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2.3 直线,平面垂直的判定及其性质


本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定(第一课时) 2.3.1 直线与平面垂直的判定(第二课时) 2.3.2 平面与平面垂直的判定(第一课时) 2.3.2 平面与平面垂直的判定(第二课时) 2.3.3 直线与平面 垂直的性质 2.3.4 平面与平面 复习与提高

2.3.1

直线与平 面垂直的判定
第一课时

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1. 直线和平面垂直是怎样定义的? 2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面 垂直需要哪些条件?

1. 直线与平面垂直的定义
问题 1. 在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一 种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子 吗? 你认为怎样定义直线与平面垂直恰当? 直线与平面垂直的定义: 如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直, 记作 l⊥a, 直线 l 叫做平面 a 的垂线, 平面 a 叫做直线 l 的垂面. 线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直, 有且只有一个公共点, 即交点, 这个交点叫做线面垂直 的垂足.

画直线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平 面的平行四边形的横边垂直. 画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平 面的平行四边形的竖直边垂直. l m

a
l⊥ a

b
m ⊥b

问题2: 已知平面 a 和空间任意一点 P, 过点 P 能 作 a 的几条垂线? 为什么? 只有一条. P · 如果有两条, PA⊥a, PB⊥a, 垂足分别为 A, B. A B a 则 PA, PB 确定的平面 与 a 相交于一直线 AB. 于是 PA⊥AB, PB⊥AB, 则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直, 根据平面几何知识, 这显然不对.
结论: 过空间任意一点, 有且只有一条直线和 已知平面垂直.

2. 直线与平面垂直的判定
用定义判断线面垂直不太方便, 怎样有较方便的 方法判断线面垂直呢, 我们先看下面的问题. 问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边 放在桌面内, 另外一条直角边不在桌面内, 请问这另 一条直角边与桌面垂直吗? (2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开, 并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有 不垂直的可能吗? D 当A、B、C 不共线时, 折痕DC垂直桌面; A C 当A、B、C 共线时, 折痕DC不一定垂直桌面. B

直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. 由线线垂直得线面垂直. 符 号 表 示 : l⊥ a , l⊥ b , a? a , b? a , a∩b, b a l

a

? l⊥ a .

问题 4. 一旗杆高 8 m, 在它的顶端系两条长10m 的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两 点 ( 与旗杆脚不在同一直线上). 如果这两点与旗杆脚 相距 6m, 那么旗杆就与地面垂直, 为什么? 如图, AB=8, A AC=AD=10, BC=BD=6, △ABC和△ABD的三边 满足勾股定理, ∴ AB⊥BC, AB⊥BD, B 而 BC、BD在地面内, C D C、B、D不在同一直线上, 即 BC, BD相交, 由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.

例 1. 如图, 已知 a∥b, a⊥a. 求证: b⊥a. 证明: 在 a 内任作两相交直线 m、n,

∵ a⊥ a , m?a, n? a ,

a ? a⊥m, a⊥n, ∵ b∥ a, ? b⊥m, b⊥n, 又 m 与 n 相交,

b
m

a
? b⊥ a .

n

结论: 两平行线中的一条垂直于一个平面, 那 么另一条也垂直于这个平面.

练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是 平面 a 的斜线段, 直线 l?a. 求证: P (1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA; (2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA. 证明: (1)
a Q
A l

∵PQ⊥a, l?a.
∴PQ⊥l. 若 l⊥PA,

? l⊥平面PQA.
QA?平面PQA,

?l⊥QA.

练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是 平面 a 的斜线段, 直线 l?a. 求证: P (1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA; (2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA. 证明: (2)
a Q
A l

∵PQ⊥a, l?a.
∴PQ⊥l. 若 l⊥QA,

? l⊥平面PQA.
PA?平面PQA,

?l⊥PA.

练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是 平面 a 的斜线段, 直线 l?a. 求证: P (1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA; (2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA. Q 为垂线段 PQ 的垂足. A 为斜线段 PA 的斜足. QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.
a Q
A l

有三条线: ①平面的斜线, ②斜线在平面上的射影, ③平面内的一条直线 l.

结论: 如果 l ⊥斜线, 则 l⊥射影; 如果 l⊥射影, 则 l⊥斜线. (三垂线定理)

探究题. 如图, 直四棱柱 A?B?C?D?-ABCD ( 侧 棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 底面四边形 ABCD 满足什么条件时, A?C⊥B?D?? D? A? 分析: 由题中定义知, (改为如 侧棱 A?A⊥平面A?B?C?D?, 下的证明 B? C? 题 , 请同 A D 从而 A?A⊥B?D?. 学们给出 又要使 A?C⊥B?D?, B 证明) 则需 B?D?⊥平面A?AC. C 所以需在平面A?AC内另找一条直线 与B?D?垂直且与A?A相交. 容易考虑的是AC是否满足? 要使AC⊥B?D?, 四边形ABCD需满足: BA=BC, 且DA=DC.

如图, 直四棱柱 A?B?C?D?-ABCD ( 侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 已知 A?B?=B?C?, A?D?=D?C?, 求证: B?D?⊥A?C. D? A? 证明: 连结A?C?, B? ∵A?B?=B?C ?, C? ?B?D?⊥A?C?, A D A?D?=D?C ?, AA?⊥平面A?B?C?D? ?AA?⊥B?D?, (定义 B) AA?∩A?C?=A?, ? B?D?⊥平面AA?C?C, (判定) A?C ?平面AA?C?C,
C

?B?D?⊥A?C. (定义)

练习: (课本67页) 第 1、 2 题 . 练习: (课本69页)

练习: (课本67页) 1. 如图, 在三棱锥 V-ABC中, VA=VC, AB=BC, 求证: VB⊥AC. 证明: 取 AC 边的中点 D, 连接 VD, BD. ∵ VA=VC, ?VD⊥AC, VB=BC, ?BD⊥AC, ? AC⊥平面VDB,
V

A

D· B

C

而 VB?平面VDB,
∴AC⊥VB.

2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90?, 则 O 是 AB 边 的 中点 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的 心. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是 △ABC的 心. P 解: (1) 如图, PO⊥a, 则∠POA=∠POB=∠POC=90?, A C O a 又 PA=PB=PC, B ∴△POA≌△POB≌△POC, 得 OA=OB=OC, 又∠C=90?, 直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.

2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90?, 则 O 是 AB 边 的 中点 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的 外 心. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是 △ABC的 心. P 解: (2) 由(1)得 OA=OB=OC, 到三角形三顶点的距离相等 的点是三角形的外心.
A O

a
B

C

2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90?, 则 O 是 AB 边 的 中点 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的 外 心. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是 △ABC的 垂 心. P 解: (3) 由 PA⊥PB, PA⊥PC, 得 PA⊥平面PBC, ?PA⊥BC. A C O a 又由 PO⊥a 得 PO⊥BC, B 于是得 BC⊥平面POA, ?BC⊥AO. 同理可得 AB⊥CO, ∴O 为△ABC的垂心.

练习: (课本69页)
如图, 正方形 SG1G2G3中, E, F 分别是 G1G2, G2G3 的中点, D 是 EF的中点, 现在沿 SE, SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体, 使 G1, G2, G3 三点重合, 重合后的点记为 G, 则在四面体 S-EFG 中必有( A ) S (A) SG⊥△EFG所在平面 G3 (B) SD⊥△EFG所在平面 F (C) GF⊥△SEF所在平面 D (D) GD⊥△SEF所在平面
G S E D F G1 E G2

【课时小结】
1. 线面垂直的定义 若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线, 则叫 l⊥a. 应用: 若 l⊥a, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线. l⊥ a , ?l⊥m. m?a,

【课时小结】
2. 线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相 交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个 平面. l⊥ a , l⊥ b , a? a , b? a , a∩b=P,

? l⊥ a .

【课时小结】
3. 相关结论 ◆过空间任意一点, 有且只有一条直线 和已知平面垂直.

◆两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. ◆如果平面内的一条直线垂直平面的斜 线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;
◆如果平面内的一条直线垂直平面的一 条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜 线.

习题 2.3
B组 第 2、4 题

习题 2.3 B组 2. 如图, 棱锥 V-ABC中, VO⊥平面 ABC, O?CD, VA=VB, AD=BD, 你们能判定 CD⊥AB 以及 AC=BC 吗? V 答: 能判定. C 由 VA=VB, AD=BD 得, A O VD⊥AB. D 又由VO⊥平面 ABC 得, B VO⊥AB. 于是得AB⊥平面VOD, ? AB⊥OD. ∵ O?CD, ∴ AB⊥CD, 而 AD=BD, 从而得 AC=BC.

4. 如图, AB 是 ⊙O 的直径, 点 C 是 ⊙O 上的 动点, 过动点 C 的直线 VC 垂直于 ⊙O 所在平面, D, E 分别是 VA, VC 的中点. 试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系, 并说明理由. V 解: DE⊥平面VBC. 由直径所对的圆周角是直角得 D E AC⊥BC. O A 又由 VC 垂直于 ⊙O 所在平面得 B · C AC⊥VC. ∴ AC⊥平面VBC. 而 D, E 分别是 VA, VC 的中点得 DE//AC, ∴ DE⊥平面VBC.

2.3.1

直线与平 面垂直的判定
第二课时

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1. 什么是斜线在平面上的射影?
2. 直线和平面所成的角是由哪些元素构成? 其范围是多少? 3. 求直线和平面所成角的大小时, 应掌握 哪些要点?

【直线和平面所成的角】
问题5. 如图, 直线 l 与平面 a 斜交于一点 A, 过 点 A 在平面 a 内作直线 l1, l2, l3, …, 这些直线与直 线 l 的夹角中, 你认为哪个角最小? 怎样确定这个最 l 小的角? 过 l 上任一点 P 作平面 a 的 垂线 PO, 垂足为 O, 连结 AO, 则∠PAO 就是那个最小的角.
l2 P O l1 A

a l 3

l4

【直线和平面所成的角】
问题5. 如图, 直线 l 与平面 a 斜交于一点 A, 过 点 A 在平面 a 内作直线 l1, l2, l3, …, 这些直线与直 线 l 的夹角中, 你认为哪个角最小? 怎样确定这个最 l 小的角? P 一条直线 PA 和一个平 l1 l2 面 a 相交, 但不垂直, 这条 A O a l 直线叫做这个平面的斜线, l4 3 其交点 A 叫做斜足. 过斜线 上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和 斜足 A 的直线 AO 叫斜线在平面上的射影. 平面的 一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这 条直线和这个平面所成的角.

PO∩a = O, PQ⊥a, Q 为垂足, 则 OQ 是 PO 在平面 a 上的射影. ∠POQ 是斜线 PQ 与 平面 a 所成的角.
Q

P O

a

特例1: 如果直线垂直平面, 直线和平面所成的 角为直角;
特例2: 如果直线和平面平行或在平面内, 就说直 线和平面所成的角是0? 的角.

问题6. 已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判断 l1∥l2? 反之, 如果 l1∥l2, l1, l2 与平面a 所成的角是否相等? A C 如图, AB⊥a, CD⊥a, D a B O ∠AOB =∠COD. 而 AO 与 CO 不平行. A C 如图, AB∥CD, O1 O2 B D AO1⊥a, CO2⊥a, a 则 AO1∥CO2, 于是得∠BAO1=∠DCO2, 则在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.

结论: 和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定 平行. 两条平行线和同一个平面所成的角一定相等.

例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求 直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
D1 C1 分析: 需在平面A1B1CD上 B1 A1 找到直线A1B的射影. O 即需找过A1B上的点垂直 D C 平面A1B1CD的直线. 而 BB1, BC不可能垂直平面A1C, A B 易看出对角线 BC1 有可能. 则可在Rt△BA1O中求. 因为BC1⊥B1C, 还容易看出BC1⊥A1B1, 于是可连结BC1, 交B1C于O, 即A1O就是要找的射影. ∠BA1O就是所要求的线面角,

例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求 直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
D1 C1 解: 连结 BC1, 交 B1C 于 O, B1 则在正方形BCC1B1中, BC1⊥B1C. A1 O 又∵A1B1⊥平面BCC1B1, D C ∴得 A1B1⊥BC1. 则 BC1⊥平面A1B1CD, O为垂足. A B 得 A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影. ∠BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角, 在 Rt△BA1O 中, A1B=BC1=2BO, sin ?BA1O = BO = 1 , 得∠BA1O=30?. A1B 2 ∴直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30?.

例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求 直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. 求线面角的要点: (1) 找斜线在平面上的射影, 确定线面角. (2) 构造含线面角的三角形, 通常构造直角三角形. (3) 在三角形中求角的大小.
D1 C1 B1 O D

A1

C B

A

练习(补充) 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, (1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 AA1 与平面 A1BD 所成角的正切值. 解: (1) ∵A1C是平面B1BCC1的斜线, D1 C1 A1B1是平面B1BCC1的垂线, B1 A1 ∴B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,

则∠A1CB1为所求的线面角.
在Rt△A1B1C中, B1C = 2 A1B1, A1B1 1 ?tan?A1CB1 = = = 2. B1C 2 2
A

D

C B

即 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值为 2 . 2

练习(补充) 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, (1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值. 解: (2) 取 BD 的中点 O, D1 C1 连结 AO, A1O, B1 A1 过点 A 作 AE⊥A1O, 垂足为 E. ① ∵AB=AD, A1B=A1D, E D C ∴BD⊥AO, BD⊥A1O, O A B 则 BD⊥平面A1AO, 得 BD⊥AE. ② 由①②得AE⊥平面A1BD. ∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,

练习(补充) 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, (1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值. 解: (2) 取 BD 的中点 O, D1 C1 连结 AO, A1O, B1 A 1 则 ∠AA1E 为所求的线面角. 过点 A 作 AE⊥A1O, 垂足为 E. ① 在 Rt △ A1= AO 中 ,A B=A D, ∵ AB AD , E 1 1 D AO C tan? AA E = , 1 ⊥AO, BD⊥A O, ∴BD O A1 A 1 A B 1 1 则 BD ⊥ 平面 A AO , ? AO = BD = 2 1 2 A1 A, 2 得 BD⊥AE. ② 2 ?tan?AA1E = . 由①②得AE⊥平面 2A1BD. 2. 即 A A 与平面 A BD 所成角的正切值为 ∴A11 E是A1A在平面 A1BD上的射影, 1 2

【课时小结】
1. 直线和平面所成的角 (1) 平面的斜线与平面所成的角 斜线与射影的夹角(锐角). (2) 平面的垂线与平面所成的角为90?. (3) 平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为0?. 斜线和平面所成的角是斜线和平面内所 有直线所成角中最小的.

两条平行线和同一个平面所成的角相等.

【课时小结】
2. 求线面角的要点
(1) 找斜线在平面上的射影, 确定 线面角. (2) 构造含角的三角形, 用三角函 数求解.

1. 若一直线与平面所成的角为 ? , 则此直线与该 3 平面内任一直线所成的角的取值范围是 .
2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等 边三角形, 侧棱与底面所的角为60? , 求三棱锥的体积. 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1B与平 面BC1D1所成的角为 . B A
C
B1 C1 D1

练习(补充)

D
A1

1. 若一直线与平面所成的角为 ? , 则此直线与该 3 ?, ? ] [ 平面内任一直线所成的角的取值范围是 . 3 2 解: 如图, 直线AB是直线PC在平面 a 内的射影, 直线 PC 与平面 a 内的直线 P 所成的角中, a A D C B ∠PCA最小, 直角最大. 则PC与平面内任一直线所成的角的范围是 [ ? , ? ]. 3 2

2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等 边三角形, 侧棱与底面所成的角为60? , 求三棱锥的体 P 积. 解: 如图, PA=PB=PC=2. C E 作PO⊥底面ABC, 垂足为O, O 则∠PAO=∠PBO=∠PCO=60? , A B 得 Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC, 于是得 OA=OB=OC. ∴ O 为底面正三角形的中心, 得 AO=1, PO = 3 , 底面△ABC的高AE= 3 , 2 3 AE 则 BC=2BE= 2 = 2 2 = 3. tan B t a n 6 0 ?

2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等 边三角形, 侧棱与底面所的角为60? , 求三棱锥的体积.
解: 如图, PA=PB=PC=2. 作PO⊥底面ABC, 垂足为O, 则∠PAO=∠PBO=∠PCO=60? , 得 Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC, A 于是得 OA=OB=OC. ∴ O 为底面正三角形的中心, 1 BC ? AE 3 3 则 S = = . 得 AO= ?1, ABC PO = 3 , 2 4 3, 底面△ ABC 的高 AE = ∴棱锥的体积为 2 33 3 1 3 1 ? 3= 4. V = S?ABCAE ? PO = 3 ? 2 4 = 3. 则 BC=2BE 3 =2 =2 tan B t a n 6 0 ?
P C E O

B

3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1B与平 面BC1D1所成的角为 30? . 解: 如图, 平面BC1D1就是平面ABC1D1, B A 连结A1D, 交AD1于E, C D 则A1E⊥AD1, E A1E⊥AB, B1 A1 ? A1E⊥平面ABC1D1, C1 D1 连结BE, 则∠A1BE就是A1B与平面BC1D1所成的角, 设正方体的棱长为a, 2 在Rt△A1ED中, A1 E = a , A1 B = 2a , 2 2a . ?sin?A1 BE = 2 = 1 , ?∠A1BE=30? 2a 2

2.3.2
平面与平面垂直的判定
第一课时

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1. 什么叫二面角? 2. 二面角的大小是由什么确定的? 求二面 角的大小的关键是什么?

【1】二面角 问题 1. 当我们要求别人将一扇门(如教室门)开 大点, 或开小点时, 用什么来度量, 使开门的人能 准确地按要求开门? 如图, 两个平面相交, 常 要研究交成的角的大小, 这就 需要引入二面角.

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个 半平面叫做二面角的面. 如图, 记作 二面角 a-l-b, 或 二面角 a-AB-b, 二面角 P-l-Q, 二面角 P-AB-Q.
P A

b a

l
Q

B

【2】二面角的平面角 要研究和度量二面角的大小, 我们把它转化成从 一点出发的两条射线的夹角. 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小就由它的平面角确定. 如图, 以棱 l 上任一点O为端点, 在半平面 a 内作OA⊥l, 在半平面 b 内作OB⊥l, 则∠AOB就是二面角a-l-b 的平面角. ∠AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.

blO a

B

·
A

我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5? . 即卫星轨道平面与赤道

平面所成的二面角是68.5?.
赤 道 平 面

问题 2. 如图, △ABC和△DBC是空间的两个等边 三角形, ∠ABD和∠ACD是二面角 A-BC-D的平面角 吗? 如果不是, 你能找出它的一个平面角吗? 答: ∠ABD和∠ACD都不是二 面角A-BC-D的平面角, 因为它们的 边与二面角的棱BC不垂直.
A C B D

取BC的中点E, 连结AE、DE, E 则AE⊥BC, DE⊥BC, ∴ ∠AED就是二面角A-BC-D的平面角.

问题3. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 怎样计算二面角 A1-BD-C1 的大小. D 解: 取 BD 的中点 O, C O 连结 A1O, C1O. A B ∵A1B=A1D, C1B=C1D, ∴A1O⊥BD, C1O⊥BD, D1 C1 则∠A1OC1 就是二面角 E A1-BD-C1 的平面角. A1 B1 连结 A1C1. 可算出 △A1C1O 的边A1C1, A1O, C1O. 以后学了余弦定理即可解得∠A1OC1. 也可作A1C1的高OE, 在直角三角形中求角.

例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB//DC, AB⊥BC, PC⊥平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值. 分析: 目标: 找二面角P-AD-C 的平面角. P 在平面 PAD 内找 AD 的垂线, 在平面 ABCD 内找 AD 的垂线. D C 凭直观, 考查图中已有的角, B A 线, 点等. PD, CD⊥AD 否? 不垂直. PA, BA⊥AD 否? BA与AD不垂直. 则考虑连结 AC, 得∠ACD=45?, 如果AC⊥AD, 需∠CDA=45?. 在底面梯形中可求得∠CDA=45?.

例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB//DC, AB⊥BC, PC⊥平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值. 解: 取 DC 的中点 E, 连结 AE, AC. P ∵PC=CB=BA=2, DC=4, AB⊥BC, ∴ABCE 是正方形. E D C 得 AE⊥DC, AE=DE, B A 则 ∠ADE=45?. ∴得 AD⊥PA. 又∠ACD=45?, 则∠PAC为二面角 ∴AD⊥AC. P-AD-C 的平面角. ∵PC⊥平面ABCD, 在底面求得 AC= 2 2 , ∴PC⊥AD. 2 2. ∴ tan ∠ PAC = = 则 AD⊥平面 PAC, 2 2 2

练习(补充) 1. 在正方体ABCD-A?B?C?D?中, 求二面角 A-B?C-B的正切值. A?
D? C?

B?
D

C
B

A

2. 30?的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点 到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.

1. 在正方体ABCD-A?B?C?D?中, 求二面角 AB?C-B的正切值. 解: 连接 BC?交 B?C 于 G, 连结AG, 则 BG⊥B?C.
∵AB⊥B?C, ∴B?C⊥平面ABG. 得 B?C⊥AG. 在Rt△ABG中, 设 AB=1, 则 BG = 2 , 2 ? tan?AGB = AB = 2 . BG
A D? A? D B

C?

B?
G

C

∴∠AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.

2. 30?的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点 到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.
解: 如图, 二面角a-l-b 是30?. P?a, PQ⊥l 于Q, PQ=h. 作 PO⊥b, O?b, 连结 OQ. 则 PQ⊥l. ∴ l⊥平面 POQ, 则 l⊥OQ. ∴∠PQO是二面角的平面角. 则 ∠PQO=30? .
1 PQ 1 = h. 在Rt△POQ中, PO= 2 2 1 h. 即点 P 到 b 的距离是 2
a

P b · O

l
Q

【课时小结】
1. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面.
P A

记作 二面角 a-l-b,

b a

l
Q

B

二面角 a-AB-b, 二面角 P-l-Q, 二面角 P-AB-Q.

【课时小结】
2. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小由它的平面角确定.

blO O ·

B

∠AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.

a

A

【课时小结】
3. 求二面角的大小 (1) 找到二面角的两个半平面与棱.

(2) 找二面角的平面角.
在两个半平面内找垂直于棱的直线, 垂足 为棱上同一点. 常用到线线垂直与线面垂直转换.

(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小.

习题 2.3 A组 第 4、 7 题 .

4. 如图, 三棱锥 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= 2 3, VC=1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数. V 解: 取AB的中点D, 连接 VD, CD, C A 而 VA=VB=AC=BC=2, D· ∴VD⊥AB, CD⊥AB, B 则∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角. 而 AB = 2 3 , 则由勾股定理求得 VD=CD=1, 又 VC=1, ∴△VCD是等边三角形, ∠VDC=60?, 即二面角 V-AB-C 的大小为60?.

7. 如图, 正方体ABCD-A?B?C?D?中平面ABC?D?与 正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?

解: 与上底面所成二面角 的平面角是 ∠B?C?B =45?. 与下底面所成二面角的 平面角是 ∠C?B C =45?. 与前面所成二面角的 平面角是 ∠B?BC? =45?. 与后面所成二面角的 平面角是 ∠BC?C =45?.

D?

C? B?

A?
D A

C B

平面AC?过左、右面的垂线AB, 所以与左、右面成90?的二面角.

2.3.2
平面与平面垂直的判定
第二课时

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1. 平面与平面垂直是怎样定义的? 2. 两平面垂直的判定定理的内容是什么? 证明两平面垂直需要哪些条件?

【3】两个平面垂直的定义 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 问题3. 观察教室中的物体, 哪些二面角是直二 面角? 一般地, 两个平面相交, 如果它们所成的二 面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直. 平面 a 与平面 b 垂直, 记作: a⊥b. 画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成 和水平平面的横边垂直.

b a

b

a

【4】两个平面垂直的判定 问题3. 请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面, 再用书面或硬纸板紧靠铅笔, 请问: 书面与桌面构成 直二面角吗? 书面与桌面是否垂直?

两个平面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面 垂直. 符号表示:
b
l

l⊥ a , ? b?a. l ?b,

a

例3. 如图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在 的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点. 求证: 平面 PAC⊥平面 PBC. P 解: ∵AB是⊙O的直径, 又C是⊙O上的点, C ∴ AC⊥BC, 又 ∵ PA⊥圆面, BC?圆面, A · B O ∴ PA ⊥ BC, 得 BC⊥平面PAC, 而 BC?平面PBC,
?平面PBC⊥平面PAC.

探究题. 如图, 已知AB⊥平面BCD, BC⊥CD, 你能发现哪些平面互相垂直, 为什么? 过AB的平面与底面垂直: 平面ABC⊥平面BCD, 平面ABD⊥平面BCD. 又 BC⊥CD, 而由AB⊥平面BCD得 CD⊥AB,
B C D A

?CD⊥平面ABC, 过CD的平面垂直平面ABC:
平面ACD⊥平面ABC, 平面BCD⊥平面ABC (上面已有).

练习: (补充)
1. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1 (侧棱垂直底面) 中, ∠ACB=90?, 求证: 平面 A1BC⊥平面A1ACC1.
C1 B1 C B A C1 B1 A1

2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别是AB, A1A 的中点. A1 求证: 平面 BCE⊥平面B1C1E.
F A

D1

D E

C

B

1. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1 (侧棱垂直底面) 中, ∠ACB=90?, 求证: 平面 A1BC⊥平面A1ACC1. 证明: ∵ ABC-A1B1C1是直三棱柱,

C1 B1
C B A A1

∴BC⊥CC1. 又∠ACB=90? ?BC⊥AC,

? BC⊥平面A1ACC1. BC?平面A1BC,

?平面 A1BC⊥平面A1ACC1.

2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是 AB, A1A 的中点. 求证: 平面 BCF⊥平面B1C1E. 证明: E, F 分别是 AB, D1 C1 A1A 的中点. B1 A1 ∴在正方形 ABB1A1中, B1E⊥BF. ① ∵ B1C1⊥ 平面BAA1B1, BF ?平面BAA1B1, ? B1C1⊥BF. ② 由①②得 BF⊥平面B1C1E, ∵BF?平面BCF, ?平面 BCF⊥平面B1C1E.
F D A C

E

B

【课时小结】
1. 两平面垂直的定义

两个平面相交成直二面角时, 称这两个 平面互相垂直. 2. 两平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两 个平面垂直.
l⊥ a , ? b?a. l ?b ,
b
l

a

习题 2.3 A组 第 1、 3、 6 题 .
B组 第 1 题.

习题 2.3 A组
1. 判断下列命题是否正确, 正确的说明理由, 错误的举例说明: (1) 平面 a⊥平面 b, 平面 b⊥平面 g ? 平面 a⊥ 平面 g; (2) 平面 a //平面 a1, 平面 b //平面 b1, 平面 a⊥ 平面 b ? 平面 a1⊥平面 b1. (2) 对. 解: (1) 错, 如图.
a b g

a⊥b, ?a1⊥b; a //a1, b //b1, ?a1⊥b1.

3. 如图, 在三棱锥 V-ABC 中, ∠VAB=∠VAC= ∠ABC=90?, 试判断平面 VBA 与平面 VBC 的位置 关系, 并说明理由. V
解: 平面 VBA ⊥平面 VBC. 其理由: 由∠VAB=∠VAC= 90? 得
B A

VA⊥平面ABC, C 则 VA⊥BC, 又∠ABC=90?, 即 AB⊥BC, ∴BC⊥平面VBA, 而 BC?平面VBC, ∴平面 VBC ⊥平面 VBA.

6. 求证: 如果共点的三条直线两两垂直, 那么 它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 已知: PA⊥PB, PA⊥PC, PB⊥PC. 求证: 平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB⊥平面 PAC, 平面PBC ⊥平面PAC.

证明: ∵ PA⊥PB, PA⊥PC, ∴ PA⊥平面PBC. 而 PA?平面PAB, PA?平面PAC, ∴ 平面PAB⊥平面PBC, 平面PAC⊥平面PBC.
同理可证平面PAB⊥平面PAC.

A

P B

C

B组

1. 如图, 在正方体ABCD-A?B?C?D?中, 证明: 平 面 ACC?A?⊥平面 A?BD. D? C? 证明: 在正方体中, B? A? 底面 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD. D C 又因为侧棱垂直底面, A B 所以 A?A⊥BD. 于是得 BD⊥平面 A?ACC?. 而 BD?平面A?BD, ∴平面 A?BD⊥平面 A?ACC?.

2.3.3 2.3.4

直线与平面 垂直的性质 平面与平面

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1. 直线与平面垂直的性质定理是什么? 在什么条件下得到什么结论? 2. 两平面垂直的性质定理是什么? 在 什么条件下得到什么结论?

2.3.3 直线与平面垂直的性质
问题 1. 长方体的侧棱是否都与底面垂直? 这些 侧棱是怎样的位置关系? 请同时竖两支垂直于桌面的 铅笔, 这两支铅笔又有怎样的位置关系? 如图, l1⊥a, l2 ⊥a,垂足分别为A、B. 如果 l1? l2,
那么过垂足 A 可另作一直线 m∥l2, 于是 m⊥a. 过 l1与 m 作平面 b∩a = c,
b
l1 m Ac l2

则 l1⊥c, m⊥c.

a

B

那么在平面 b 内过一点 A 就有两直线与 c 垂直, 显然不可能, 即 l1? l2不能成立, 只有 l1//l2.

线面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行. 由线面垂直得线线平行. 符号表示:
l1 A l2

l1⊥a,
l2⊥a,

? l1//l2.

a

B

例(补充). 已知一条直线 l 和一个平面 a 平行, 求 证: 直线 l 上各点到平面 a 的距离 (到 a 的垂线段长) 相等. 证明: 过 l上任意两点 A、B 作 AA?⊥a, BB?⊥a, 垂足为A?、B?, b A l B 则 AA?∥BB?, 由AA?、BB?确定平面, 设为b, B? a A? 得 b∩a =A?B?, ? l∥A?B?, ∵ l∥ a , l ? b, ∴ AA?=BB? (两平行线间的平行线段相等), 即 l 上任意两点到平面 a 的距离相等.

问题2. 设直线 a, b 分别在正方体ABCD-A?B?C?D? 中两个不同的平面内, 欲使 a//b, a, b 应满足什么条 件? D? C? 如图, a B? A? a 分别满足下面的条件都可以: b a b (1) a, b 同垂直于一个面. D C b (2) a, b 同平行一条棱. (3) 用一个平面截相对的两个 面所得的交线即为 a, b.
A B

练习: (课本71页) 第 1、 2 题 .

练习: (课本71页) 1. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划 “√”, 错误的划 “×”. (1) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ( ) (2) 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( ) (3) 一条直线在平面内, 另一条直线与这个平面 垂直, 则这两条直线互相垂直. ( )

2. 已知直线 a, b 和平面 a, 且 a⊥b, a⊥a, 则 b 与 a 的位置关系是平行或在 a 内 . 分析: 借助长方体模型.
C?
D? B?

b //a A?

a C
D

a

B

b ?a A

2.3.4 平面与平面垂直的性质
问题 1. 请同学们在一块硬纸板 (或书面) 上画一 条垂直于某边的直线 l, 再将硬纸板 (或书面) 与桌面 垂直, 并使这边在桌面内. 请问, 你画的直线 l 与桌 面是什么位置关系? 为什么? 如图, 在 a 内过点 D 作 b l CD⊥AB, B 则∠l DC是二面角 a-AB-b a A D C 的平面角. ∵b⊥a, ∴平面角应是直角, 则得 l⊥CD. ? l⊥ a . 又 l⊥AB,

两平面垂直的性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直. 符号表示:
l a
m

a?b, a∩b = m, l ?a,
l⊥m,

b

? l⊥ b .

问题 2. 如图, a?b, 点 P∈a, PQ⊥b. 请问, PQ是否一定在 a 内? 你能说出理由吗?
PQ一定在 a 内. 其理由: 设 a ? b = l, 过点 P 作 PR⊥l, R∈l, ? a?b,
b a
P

l ? PR⊥b,

R Q

∵ 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直, ∴ PQ与PR重合为同一条直线, 即 PQ 必在 a 内.

例4. 已知平面 a, b , a⊥b, 直线 a 满足 a⊥b, a?a, 试判断直线 a 与平面 a 的位置关系. 解: 设 a?b =m,
在 a 内作 b⊥m, ∵ a ?b, ? b⊥ b . ∵ a⊥ b , ? a∥ b, b? a , a? a , ?a∥a.
b

a
a m

b

即直线 a 与平面 a 互相平行.

问题: (课本76页探究) 已知平面 a, b, 直线 a, 且 a⊥b, a∩b = AB, a//a, a⊥AB, 能判断直线 a 与平面 b 的位置关系吗? 解: ∵a//a,

过 a 作平面 g∩a = b,
则 a//b.
A

b

a

g

a B

b

而 a⊥AB, 则 b⊥AB, 而 a⊥b, 交线是 AB, ∴ b⊥ b , 两平面垂直, 平行于一平面 则 a⊥b. 的直线垂直于另一平面.

练习: (课本73页) 第 1、 2 题 .

练习: (课本77页) 1. 下列命题中错误的是( A ) (A) 如果平面 a⊥平面 b, 那么平面 a 内所有直线 都垂直于平面 b (B) 如果平面 a⊥平面 b, 那么平面 a 内一定存在 直线平行于平面 b (C) 如果平面 a 不垂直于平面 b, 那么平面 a 内 一定不存在直线垂直于平面 b (D) 如果平面 a⊥平面 g, 平面 b⊥平面 g, a∩b = l, 那么l⊥g (D)选项的证明看 “习题2.3” 第 5 题.

2. 已知两个平面垂直, 下列命题 ① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线 . 内的无数条直线 . ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平 面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此 垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( B ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

【课时小结】 1. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. l1⊥ a , l2⊥a, ? l1//l2.

由线面垂直得线线平行. 能推得线线平行的有:
① 公理4. ② 线面平行的性质定理. ③ 面面平行的性质定理. ④ 线面垂直的性质定理.

【课时小结】 2. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于 交线的直线与另一个平面垂直.

a ?b, a∩b = m, l ?a,
l⊥m,

l a

? l⊥ b .

m

b

两平面垂直, 平行于一平面的直线 垂直于另一平面.

习题 2.3 A组 第 2、5、8、9 题. B组 第 3 题.

习题 2.3 A组 2. 已知平面 a, b, g, 且 a⊥g, b //g, 求证 a⊥b. 证明: 如图, 设 a 与 g 的交线为 m, 在 g 内作直线 a?m, ∵ a⊥g, ∴ a⊥ a . b b 过 a 作平面 d∩b = b, ∵ b?g ,

ag d m

a

∴ a//b, ? b? a . 而 a⊥ a . b ?b,

?b⊥a.

5. 已知平面 a, b, g 满足 a⊥g, b?g, a∩b = l. 求证 l⊥g. 证明: 如图, 设 a?g =m, b?g =n. 取 P∈g, P?m, P?n, 作 PA⊥m, PB⊥n. ∵ a?g , b ?g , ∴ PA⊥a, PB⊥b. 又 ∵ a ? b = l, ∴ PA⊥l, PB⊥l. PA?g, PB?g, ? l⊥g. PA∩PB = P,

a
A m

l
P

b

·g

nB

8. 如图, m, n 是两条相交直线, l1, l2 是与 m, n 都垂直的两条直线, 且直线 l 与 l1, l2 都相交, 求 证: ∠1=∠2. l1 l2 证明: ∵ m∩n=O, 1 ∴ m、n 确定的平面, 设为 a, 2 l ∵ l1⊥m, m l1⊥n, n a O ∴ l1⊥a, 同理, l2⊥a, ∴ l1∥l2,

又∵直线 l 与 l1、l2 都相交, ∴ ∠1=∠2.

9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角 相等. 证明: 如果两平行线中的一条垂直平面, 则另 一条也垂直这个平面, 它们与平面所成的角都等于 90? . 如果两平行线中的一条与平面所成的角是 0? , 则另一条平行平面或在平面内, 即另一条与平面所 成的角也是 0? . 当两平行线是平面的斜线时, 如图,

9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角 相等.

已知: AB∩a=B, CD∩a=D, AB∥CD. 求证: AB, CD 与 a 所成的角想等. A 证明: 分别过AB、CD上的点 C E F E、F 作 EM⊥a, 垂足为M, M B FN⊥a, 垂足为N. D a N 则MB、ND分别是EB、FD在 平面 a 内的射影. 且得 EM∥FN, ?∠BEM=∠DFN, 又 AB∥CD, 于是在两直角三角形中可得∠EBM=∠FDN, 即两平行线与平面 a 所成的角相等.

B组 3. 求证: 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. 已知, 如图, a?b, a?g, b?g, a?b =AO, a?g = BO, b?g =CO. 求证: AO⊥BO, AO⊥CO, BO⊥CO. A b 证明: 取点 P∈g, P?BO, P?CO, a 作 PE⊥BO, PF⊥CO, F C ∵ g?a, g?a = BO, g E O· P g?b, g?b = CO, B ∴ PE⊥a, PF⊥b. ∴AO⊥BO, AO⊥CO. 而 AO?a, AO?b, 又 b⊥a, b∩a = AO, ∴ PE⊥AO, PF⊥AO, CO?b, 则 AO⊥g, ? CO⊥a, ? CO ⊥ BO . 又 BO?g, CO?g, BO?a,

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1. 线面垂直的定义
如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都 垂直, 就说直线 l 与平面 a 互相垂直. 定义可用于推证线线垂直. l⊥ a , m?a, ?l⊥m.

2. 线面垂直的判定 ⊕如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. l⊥ a , a ? a , l⊥ b , b ? a , ? l ⊥ a . a∩b=P, ⊕过空间任意一点, 有且只有一条直线 和已知平面垂直.

⊕两平行线中的一条垂直于一个平面, 另一条也垂直这个平面.

3. 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一条 斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.

4. 直线和平面所成的角 平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角. 要点: (1) 由线面垂直找射影; (2) 在三角形中计算. 特例: (1) 线面垂直, 线面角为90?. (2) 线面平行或在其内, 线面角为0?.

5. 直线与平面垂直的性质

垂直于同一个平面的两条直线平行. l1⊥a,
l 2⊥ a ,

? l1//l2.

由线面垂直得线线平行.

6. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面.
P A

记作 二面角 a-l-b,

b a

l
Q

B

二面角 a-AB-b, 二面角 P-l-Q, 二面角 P-AB-Q.

7. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小由它的平面角确定.

blO O · a

B

∠AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.

A

8. 两平面垂直的定义与判定 定义: 两个平面相交成直二面角时, 称这两个 平面互相垂直. 判定: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两 个平面垂直. l⊥ a , ? b?a. l ?b,
b
l

a

9. 两平面垂直的性质 ⊕两个平面垂直, 则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直.

a?b, a∩b = m, l ?a,
l⊥m,

l a

? l⊥ b .

m

b

⊕两平面垂直, 平行于一平面的直线 垂直于另一平面.

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例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: P MN⊥平面PCD. 分析: 若 MN⊥平面PCD, N 需证MN垂直△PCD三边中的两边. C D 注意 N 是 PC 的中点, 则 MN 必是 PC 的中垂线. A B M 即考虑 MP=MC. 于是思考是否△PAM≌△CBM, 由此可得 MN⊥PC. 又如此思考 MN 是否是 AB 的中垂线, 即 NA=NB 是否成立? NA, NB分别是Rt△PAC和Rt△PBC斜边PC的中线, NA=NB 即可成立.

例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: P MN⊥平面PCD. 证明: 连结 PM, CM, N ∵PA⊥矩形ABCD, ∠PDA=45?, C D ∴△PAD是等腰直角三角形. 则 PA=AD=BC. A B M 又 M 是 AB 的中点得 AM=BM, 得 Rt△PAM≌Rt△CBM, ∴MP=MC. 而 N 是 PC 的中点, ∴ MN⊥PC. ①

例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: P MN⊥平面PCD. 证明: 连结 PM, CM, N ∵PA⊥矩形ABCD, ∠PDA=45?, C D ∴△PAD是等腰直角三角形. 则 PA=AD=BC. A B M 由 ABCD, 得△ PAC 又 PA M⊥ 是矩形 AB 的中点得 AM= BM, 是直角三角形. 由 ⊥PAM AB, ≌ CB ⊥ PA , 得△ 得 CB Rt△ Rt △ CBM , PBC 是直角三角形. 则 AN= , MC BN ∴MP . 是两直角三角形斜边 PC 的中线, 得 MN ,是 AB 的中垂线, ∴ =BN , 的中点 而AN N是 PC ∴ . ① ∴ MN MN⊥ ⊥AB PC. 由 AB//DC, 得 MN⊥DC. ② 由①②得 MN⊥平面 PCD.

例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: P MN⊥平面PCD. 其他思考: N 思考一:

证 MN⊥PC 同上. B 要证 MN⊥DC, 可作△PCD A M 的中位线 NE. 证 DC⊥平面 NEM, 即可证得 DC⊥MN.

D

E

C

例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: P MN⊥平面PCD. 其他思考: N F 思考二:

将 MN 平移到平面 PAD 内, A B 即取 PD 中点 F, M 可证得 AF//MN. 只需证 AF⊥平面 PCD, 即得 MN⊥平面PCD.

D

C

例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, C1 M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: P MN⊥平面PCD. B1 N 其他思考: 思考三:

将原图补形为长方体.
平面PCD是其对角面. 侧面B1BCC1是正方形.
A

D

C

M

B

可证 MN//BC1, BC1⊥平面PDCB1, 即得 MN⊥平面 PCD.

例 2. 如图, △ABC 和△DBC 是空间的两个等边 三角形, E 是 BC 的中点. 点 A 在平面 DBC 内的射 影是否在 DE 上? 为什么? A 答: 一定在 DE上. 其理由如下: ∵△ABC 和△DBC 是等边三角形, C D E 是 BC 的中点. F E ∴AE⊥BC, DE⊥BC, B 则 BC⊥平面AED, 得平面DBC⊥平面AED. (面面垂直的判定) ∵平面DBC∩平面AED=DE, 作AF⊥DE, 垂足为F, 则 AF⊥平面DBC . (面面垂直的性质) ∴点 A 在平面 DBC 内的射影在 DE 上.

A 例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条 E 棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高; D B O (2) 求CE与平面BCD所成角的正弦. F C 解: (1) 取 BC 的中点 F, 得 BC⊥AF, BC⊥DF, 2 2 3 3 OD = DF = ( a) = a, 3 3 2 3 ∴ BC⊥平面AFD, 2 - OD2 ? AO = AD 则平面BCD⊥平面AFD. 作 AO⊥DF, 垂足为O, = a 2 - ( 3 a)2 3 则 AO⊥平面 BCD. 6 a. 即棱锥的 = ∴AO 是三棱锥 ABCD 的高. 3 ∵Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOD, 高为 6 a. 3 得 OB=OC=OD, ?O是△BCD的重心,

A 例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条 棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高; O B (2) 求CE与平面BCD所成角的正弦. F C 解: (2) 作 EH⊥DF, 垂足为 H, 则 EH⊥平面BCD, ∴ CH 是 CE 在平面 BCD 上的射影, ∠ECH 即为所求的线面角. 1 3 而 EH = AO = a, 2 6 3 CE = DF = a, 2 EH 1 ?sin ?ECH = = . CE 3

E

H D

分析: 要找二面角的平面角, 需找到构成二面角的棱. 由 SD⊥正方形 ABCD 面, 可联想一个几何体 —长方体.

例 4. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 3 . 求面SAD 与面 SBC 所成二面角的大小. C? S
A?

B? D C
B

于是补形如图. 则所求二面角的棱即是A?S. ∠AA?B 即是它的一个平面角.

A

例 4. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 3 . 求面SAD 与面 SBC 所成二面角的大小. C? S 解: ∵ABCD 是正方形, A? B? SD⊥底面ABCD. 则可补形为如图的长方体, D C ∵SA?⊥A?A, SA?⊥A?B, ∴∠AA?B 就是平面 SAD 与 A B 平面 SBC 所成二面角的平面角. ∵正方形 ABCD 的边长为 1, SB = 3 , ∴在 Rt△SDB 中求得 SD=1. 则所构成的几何体是正方体. ∴∠AA?B =45?, 即所求二面角的大小为45?.

(共 8题 )

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1. 给出下列命题: ① 垂直于同一直线的两平面平行. ② 垂直于同一平面的两平面平行. ③ 垂直于 同一平面的两直线平行. ④ 垂直于同一直线的两直线平行. 其中正确命题的序号有 . 2. 已知直线 m, n 和平面a, b 满足 m⊥n, m⊥a, a⊥b, 则 ( ) (A) n⊥ b (B) n//b, 或 n?b (C) n⊥a (D) n//a, 或 n?a 3. 如图, AB 是 ⊙O 的直径, C 是圆上一点, 空间直线 PC⊥BC. 求证: BC⊥平面 PAC. 4. 四边形 ABCD 为正方形, SA 垂直于 ABCD 所在 平面, SA=AB, E、F 分别是 SB、SD的中点. 求证: SC⊥平面 AEF. 5. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求证: 对角线 B1D⊥平面 A1C1B. 6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F分别是 AB、BB1 的中点, 求证: 平面 ADF ⊥平面A1ED1. 7. 如图, 在长方体 ABCD-A?B?C?D? 中, AB= 2 , BB?=BC =2, 求二面角 A-B?C-B 的大小. 8. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, AC= 2 2, PA=2, E 是 PC 上的一点, PE=2EC. (1) 证明: PC⊥平面BED; (2) 设二面角 A-PB-C 为90?, 求 PD 与平面 PBC所成 角的大小. A · O (3题) D1 A1 D A (5题) D? A? D A (7题) B B? C B C? E O C (8题) B1 C1 P S F D B A

C

E
C (4题) D1 B

A1 D

B1 F

C1

C

C

A

E B (6题)
P A D

B

1. 给出下列命题: ① 垂直于同一直线的两平面 平行. ② 垂直于同一平面的两平面平行. ③ 垂直于 同一平面的两直线平行. ④ 垂直于同一直线的两直 线平行. 其中正确命题的序号有 ① ③ .
D1

A1
D A

C1 B1 A1

D1 B1

C1

C
B

D A

C B

②的反例

④的反例

2. 已知直线 m, n 和平面a, b 满足 m⊥n, m⊥a, a⊥b, 则 ( D ) (A) n⊥ b (B) n//b, 或 n?b (C) n⊥a (D) n//a, 或 n?a m 情形 1, 排除 A, C. n 情形 2, 排除 B.

b

a

3. 如图, AB 是 ⊙O 的直径, C 是圆上一点, 空 间直线 PC⊥BC. 求证: BC⊥平面 PAC. 证明: ∵AB 是 ⊙O 的直径, C 是圆上一点, ∴ BC⊥AC, ∵BC⊥PC, PC∩AC=C, ? BC⊥平面 PAC.
A P C

· O

B

4. 四边形 ABCD 为正方形, SA 垂直于 ABCD 所在平面, SA=AB, E、F 分别是 SB、SD 的中点. 求证: SC⊥平面 AEF.

S F E

D
A

C

证明: ∵SA=AB, E 是 SB 的中点, ∴AE⊥SB, ① ∵SA⊥正方形 ABCD 所在平面, ∴ BC⊥SA, BC⊥AB, 得 BC⊥平面 SAB, ?BC⊥AE, ② 由①②得AE⊥平面SBC, ?AE⊥SC. 同理可证AF⊥SC. ∴SC⊥平面 AEF.

B

5. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求证: 对角线 B1D⊥平面 A1C1B. 证明: 在正方体中, DD1⊥平面 A1B1C1D1, 得 DD1 ⊥ A1C1. 连结 B1D1, 得 A1C1⊥ B1D1, 于是 A1C1⊥平面B1D1D, ∴ A1C1⊥B1D. ① 从而得 BC1⊥B1D. ② ∴B1D⊥平面A1C1B.
A D1 A1 B1 D B

C1

C

同理, 连结 B1C, 可得 BC1⊥平面B1CD,

6. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分别是 AB、BB1 的中点, 求证: 平面 ADF ⊥平面 A1ED1. D1 C1 证明: 在正方形A1ABB1中, A1 B1 △A1AE≌△ABF. F 得∠AA1E=∠BAF, DG C 又∠A1AF=∠AFB, A E B ∴∠AA1E+A1AF=∠BAF+∠AFB=90?. 设 AF∩A1E=G, 则∠A1GA=∠90?. ∴A1E⊥AF. 又 DA⊥平面 A1ABB1, ?A1E⊥DA. ∴A1E⊥平面ADF, 则平面A1ED1⊥平面ADF.

AB⊥B?C. D ∴B?C⊥平面ABG, A B 得 B?C⊥AG. 则∠AGB 为二面角 A-B?C-B 的平面角.

7. 如图, 在长方体 ABCD-A?B?C?D? 中, AB= 2 , BB?=BC=2, 求二面角 A-B?C-B 的大小. D? 解: 连接 BC?, 交B?C于G, C? 则在正方形 B?BCC?中, BC?⊥B?C. A? B? 又由 AB⊥平面 BB?C?C 得 G
C

由 BB?=BC=2, 得 BG = 2 . ? AB = 2 , ∴△ABG 是等腰直角三角形, ?∠AGB=45?, 即二面角 A-B?C-B 的大小为45?.

P 8. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, AC= 2 2, PA=2, E 是 PC 上的一点, PE=2EC. A (1) 证明: PC⊥平面BED; E B D (2) 设二面角 A-PB-C 为90?, 求 O PD 与平面 PBC所成角的大小. C (1) 证明: ∵PA⊥底面ABCD, CO CE 6 于是得 CP = CA = 6 , ∴ BD⊥PA. ∴△COE∽△CPA, ∵底面 ABCD 为菱形, 则∠CEO=∠CAP=90?, ∴ BD⊥AC. 则 BD⊥平面 PAC, ?BD⊥PC. ① ∴PC⊥OE, ② 由①②得 连结 EO, 则在 Rt△PAC中可得, PA=2, AC = 2 2 , PE=2EC, PC⊥平面BED. 则得 CO = 2 , PC = 2 3 , CE = 2 3 , 3

P 8. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, AC= 2 2, G PA=2, E 是 PC 上的一点, PE=2EC. A H (1) 证明: PC⊥平面BED; E B D (2) 设二面角 A-PB-C 为90?, 求 O PD 与平面 PBC所成角的大小. C (2) 解: ∵二面角 A-PB-C 为90?, ∵AD//平面PBC, ∴ 平面PAB⊥平面PBC. ? DH = AG = 2 , 作 AG⊥PB 于 G, 又求得 PD = 2 2 , 则 AG⊥平面PBC, ? BC⊥AG. DH = 1 , ? sin ? DPH = 又 BC⊥PA, PD 2 ∴ BC⊥平面PAB, ? BC⊥AB, 得∠DPH=30?. 得ABCD是正方形. 即 PD 与平面 PBC 则得 AB=2, ? AG = 2 . 所成的角为30?. 作 DH⊥平面PBC于H.


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