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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练10(含解析)北师大版必修5


双基限时练(十)
一、选择题 1 a4+a5 1.各项都是正数的等比数列{an}中,a2, a3,a1 成等差数列,则 的值为( 2 a3+a4 A. 5-1 2 1- 5 2 B. 5+1 2 5±1 2 )

C.

D.

解析 由题意得,a3=a1+a2, 1± 5 2 ∴q =1+q,得 q= ,又 an>0, 2 1+ 5 ∴q>0,故 q= . 2 即

a4+a5 1+ 5 =q= . a3+a4 2

答案 B 2.公差不为 0 的等差数列{an}中,2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b6b8=( A.2 C.8
2 7 2 7 2

) B.4 D.16
2

解析 2a3-a +2a11=0 得 4a7-a =0,∴a7=4,或 a7=0(舍).∵b7=a7,∴b6b8=b7= 16. 答案 D 3.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32, 则 S10 等于( A.18 C.60 解析 ) B.24 D.90 设公差为 d,则 a4=a1+3d,a3=a1+2d,a7=a1+6d,由已知得(a1+3d) =(a1
2

+2d)(a1+6d), 得 2a1=-3d, ?a1+a8?×8 又 S8= =32,得 d=2. 2 ?a1+a10?×10 ∴S10= =5(2a1+9d)=5×6d=60. 2 答案 C

1

4.数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}的相邻三项,若

b2=5,则 bn=(

)

?5?n-1 A.5·? ? ?3? ?3?n-1 C.3·? ? ?5?
解析 由题意得 a8=a5·a13. 即(a1+7d) =(a1+4d)(a1+12d),得 d=2a1. 15a1 5 ∴a8=15a1,a5=a1+4d=9a1,q= = . 9a1 3 ∴bn=b2·q 答案 D 5.数列 9,99,999,9999,…的前 n 项和等于( A.10 -1 C. 10 n (10 -1) 9
n n n-2
2 2

?3?n-1 B.5·? ? ?5? ?5?n-1 D.3·? ? ?3?

?5?n-2 ?5?n-1 =5×? ? =3×? ? . 3 ? ? ?3?
) B. D. 10 n (10 -1)-n 9 10 n (10 -1)+n 9

解析 an=10 -1, 10?1-10 ? 10?10 -1? ∴Sn= -n= -n. 1-10 9 答案 B 6.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( A.7 C.-5 解析 由已知得?
? ?a4+a7=2, ?a5a6=a4a7=-8, ?
n n

)

B.5 D.-7 解得?
? ?a4=4, ?a7=-2, ?

或?

? ?a4=-2, ?a7=4. ?

当 a4=4,a7=-2 时,易得 a1=-8,a10=1,从而 a1+a10=-7;当 a4=-2,a7=4 时, 易得 a10=-8,a1=1,从而 a1+a10=-7. 答案 D 二、填空题 7.一个等比数列,它与一个首项为 0,公差不为零的等差数列相应项相加后得到新的 数列 1,1,2,…,则相加以后新数列的前 10 项和为________. 解析 设{an}为等比数列,公比为 q,数列{bn}为等差数列,公差为 d,

2

b +a =1, ? ?q+d=1, 则? q +2d=2, ? ?a =0,
1 1 2 1

b =1, ? ?a =0, 得? q=2, ? ?d=-1.
1 1 10

1-2 10×9 ∴新数列的前 10 项的和 S10= + ×(-1)=978. 1-2 2 答案 978 1 1 1 8.1, ,2, ,4, ,…的前 2n 项的和是________. 2 4 8 解析 S2n=(1+2+4+…+2 1? ?1?n? 1-? ? ? ? ?2? ? 1-2 2? = + 1-2 1 1- 2
n n-1

1? ?1 1 )+? + +…+ n? 2? ?2 4

?1?n n =2 -? ? . ?2? ?1?n n 答案 2 -? ? ?2?
1 1 1 9.首项为 2,公差为 2 的等差数列的前 n 项和为 Sn,则 + +…+ =________.

S1 S2

Sn

解析 由已知可知 Sn=2n+ 1 1 1 ∴ + +…+

n?n-1?
2

×2=n +n

2

S1 S2

Sn

1 1 1 1 1 =1- + - +…+ - 2 2 3 n n+1 =1- 答案 1 n = . n+1 n+1

n n+1

三、解答题 10.在等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列. 求 解

a1+a3+a9 的值. a2+a4+a10
∵{an}为等差数列, 且 a1, a3, a9 成等比数列, ∴a3=a1a9, ∴(a1+2d) =a1(a1+8d),
2 2 2

得 a1d=d ,又 d≠0,∴a1=d,∴

a1+a3+a9 13d 13 = = . a2+a4+a10 16d 16

3

11.在等比数列{an}中,an>0(n∈N+),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn.求数列{Sn}的通项公式. 解
2 3

(1)∵{an}为等比数列,a1a5+2a3a5+a2a8=25,
2

∴a +2a3a5+a5=25. 又 an>0,∴a3+a5=5,又 a3 与 a5 的等比中项为 2, ∴a3a5=4. 而 q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1. 1 ∴q= ,a1=16. 2

?1?n-1 5-n ∴an=16×? ? =2 . ?2?
(2)bn=log2an=5-n, ?4+5-n?n n?9-n? ∴{bn}的前 n 项和 Sn= = . 2 2 12.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,并且满足 a3·a6=55,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)如果数列{an}和数列{bn}都满足等式:an= + 2+…+ n(n 为正整数),求数列{bn} 2 2 2 的前 n 项和 Sn. 解 由? (1)由{an}为等差数列,知 a2+a7=a3+a6=16,
? ?a3·a6=55, ?a3+a6=16, ?

b1 b2

bn

得?

? ?a3=11, ?a6=5, ?

或?

? ?a3=5, ?a6=11. ?

又公差 d>0,∴a3=5,a6=11. 由 a6=a3+3d,得 d=2. ∴an=a3+(n-3)d=2n-1. (2)当 n=1 时,a1= ,得 b1=2. 2 当 n≥2 时,由 an= + 2+…+ n-1+ n, 2 2 2 2 得 an-1= + 2+…+ n-1. 2 2 2 ∴an-an-1= n. 2 ∴bn=2
n+1

b1

b1 b2 bn-1

bn-1 bn

b1 b2 bn

.

4

又 n=1 时,2

n+1

=4≠2,

?2 ?n=1?, ? ∴bn=? n+1 ?2 ?n≥2?. ?

当 n=1 时,S1=b1=2, 当 n≥2 时,Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+ 又 n=1 时,上式也成立, ∴Sn=2
n+2

b2?1-2n-1?
1-2

=2

n+2

-6,

-6. 思 维 探 究

13.已知数列{an}为等差数列且公差 d≠0,{an}的部分项组成下列数列:ak1,ak2,…,

akn 恰为等比数列,其中 k1=1,k2=5,k3=17,求 kn.
解 由题设有 a k2=ak1ak3, 即 a5=a1a17, ∴(a1+4d) =a1(a1+16d), ∴a1=2d 或 d=0(舍
2 2 2

去),∴a5=a1+4d=6d,∴等比数列的公比 q=

ak2 a5 = =3. ak1 a1

由于 akn 是等差数列的第 kn 项,又是等比数列的第 n 项, 故 akn=a1+(kn-1)d=ak1q ∴kn=2·3
n-1 n-1



-1.

5


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