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河北省衡水中学2016届高三下学期第一次模拟考试文数试题 Word版含解析


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? ?x | x ? 2 ? 0? , B ? ?x | x ? a? , 若 A ?B ?A , 则实数 a 的取值范围是 ( A. ? ??, ?2? 【答案】D B. ? ?2, ?? ? C. ? ??, 2? D. ? 2, ?? ? )

考点:集合的运算. 2.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则 z1 ? z2 ? ( A.2 B.3 C. 2 2 D. 3 3

??? ? ??? ?



【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得, z1 ? ?2 ? i, z2 ? i ,所以 z1 ? z2 ? ?2 ? 2 ,故选 A. 考点:复数的表示与复数的模. 3.已知平面直角坐标系内的两个向量, a ? ?1,2? , b ? ? m,3m ? 2? ,且平面内的任一向量 c 都 可以 唯一的表示成 c ? ? a ? ?b ( ? , ? 为实数) ,则 m 的取值范围是( A. ? ??,2? 【答案】D 【解析】 B. ? 2, ??? C. ? ??, ???

?

?

?

?

?

?



D. ? ??,2? ?? 2, ???

试题分析:由题意得,平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c ? ? a ? ?b ( ? , ? 为实数) , 则 a, b 一定不共线, 所以 故选 D. 考点:向量的坐标运算. 4.如图所示的是计算 ( ) A. i ? 8 B. i ? 9 C. i ? 10 D. i ? 11

?

?

?

?

? ?

1 2 ? , 解得 m ? 2 , 所以 m 的取值范围是 ? ??,2? ?? 2, ??? , m 3m ? 2

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一个框图,其中菱形判断框内填入的条件是 2 4 6 20

【答案】C

考点:循环结构的程序框图的计算. 5.将函数 f ? x ? ? 3sin x ? cos x 的图像向左平移 m 个单位( m ? 0 ) ,若所得图像对应的函 数为 偶函数,则 m 的最小值是( A. )

2? 3

B.

? 3

C.

? 8

D.

5? 6

【答案】A 【解析】

试题分析:由题意得,函数 f ? x ? ?

3 sin x ? cos x ? sin( x ? ) ,将函数 f ? x ? ? sin( x ? ) 6 6

?

?

的 图 象 向 左 平 移 m 个 单 位 ( m ? 0 ), 得 f ? x ? ? sin( x ? m ?

?

? ? ? 2? f ? x ? ? sin( x ? m ? ) 为 偶 数 , 则 m ? ? k? ? ? m ? k? ? ,k ? Z ,当 k ? 1 时, 6 6 2 3 2? m? ,故选 A. 3
考点:三角函数的图象变换与三角函数的性质. 6.已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a4 a6 ? 16 ,则 A. 2 【答案】B B. 4 C. 8 D.16

6

) ,若使得

a10 ? a12 的值为( a6 ? a8



考点:等比数列的通项公式的应用. 7.某书法社团有男生 30 名,女生 20 名,从中抽取一个 5 人的样本,恰好抽到了 2 名男生和 3 名 女生①该抽样一定不是系统抽样;②该抽样可能是随机抽样;③该抽样不可能是分层抽样; ④男生被抽 到的概率大于女生被抽到的概率,其中说法正确的为( A.①②③ 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得,从男生 30 名,女生 20 名,从中抽取一个 5 人的样本,恰好抽到了 2 名 男生和 3 名女生,该抽样应该是简单的随机抽样,其中男生被抽到的概率为 P 1 ? 到的概率为 P2 ? B.②③ C. ③④ D.①④ )

3 ,女生被抽 5

2 ,所以只有②③是正确的,故选 B. 5

考点:抽样的应用.

8.已知点 Q 在椭圆 C : 为椭

??? ? 1 ???? ???? x2 y 2 ? ? 1 ,点 P 满足 OP ? OF1 ? OQ (其中 O 为坐标原点, F1 2 16 10

?

?

圆 C 的左焦点) ,则点 P 的轨迹为( A.圆 【答案】D 【解析】 试题分析: 因为点 P 满足 OP ? B.抛物线 C.双曲线

) D.椭圆

??? ?

1 ???? ???? OF1 ? OQ (其中 O 为坐标原点,所以点 P 是 QF1 的中点, 2

?

?

设 P (a, b) ,由于 F 1 为椭圆 C :

x2 y 2 a? 6 b ? ? 1 的左焦点,则 F1 (? 6,0) ,故 Q( , ) ,由 16 10 2 2

点 Q 在椭圆 C :

x2 y 2 (a ? 6)2 b2 ? ? 1 上,则点 P 的轨迹方程为 C : ? ? 1 ,故选 D. 16 10 64 40

考点:椭圆的标准方程及其简单的几何性质. 9.已知一个几何体的三视图的如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 27 ? 【答案】B

3? 2

B. 18 ?

3? 2

C. 27 ? 3?

D. 18 ? 3?

考点:几何体的三视图及体积的计算. 10.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC, AC ? BC ? 1, PA ? 3 ,则该三棱锥

外接 球的表面积为( A. 5? 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得, PA ? 平面 ABC , AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC, PB 是三棱锥 ) C. 20? D. 4?

B. 2?

P ? ABC 的外接圆的直径,因为 Rt ?PBA 中, AB ? 2, PA ? 3 ,所以 PB ? 5 ,可得外
接球的半径为 R ?

5 2 ,所外接球的表面积为 S ? 4? R ? 5? ,故选 A. 2

考点:球的组合体及球的表面积公式. 【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积,着重考查了直线与平面垂直 的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式,同时考查了推理与运算能力,属于中档试题, 本题的解答中,根据题意,证得 BC ? 平面 PAC, PB 是三棱锥 P ? ABC 的外接圆的直径,利 用勾股定理几何体题中数据算得球的直径,得到球的半径,即可求解球的表面积. 11.若函数 y1 ? sin 2 x1 ? 值 为( )

3 2 2 x1 ? ?0, ? ?? , 函数 y2 ? x2 ? 3 , 则 ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? 的最小 ? 2

A.

2? 12

B.

?? ? 18?
72

2

C.

?? ? 18?
12

2

?? ? 3 D.

3 ? 15 72

?

2

【答案】B

考点:利用导数研究曲线在某点处的切线;利用导数求闭区间上函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数 的最值,体现了导数的综合应用,其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解 决本题的关键,同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用,本题的解答中根据 平移切线法,求出和直线 y ? x ? 3 平行的切线或切点,利用点到直线的距离公式即可求解结 论.

?x ? y ? 4 ? 12.已知 x, y ? R ,且 ? x ? 3 y ? 0 ,则存在 ? ? R ,使得 ? x ? 4 ? cos ? ? y sin ? ? 2 ? 0 的概 ?y ? 0 ?
率为 ( A. )

? 4

B.

? 8

C. 2 ?

?
4

D. 1 ?

? 8

【答案】

考点:简单的线性规划的应用. 【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用,属于中档试题,着重考查了转化与化 归的思想和数形结合思想的应用,本题的解答中作出不等式组表示的平面区域,利用辅助角
2 公式将条件进行化简,转化为 ? 4 ? x ? ? y ? 2 ,对应的图象是以 (4, 0) 为圆心,半径 r ? 2

2

的圆的外部,求出对应饿平面区域的面积即可求得结论. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13.已知 p : x ?1 ? 2, q : x ? 2x ?1 ? a ? 0, ? a ? 0? ,若 ? p 是 q 的充分不必要条件,则实数
2 2

a的
取值范围是 .

【答案】 ? 0, 2?

考点:充分不必要条件的应用. 14.已知函数 f ? x ? ? 是 .

mx 2 ? ? m ? 3? x ? 1 的值域是 ?0, ?? ? ,则实数 m 的取值范围

【答案】 ?0,1? ? ?9, ?? ? 【解析】 试题分析:由题意得,函数 f ? x ? ? 函数 f ? x ? ?

mx 2 ? ? m ? 3? x ? 1 的值域是 ?0, ?? ? ,则当 m ? 0 时,

2 ?3x ? 1 的值域是 ?0, ?? ? ,显然成立;当 m ? 0 时,则 ? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ,

解得 0 ? m ? 1 或 m ? 9 ,综上可知实数 m 的取值范围是 ?0,1? ? ?9, ??? . 考点:函数的值域及二次函数的性质. 15.若点 P 是以 F1 , F2 为焦点的双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点,满足 PF1 ? PF2 ,则 a 2 b2

PF1 ? 2 PF2 ,
则次双曲线的离心率为 【答案】 5 .

考点:双曲线的定义及简单的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解,属于中档 试题,着重考查了推理与运算能力,解答的关键是抓住要求离心率的定义,利用题设条件建

立 a, b, c 的关系式,即可求解

c 的值,得到双曲线的离心率,本题的解答中根据双曲线的定 a

义和题设条件,可得 PF 1 , PF 2 ,在直角三角形中,利用勾股定理得到 a, b, c 的关系式. 16.已知函数 f ? x ? ? A cos 2 ?? x ? ? ? ? 1? A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 像与

? ?

??

? 的最大值为 3, f ? x ? 的图 2?

y 轴的交点坐标为 ? 0, 2 ? ,其相邻两条对称轴间的距离为 2,则
f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ?? f ? 2016? ?
【答案】 4032 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 .

f ? x ? ? A cos 2 ?? x ? ? ? ? 1 ? A ?
为 3 ,所以

1 ? cos(2 wx ? 2? ) A A ? 1 ? cos(2 wx ? 2? ) ? 1 ? 的最大值 2 2 2

A A ? 1 ? ? 3 ,所以 A ? 2 ,根据函数相邻两条对称轴间的距离为 2 ,可得函数的 2 2 2? ? ?4 , 所 以 w? 最 小 正 周 期 为 4 , 即 , 故 函 数 的 解 析 式 为 w 4 x ? ) ? 2 ? ? sin x ? 2 , 所 以 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ? f ? 2016? 2 2 2 ? ? ? ? ? ?[sin ? sin( ? 2) ? sin( ? 3) ? ? ? sin( ? 2015) ? sin( ? 2016)] ? 2 ? 2016 ? 0 ? 4032 ? 4032 2 2 2 2 2 f ? x ? ? cos(
. 考点:二倍角公式;三角函数的图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数 y ? A sin( wx ? ? ) 的图象与性质,着重 考查分析问题、解答问题的能力和运算能力,属于中档试题,本题的解答中,由函数的最值 求出 A 的值,在根据相邻两条对称轴间的距离,求出函数的周期,确定 w 的值,根据特殊点 的坐标求解 ? 的值,确定函数的解析式,再利用三角函数的周期性求解相应式子的值. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
n ? 17. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且首项 a1 ? 3, an ?1 ? S n ? 3 n ? N . n (1)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

?

?

?

?

?

(2)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围.

【答案】 (1)证明见解析; (2) ? ?9, ?? ? .

考点:等比数列的定义及等比数列的性质的应用. 18. (本小题满分 12 分)去年年底,某商业集团公司根据相关评分细则,对其所属 25 家商业 连锁 店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按 ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 分成四 组,其频率分布 直方图如下图所示,集团公司依据评估得分,将这些连锁店划分为 A, B, C , D 四个等级,等 级评定标准如 下表所示.

(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数; (2)从评估分数不小于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验,求至少选一家 A 等级的概 率. 【答案】 (1) 75 , 75.4 ; (2)

3 . 5

家 A 等级的概率为

3 . 5

考点:频率直方图、众数与平均数的计算;古典概型及其概率的计算. 19.(本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,侧面 ACC1 A 1 与侧面 CBB 1C1 都

是菱形,

?ACC1 ? ?CC1B1 ? 60?, AC ? 2 .
(1)求证: AB1 ? CC1 ; (2)若 AB1 ? 6 ,求四棱锥 A ? BB1C1C 的体积.

【答案】 (1)证明见解析; (2) 2 .

故 VA? BB1C1C ?

1 S ? OA ? 2 . 3 菱形BB1C1C

考点:直线与平面垂直的判定与证明;几何体的体积的计算. 20. (本小题满分 12 分)设抛物线 C1 : y 2 ? 4x 的准线与 x 轴交于点 F1 ,焦点 F2 ;椭圆 C2 以

F1 和 F2 为焦点,离心率 e ?
(1)椭圆 C2 的方程;

1 .设 P 是 C1 与 C2 的一个交点. 2

l (2)直线 l 过 C2 的右焦点 F2 ,交 C1 于 A1 , A2 两点,且 A 1 F2 的周长,求 的方 1 A2 等于 ?PF
程.

【答案】 (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2) y ? 2 ? x ? 1? 或 y ? ? 2 ? x ? 1? . 4 3

考点:椭圆的标准方程及其简单的几何性质;直线与圆锥曲线综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应 用,解题是要认真审题,注意椭圆的弦长公式的合理运用,着重考查了推理与运算能力和分 类讨论思想的应用,本题的解答中,利用 ?PF1 F2 的周长为 6 ,得出弦长,可设 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) 与 C1 的方程联立,由此利用弦长公式,即可求解直线的方程.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e( e 为自然对数的底数) 处 的切线的斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? ? kx 对任意 x ? 0 成立,求实数 k 的取值范围;
2

? (3)当 n ? m ? 1 m, n ? N 时,证明:

?

?

m

m m ? . n n n

【答案】 (1) a ? 1 ; (2) ?1, ?? ? ;3) 【解析】

n

m m ? . m n n

试题分析: (1) 求出 f ? x ? 的导数, 由切线的斜率为 3 , 解方程, 即可得到 a ; (2) f ? x ? ? kx2 对任意 x ? 0 成立,得 k ?

1 ? ln x 1 ? ln x 对任意 x ? 0 成立,令 g ? x ? ? ,则问题转化为求 x x

g ? x ? 的最大值,运用导数,求出导数,求得单调区间,得到最大值,令 k 不小于最大值即可;
( 3 )令 h ? x ? ?

x ln x ,求出导数,判断其单调性,即得 h ? x ? 是 (1, ??) 上的增函数,由 x ?1

n ? m ? 1,则 h(n) ? h(m) ,化简整理,即可得证.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的综合应用和不等式的证明. 【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,考

查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值,同时考查了与函数有关的不等式的证明,运 用构造函数,求得导数的单调性,再由单调性证明,试题有一定的难度属于难题,着重考查 了转化与化归的思想方法和构造思想的应用,对于此类问题平时要注意总结和积累. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是圆 O 的直径. (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 4, CF ? 6 ,求 AC 的长.

【答案】 (1)证明见解析; (2)

10 . 3

考点:圆的性质及与圆相关的比例线段. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点,点 A ? 2,

?? ? ?? ? ? , B ? 2 2, ? . 4? ? 2? ?

(1)求经过点 O, A, B 的圆 C 的极坐标方程; (2)以极点为坐标原点,极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系,圆 D 的参数方程为

? x ? ?1 ? a cos ? (? ? ? y ? ?1 ? a sin ?
是参数, a 为半径) ,若圆 C 与圆 D 相切,求半径 a 的值. 【答案】 (1) ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??

(2) a ? 2 或 a ? 3 2 . ?; 4?

考点:参数方程与普通方程的互化;简单曲线的极坐标方程. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? x ? 4 ? m . (1)解关于 x 的不等式 g ? ? f ? x ?? ??2?m ? 0; (2)若函数 f ? x ? 的图像恒在函数 g ? x ? 图像的上方,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) ? ?6, ?2? ? ? 2,6? ; (2) ? ??,4? .

考点:函数的恒成立;函数的值;绝对值不等式的求解.


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