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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 函数本章测评A 新人教B版必修1


第二章测评 A
(基础过关卷) (时间:90 分钟 满分:100 分) 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A.y=x-1 和 y= )

B.y=x0 和 y=1 C.f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 D.f(x)=和 g(x) =
答案:D 3.设函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数,则有( )

A.a≥ C.a>答案:D

B.a≤ D.a<
)

4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(

A.y=3-x C.y=
答案:B

B.y=x +1 D.y=-x2
2

2

5.已知函数 f=x +,则 f(3)等于(

)

A.8 C.11
2 2 2

B.9 D.10

解析:∵f=x ++2, ∴f(x)=x +2, ∴f(3)=3 +2=11. 答案:C 6.已知函数 f(x)=若 f(2-a )>f(a),则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
2

)

C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:∵f(x)= 由函数图象(图略)知 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数 ∴由 f(2-a )>f(a),得 a +a-2<0,解得-2<a<1. 答案:C 7.函数 y=3x+(x≥2)的值域是( )
2 2

A.

B.[6+,+∞)

1

C.[6,+∞)
解析:设 t=.

D.[,+∞)

∵x≥2,∴t≥,且 x=. ∴y=3x+(t +1)+t =. ∵当 t≥时,函数为增函数, ∴当 t=时,y 最小,最小值为 6+. ∴y=3x+(x≥2)的值域为[6+,+∞). 故选 B. 答案:B 8.若函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A.(-2,6)
2 2

)

B.[-2,6] C.[-2,6) D.(-∞,-2)∪(6,+∞)
解析:若函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点,则方程 x +mx+(m+3)=0 有两个不相等的实数根, 从而应有 Δ =m -4(m+3)>0,解得 m<-2 或 m>6. 答案:D 9.如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A.f(2)<f(1)<f(4)
2 2 2 2

)

B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(4)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(4)<f(1)
解析:由 f(2+t)=f(2-t),可知抛物线的对称轴是直线 x=2,再由二次函数的单调性,可得 f(2)<f(1)<f(4). 答案:A 10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程

f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 等于( A.-6 C.-8 B.6 D.8

)

解析:由 f(x-4)=-f(x)? f(4-x)=f(x)? 函数图象关于直线 x=2 对称.又函数 f(x)在[0,2]上是 增函数,且为奇函数,故 f(0)=0,故函数 f(x)在 (0,2]上大于 0.根据对称性知函数 f(x)在[2,4)上大 于 0,同理推知 f(x)在(4,8)上小于 0,故在区间(0,8)上方程 f(x)=m(m>0)的两根关于直线 x=2 对称, 故此两根之和等于 4.根据 f(x-4)=-f(x)? f(x-8)=-f(x-4)=f(x)可知在区间(-8,0)上方程 f(x)=m(m>0)的两根关于直线 x=-6 对称,此两根之和等于-12.综上,四个根之和等于-8. 答案:C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 11.函数 f(x)=x -2ax-2 在[1,2]上是单调函数,则 a∈
2

.

解析:若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,则 a≥2;若函数 f(x)在[1,2]上是增函数,则 a≤1.

2

答案:(-∞,1]∪[2,+∞) 12.已知函数 f(x)=则 f(-3)= ∵1>0,∴f(1)=2×1+1=3. ∴f(-3)=3. 答案:3 13.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f>f(1)的实数 x 的取值范围为 解析:∵f(x)在 R 上是减函数, ∴<1,解得 x>1 或 x<0. 答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 14.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是 . . 解析:∵-3<0,∴f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1).

.

答案:f( x)= 15.对于定义在 R 上的任意函数 f(x),若实数 x0 满足 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 f(x)的一个不动点. 若二次函数 f(x)=x -ax+1 没有不动点,则实数 a 的取值范围是
2 2 2 2

.

解析:若二次函数 f(x)=x -ax+1 有不动点,则方程 x -ax+1=x,即 x -(a+1)x+1=0 有实数解 . ∴Δ =(a+1) -4=a +2a-3=(a+3)(a-1)≥0, ∴a≤-3 或 a≥1. ∴当函数 f(x)=x -ax+1 没有不动点 时,实数 a 的取值范围是-3<a<1. 答案:-3<a<1 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 8 分)已知直角三角形 ABC 的面积是 y,AB⊥AC,且 AB=x-1,AC=x+1,求 y 关于 x 的函数解析式,并求出函数的定义域. 解:由于△ABC 是直角三角形, 则有 y=AB·AC=(x-1)(x+1 )=x -, 由题意得解得 x>1. 所以函数的定义域是(1,+∞). 1 7.(本小题满分 10 分)若 f(x)对 x∈R 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,求 f(x) 解:2f(x)-f(-x)=3x+1,① 将①中的 x 换为-x,得 2f(-x)-f(x)=-3x+1,② ①②联立,得 把 f(x)与 f(-x)看成未知数解得 f(x)=x+1. 18.(本小题满分 10 分)已知 f(x+2)=x -3x+5. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最大值. 解:(1)令 x+2=m,m∈R,则 x=m-2,
2 2 2 2 2

3

∴f(m)=(m-2) -3(m-2)+5=m -7m+15. ∴f(x)=x -7x+15. (2)利用二次函数的图象考虑,取区间的中点与图象的对称轴比较. 当 t+,即 t≤3 时,f(x)max=f(t)=t -7t+15 当 t+,即 t>3 时,f(x)max=f(t+1)=(t+1) -7(t+1)+15=t -5t+9. 19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)的定义域为 U={x|x∈R,且 x>0},且满足条件 f(4)=1.对任意 的 x1,x2∈U,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当 x1≠x2 时,有>0. (1)求 f(1)的值; (2)如果 f(x+6)+f(x)>2,求 x 的取值范围. 解:(1)因为对任意的 x1,x2∈U,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 所以令 x1=x2=1,得 f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),所以 f(1)=0. (2)设 0<x1<x2,则 Δ x=x2-x1>0. 又因为当 x1≠x2 时,>0, 所以 f(x2)-f(x1)>0,即 Δ y=f(x2)-f(x1)>0, 所以 f(x)在定义域内为增函数. 令 x1=x2=4,得 f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2, 即 f(16)=2,所以 f (x+6)+f(x)>f(16). 当即 x>0 时, f(x+6)+f(x)=f[x(x+6)], 所以 f[x(x+6)]>f(16). 又因为 f(x)在定义域上为增函数, 所以 x(x+6)>16,解得 x>2 或 x<-8. 又因为 x>0,所以 x>2. 所以 x 的取值范围为(2,+∞).
2 2 2 2

2

2

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