线的顶点

,那么

的坐标为(-2,3)。

(2)将抛物线 以看做是将其按向量

平移,使点 平移得到的,设

与点 O(0,0)重合,这种图形变换可 则有

设 式得

是抛物线

上任意一点,平移后的对应点为

,由平移公

将它们代入

得到

整理得

即当将原抛物线平移到使顶点与坐标原点重合时,其函数解析式为: 3.演练反馈(投影)



(1)分别将点 A(3,5),B(7,0)按向量

平移,求平移后各对应点的坐标。

(2)把函数

的图像 l 按

平移到

,求

的函数解析式。

(3)若把点 A(3,2)平移后得到对应点

按上面的平移方式,若点 A(1,3),求



(4)将抛物线

经过怎样的平移,可以得到



参考答案:(1)



(2)

(3)(-1,4) 4.总结提炼

(4)按向量

平移

(1)从平移公式 对应点坐标。

上看,确定一个平移变换

,只要知道

或只安给出一对

(2)方程 得

在平移 ,但前后

下的新方程是 不是一回事。

,然后再把上标去掉,

(3)平移的作用:①求对应点坐标,②用于化简方程。(一般用待定系数)法,或配方法选择平 移向量 五.板书设计 课题 1.平移概念及平移公式 2.例 1 2 3 典型例题 3.演练反馈 4.总结提炼

例 1.(1)将点 A(5,7),B(2,3)按向量 平移后的坐标;

平移,求平移后各对应点的坐标及向量

(2)将函数 达式.

的图象按向量

平移,求平移后的图象对应的函数表

分析:对于(1),直接运用坐标平移公式便可求得 A、B 两点平移后对应点的坐标;对于(2), 欲求平移后图象对应的函数表达式,就是求 满足的关系式.

解:(1)设 A、B 平移后对应的点分别为

,由平移公式得

∴对应点



的坐标分别为(9,8),(6,4).

平移后为

,且

(2)设 那么

是函数

图象上的任意一点,平移后的对应点为



代入

,得







故欲求的函数表达式为



小结:求平移后的函数表达式,就是求

的关系式,但因为平移后的图象还是在原坐标系 xOy 与 的坐标相同,

中,因此还必须写成 x,y 的关系式.另外,细心的读者很快可以发现, 你认为是偶然的吗?

例 2. 把函数

的图象经过怎样的平移, 可以得到函数

的图象?

分析:解题时,只需找到平移前后图象上同一点的坐标之间的关系,就可求出平移向量 a.

解:由

可得











变成

.这与

相同.

与平移公式比较可得,



故所求的



小结: 利用换元法化简函数解析式是一种常用方法. 当所换的变量与原变量之间仅相差一个常数时, 这种换元实质上是一个平移变换.

例 3.将函数 进行平移,使得到的图形与抛物线 原点对称,求平移后的函数解析式. 分析:本体主要体现平移公式的灵活运用.

的两个交点关于

解: 设平移向量 a= (h, k) . 则将 设 和 是

按 a 平移后得到的图象的解析式为 与 的两个交点,则



解得



∴点(1,4)和点(-1,-4)在函数

的图象上,



解得

故欲求解析式为





小结:本题的实质是,求抛物线 关于原点对称的图形所对应的函数解析式, 利用函数奇偶性的性质也完全可以解决本题,有兴趣的读者不妨一试. 扩展资料 向量的旋转

我们知道点 及 来反映新点

沿着向量

平移后得到新点

,可以用点坐标

的坐标,其关系式是:

那么,把已知点 绕一定点旋转 表示新点坐标,下面我们就来讨论这一问题。

角后,能否也能用



设向量

旋转

后得到向量

求证:

事实上:取向量 a 的始点为 A,终点为 B,若记 ①向量 O 旋转 角,从而旋转后的向量为 ② 旋转 ,如令



,则有

角, 就是将它的起点 A 和终 点 B 分别关于原点 , 则



与 x 轴正方向的夹角为



,因

,故 所以

,显然





同理



⑥ 由⑤-③,得

⑦ 由⑥-④得:

⑧ 由①②⑦⑧得

这也就是点

绕原点旋转

后得点

的坐标变换关系式。 习题精选

一、选择题

1.把点 A(-2,1)按向量 A.(-2,2) B.(2,-2)

平移到对应点 C.(1,3)

,则点

的坐标为(



D.(3,4) )

2.将点按向量 a 平移后,该点的横、纵坐标分别减少了 4 和 2,则 a 等于( A.(4,2) B.(2,4) C.(-4,-2) D.(-2,-4)

3.将函数图像 l 按 式为

平移后得到图像

的解析式为

,则原图像 l 的解析

A.

B.

C.

D.

4.向量

的起点从原点(0,0)移到了(-2,1),则终点坐标为( C.(3,5) D.(0,1)



A.(5,-3) B.(0,0)

5.将函数

的图像(

) B.先向右平行移动 1 个单位 D.先向下平行移动 1 个单位

A.先向左平行移动了 1 个单位 C.先向上平行移动了 1 个单位

再作关于直线

对称的图像,可得到函数

的图像。

6.将函数

的图像按向量

平移后得到的函数为(



A.

B.

C.

D.

7.若将函数 的图像按向量 a 平移,使图象上点 P 的坐标由(1,0)变为(2,2,),则平 移后的图像的解析式为( )

A.

B.

C.

D.

8.将点 A 按向量 a 平移,若点 A 平移前的坐标为(0,m),平移后的坐标为(m,0),则向量 a 等于 ( )

A.

B.

C.

D.

9.将函数 ( )

的图像按向量 a 平移后得到的图像的解析式为

,则 a 等于

A.

B.

C.

D.

10.将方程 ,则 a 等于( )

的图像按向量 a 平移得到的图像的方程为

A. 二、填空题

B.

C.

D.

11.将点 A(3,2)、B(6,7)按向量

平移,则向量

平移后的坐标是______。

12.

的图像 C 按

平移得到

,则

的函数解析式为_______。

13.抛物线

按向量

平移后,其顶点在一次函数

的图像上,则

14.将函数 三、解答题

的图像按

平移后得到的图像的解析式为______。

15.将方程

的图像 C 按向量

平移后得到的图像的方

程为

。试求向量 a。

16. 将函数 像。试求 的解析式。

的图像按向量

平移后可得到函数

的反函数图

17.将二次函数

的图像按向量 。试求 p、q、r 的值。

平移后得到的图像的解析式为

18.已知把函数 。若 参考答案 1.C 2.C 3.C 4.B 5.D

的图像按向量 a 平移之后得到 ,求 m 的坐标。

的图像,且

6.A 7.A 8.C 9.B 10.C

11.

12.

13.3

14.

15.将方程

配方得



于是将图象 C 按向量

平移后得:



根据条件知:

∴向量



16.将函数 ,∴

的图像按向量

平移后得到图像的解析式为: 。

17.将二次函数

的图像按向量 ,即 ,

平移后得到的图像的解析式为: ,它就是



解之得:

18.由 得 ,即 ,所以 。

按 ,即

平移后得到

,由平移公式 ,对比知

,∴可设 ,从而 。

。由于

5.9 正弦定理、余弦定理
教学目标 1.了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理; 2.掌握正弦定理和余弦定理,能运用正弦定理和余弦定理解斜三角形,并会利用计算器解决解斜 三角形中复杂的计算问题; 3.会判定已知两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解; 4.通过利用向量证明正弦定理和余弦定理,了解向量的工具性和知识间的相互联系,体会事物之 间是相互联系的辩证思想; 5.利用计算器求解复杂的计算,了解现代科技在实际生活中的应用. 教学建议 知识结构

运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理,连同三角形、三角函数的其它知识作 为工具,比较系统地研究了斜三角形求解这个课题.知识结构可用框图表示如下:

重点难点分析 教学重点是正弦定理和余弦定理及其推导过程,正弦定理、余弦定理的运用.正弦定理和余弦定理 是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理,对于它们的形式、内容、证明方法和应用必须引起足 够的重视.用平面向量的数量积方法证明这两个定理,使学生巩固向量知识,突出了向量的工具性,是 向量知识应用的范例.利用正弦定理和余弦定理解斜三角形是中学数学的重点之一,教学上必须充分重 视,解斜三角形不仅有实际应用的意义,还由于它要求学生综合运用正弦定理、余弦定理和内角和定理 等众多基础知识解决几何问题和实际问题,有助于这些知识的掌握和培养分析问题和解决问题能力,所 以一向为数学教育所重视. 教学难点是运用正弦定理和余弦定理解斜三角形.对于利用向量推导正弦定理和余弦定理的方法, 学生理解有一定的困难,关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和三角函数联系起来.解斜 三角形时如何根据已知条件判断使用正弦定理,还是余弦定理,这要求学生对正弦定理和余弦定理要很 好的理解,还要与内角和定理及其它三角形和三角函数知识相联系.用正弦定理解已知两边及其中一边 对角的三角形,由于已知边、角取值不同,问题有无解、一解和两解各种情况使学生不易掌握.教学上 处理得当,这一难点并非很难克服. 教法建议 1.复习提问勾股定理,解直角三角形基本情况,通过直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般 形式,然后引入新课. 2.可先通过直角三角形特殊性质引导学生推出正弦定理形式,如要研究直角 系,若 C 为直角,则有 , 中的边角关

,这两个等式间存在关系吗?学生可以得到

,进一步提问,等式能否与边 c 和 建立联系?从而得到正弦定理.利用向量法 证明正弦定理时关键是引导学生如何通过向量的数量积把三角形的边长和三角函数联系起来, 由于向量 中与三角函数有联系是数量积,而且是余弦,如何选择辅助向量来建立联系?教学中在关键处设问,引 导学生主动探究,使学生对正弦定理的导出有透彻的理解.

3.正弦定理的其它证明方法可让学生课 后探讨: 传统的几何法,可以利用三角形面积

,各式中分别除以 到正弦定理.还可以通过圆内接三角形证明,在

,从而得

的内接圆中,过点 A 作圆的直径 AD,连接 CD,



,在

中有



,同理可得到其

它边角关系,即可证得. 利用向量也可采用如下方法:



的顶点 A 作 BC 边上的高,垂足为 D.

(1) 当 D 落在边 BC 上时, 由于 、 在



的夹角为





的夹角为



方向上的射影相等,有数量积的几何意义可知

即 所以

即 (2)当 D 落在 BC 的延长线上时,同样可以证得. 4.运用正弦定理解已知两角和任一边及已知两边和其中一边的对角这两个类型的问题,在教学中 紧紧抓住这一点启发学生得出具有什么条件的三角形能够运用正弦定理, 这样时学生能正确运用正弦定 理解题.其中例题讲解时,对于解的不同情况,用图形展示出来,以帮助学生理解. (5)余弦定理的证明也可先有直角三角形特例引入,让学生发现余弦定理是勾股定理的推广,勾 股定理是余弦定理的特例,使学生理解两者之间的内在联系,将新知识纳入已有的知识结构中去,为讲 解余弦定理打下基础.让学生探讨余弦定理及其变形公式的应用条件,更好的理解定理及其应用. 教学设计示例(第一课时)

一、教学目标 1.掌握正弦定理及其向量法推导过程; 2.掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 二、教学重点 教学难点 三、教学准备 直尺、投影仪. 四、教学过程 1.设置情境 师:初中我们已学过解直角三角形,请同学们回忆一下直角三角形的边角关系: 正弦定理及其推导过程,正弦定理在三角形中的应用; 正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定.

生:Rt

中有

师:对!利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角 形的其他边与其他角. 师:在直角三角形中,你能用其他的边角表示斜边吗?

生:在直角三角形 ABC 中,



师:这个式子在任意三角形中也是成立的,这就是我们今天要学的正弦定理(板书正弦定理). 2.探索研究

(1)师:为了证明正弦定理(引导学生复习向量的数量积), ,式子的左边与要证明的式子有相似之处吗?你能否构造一个可以用 来证明的式子.

生: 如图, 在锐角 与 的夹角为 由向量的加法可得 。

中, 过 A 作单位向量 j 垂直于

, 则j与

的夹角为

对上面向量等式两边同取与向量 j 的数量积运算,得到

同理,过点 C 作与

垂直的单位向量 j,可得



师:当 与 的夹角为

为钝角三角形时,设 ,j 与 的夹角为

,如图,过点 A 作与 ,同样可证得

垂直的向量 j,则 j

师:课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明? 师:请同学们观察正弦定理,利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 生:已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两边和其中一边的对角,可以求出三角 形的其他的边和角。

(2)例题分析

例1



中,已知

,求 b(保留两个有效数字)

解:∵





例2



中,已知

,求



解:由 ∵ 中

得 ∴A 为锐角 ∴

例3



中,

,求

的面积 S。

解:首先可证明: 这组结论可作公式使用。 其次求 b 边



∴由正弦定理,

∴ 3.演练反馈 (1)在 中,一定成立的等式是( )

A. C.

B. D.

(2)在

中,若

,则

是(



A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三有形

(3)在任一

中,求证

参考答案:(1)C;(2)D;(3)证:由于正弦定理:令 入左边得:左边= =右边 4.总结提炼



(1)三角形常用公式: 正弦定理以及下节将要学习的余弦定理。





(2)正弦定理表示形式: 。 (3)正弦定理应用范围: ①已知两角和任一边,求其他两边及一角。 ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

(外接圆直径);



③几何作图时,存在多种情况。如已知 a、b 及 A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数。 五、板书设计 课题 4.演练反馈

5.总结提炼 1.Rt△中

2.正弦定理及证明 3.例 1 2 3 教学设计示例(第二课时) 一、教学目标 1.掌握正弦定理在求解三角形中的应用; 2.能够判定利用正弦定理求三角形解情况,灵活运用正弦定理解决实际问题. 二、 教学重点 教学难点 三、教学具准备 投影仪 四、教学过程 1.设置情境 师:请同学们回想正弦定理的形式,并用文字叙述. 生:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即 利用正弦定

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