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平面向量高考试题解法分析

平面向量高考试题解法分析 平面向量是新教材改革增加的内容之一, 近几年的全国使用新教材的高考 试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度, 本节内容主要是帮助考生运用向量 法来分析,解决一些相关问题
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1 解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等
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变换,正确地进行向量的各种运算,加深对向量的本质的认识 坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想
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二是向量的

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2 向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中
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常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题;利用向量的夹角公
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式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 3 用向量解决几何问题一般可按以下过程进行思考
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(1)要解决的问题

可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知? 若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示?(3)所需要的向量若不能 直接用已知条件转化成的向量表示, 则它们分别最易用哪个未知向量表示?这 些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所 需向量进行运算,才能得到需要的结论? 高考对平面向量的考查主要分两类: 1.以选择、填空题型考查平面向量的 基本概念和性质,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向 量的积、 两个向量共线的充要条件、 向量的坐标运算以及平面向量的数量积及 其几何意义等。此类试题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判 断多边形的形状等。 2.平面向量与其他知识的综合问题, 其形式为与几何图形、 解析几何、三角函数等交汇,凸显向量的工具性,解决角度、垂直、平行以及 图形的平移等问题。
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向量具有“数”和“形”的特征,为数形结合提供了良好的载体。高考通过对 平面向量的考查, 也着意考查蕴含在其中的数形结合、 转化与化归、 分类讨论、 函数与方程等数学思想的考查。
一、 向量共线定理的应用

例 1. (14 北京)向量 a,b 满足 a ? 1, b ? (2, 1),且 ?a ? b ? 0 (? ?

R ),则 ? ? 5
??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

例 2.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则

????

??? ?

? ???? ??? ? ??? ? ??? AD ? BE ? CF 与 BC ( A )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 A )

??? ? ??? ? ??? ? 2 AC ? CB ? 0 OC ? 例 3. (辽宁卷 5) 已知 O, A, B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C, 满足 , 则 ( ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB
? 1 ??? ? 2 ??? OA ? OB 3 C. 3

? 2 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB 3 D. 3

二、平面向量基本定理(特别强调系数的正负与向量之间的关系) 例 1、 (2014 福建)在下列向量组中,可以把向量 a ? (3, 2)表示出来的是(B )

A. e1 ? (0, 0)

e2 ? (1, 2)

B . e1 ? (?1, 2)

e2 ? (5, ? 2)

C . e1 ? (3, 5)

e2 ? (6, 10)

D . e1 ? (2, ? 3)

e2 ? (?2, 3)

例 2.(2015 北京) ?ABC 中,点 M,N 满足 AM ? 2MC ,BN ?

NC ,若 MN ? x AB ? y AC ,则

x?

,y?

1 1 ,? 2 6

例 3.(2015 新课标 1)设 D 为 ?ABC 所在平面内一点, BC ? 3CD ,则( A )

1 4 A. AD ? ? AB ? AC 3 3 4 1 C. AD ? AB ? AC 3 3

1 4 AB ? AC 3 3 4 1 D. AD ? AB ? AC 3 3 B. AD ?

例 4. 如图, 平面内有三个向量 OA 、OB 、OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°,OA 与 OC 的夹角为 30°, 且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为 6 本题可以用不同方法:几何法或(模的平方、垂直数量积为 0) ,或三点共线法 → → → → → → → → 例 5、 ΔABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆, 且 3OA+4OB+5OC= 0 。 ①求数量积, OA· OB , OB· OC , .

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→ → OC·OA ;②求 ΔABC 的面积。 (方法 1:利用条件的几何意义及向量基本定理及加法法则可得结论;方法 2: 4 3 6 → → → → → → s 向量的平方∴OA·OB=0 ,OB·OC=-5 ,OA·OC=-5 , ABC =5 )

三、两个重要结论 1. ?ABC 中,若 D 是 BC 中点,则 AB ? AC ? 2 AD 2.若 A,B,C 三点共线, O 是平面内任意一点, 则一定存在实数 ? , ? 使 OC

? ?OA ? ?OB

且? ? ? ?1 .

反之也成立.(再具体研究一下,三点共线时,三点的位置与系数的正负或范围) 例 1.(14 课标 1)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 90 2

例 2.(2013 四川)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB ?

AD ? ? AO, ? ?

2

例 3.[2014· 福建卷] 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一 → → → → 点,则OA+OB+OC+OD等于( D ) → → → → A.OM B.2OM C.3OM D.4OM

例 4.(2013 安徽)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足 点集

OA ? OB


?P OP ? ?OA ? ?OB, ? ? ? ? 1, ?, ? ? R?所表示的区域的面积为(
x?? 1 2

= OA ? OB ? 2 ,则

4 3

例 5. (1) (06 湖南卷)如图,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的 延 长 线 围 成 的 阴 影 区 域 内 ( 不 含 边 界 ) 运 动 , 且

??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB , 则 x 的取值范围是
时, y 的取值范围是
1
3

( -∞, 0) 。

;当

(2 ,2 )

??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB 补充题:扇形 OAB 的弧上有一点 P,满足 ,已知扇形
的圆心角为 120 度,求 x+y 的最大值(2) 。改为 60 度又如何?(

此题可用不同方法:1.基本定理 2.三点共线

2 3 ) 3

四.关于数量积(三选二、平方、移项合并、夹角、转化) 例 1.已知 O 在 ?ABC 所在平面内,且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O 是 ?ABC 的 例 2. (2012 年高考 (湖南文) ) 如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP?AC = ____18_. 1 例 3. [2014· 江西卷] 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α, 且 cos α = , 3
B A P C D

??? ? ??? ?

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2 向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β =__
0

2 3

__

?BAD ? 120 , 例 4. (14 天津) 菱形的边长为 2, 点 E, F 分别在边 BC, DC上,

BE ? ?BC, DF ? ?DC ,



AE ? AF ? 1,

CE ? CF ? ?

5 2 ? ? ? ? 3则 6

例 5. ( 2014 江 苏 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 AB=8,AD=5, 点 P 在 边 CD 上 ,

CP ? 3PD , AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值
例 6. (2015 四川) 设四边形 ABCD 是平行四边形, 则 AM ? NM =( 9 )

22 , 若 M, N 满足 BM ? 3MC, DN ? 2NC ,

AB ? 6, AD ? 4

??? ? ???? AB ? AC =___-16 _____. 例 7. (2012 年高考(浙江文) )在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AD ? 1 例 8.(2010 天津文数)如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , ,则 AC ? AD = D
(A) 2 3 可 以

3 (B) 2
用 多

3 (C) 3


(D) 3 方 法 解

? A ?
??? ? ? BC s

? C|
? i

? ? ? ? A | ∠D? |
n B

? ? A | ∠ C c
3
1 t

?

?

oA ∠

? s ?D

?

? ? |D ? A|

? C c

五、单位向量的理解 例 1. ( 2015 福 建 ) 已 知 AB ? AC , AB ? , AC ? t , 若 点 P 是 ?ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 且

AP ?

AB AB

?

4 AC AC

,则 PB ? PC 的最大值等于 13

六、坐标法将向量运算坐标化 例 1.(同上例) 例 2. (2013 北京)向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示, 若 c ? ?a ? ?b (? , ? ? R) ,则

? ? 4 ?
D _

F _ C _

例 3.(2012 江苏)如图,在正方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ?

2 ,则 AE ? BF 的值是

E _

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A _

B _

例 4. (2013 重庆)在平面上, 取值范围是( )

AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1, AP ? AB1 ? AB2

,若

OP ?

1 OA 2 ,则 的

七.向量运算的几何意义 例 1.(2013 湖南)已知向量 则

a 与 b 是单位向量, a ? b ? 0 ,若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1,
2? +1 ?


c 的取值范围是(

? 2 -, 1, ?

例 2 . a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则

? a ? c? ? ?b ? c? 的最小值为 (.1 ?

2

)

例 3.已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足(a

? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的最

大值是

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例 4..若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为 例 5.设向量 a, b, c 满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? ?

? ??

?

?

? ?

? 1 ? ? ? ? , ? a ? c, b ? c ?? 60? ,则 | c | 的最大值等于 (A)2 2

例 6.(2013 浙江)设 ?ABC , P 0B ? 0 是边 AB 上一定点,满足 P 恒有 PB ? PC ? P 0B ? P 0C ,则( d ) (此题亦可以用坐标法)

1 AB ,且对于线段 AB 上的任一点 P, 4

A. ?ABC ? 900
八、向量综合应用

B. ?BAC ? 900

C. AB ? AC

D. AC ? BC

例 1. [2014·安徽卷] 设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,

y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成,若 x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2,
则 a 与 b 的夹角为( π 3 )
?

例 2(15 年天津文科)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥CD, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 , 点 E 和点 F 分别

??? ? 2 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? BE ? BC , DF ? DC , 3 6 在线段 BC 和 CD 上,且 则 AE ? AF 的值为

29 18



例 3. (2015 湖南) 已知点 A,B,C 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动, 且 AB⊥BC, 若点 P 的坐标 (2,0) , 则 PA ? PB ? PC 的最大值( B )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

例 4.(2014 安徽)在平面直角坐标系 XOY 中,已知向量 Q 满足 OQ ? 区域

a,b, a ? b ? 1, a ? b ? 0

,点

2 (a ? b) ,曲线 C ? P OP ? a cos? ? b sin ? , 0 ? ? ? 2?
,若 C ? ? 是两段分离的曲线,则(

?

?
a )

? ? ?P 0 ? r ? OP ? R, r ? R ?

A. 1 ? r ? R ? 3 B. r ? 1 ? R ? 3 C. 1 ? r ? 3 ? R
?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? a , a , a , a , a 量分别为 1 2 3 4 5 ; 以 ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? (ai ? a j ? ak ) ? (dr ? ds ? dt )
则 m, M 满足 ( D )

D. 1 ? r ? 3 ? R

例 5.(2013 年高考上海 卷(理) )在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向 D

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? d , d , d , d , d 为起点 , 其余顶点为终点的向量分别为 1 2 3 4 5 . 若 m, M

分别为

的最小值、最大值, 其中

{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r, s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,

A. m ? 0, M ? 0 B. m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 D. m ? 0, M ? 0

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→ → 2 例 6.[2014·四川卷] 已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB= 2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( 3 )

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