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抛物线中的一个结论及推广

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 抛物线中的一个结论及推广 作者:韩永强 康微 来源:《试题与研究· 教学论坛》2017 年第 28 期 2017 年高考全国卷Ⅲ理科第 20 题的第(1)小问蕴含了抛物线中的一个重要结论,本文 从一般化推广、特殊化处理、逆向思考、横向类比的角度对该结论进行探究。现分析如下: 一、试题再现 (2017 年高考全国卷Ⅲ理科 20 题)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A、B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆。 (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 P(4,2),求直线 l 与圆 M 的方程。 二、性质结论 1.结论 1-1:已知抛物线 C:y2=2px,过点(2p,0)的弦交抛物线于 A、B 两点,则抛物 线内接△ OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形(O 为坐标原点)。 以上命题的结论也等价于 OA⊥OB?圳· =0?圳以 AB 为直径的圆经过坐标原点 2017 年高考全国卷Ⅲ理科第 20 题的第(1)小问实质上考查的就是该结论。 对于本结论的证明方法颇多,限于篇幅,下面与读者分享一种巧设直线“另类”方程,构造 齐次式的证法。 证明:设直线 AB 的方程为 mx+ny=1(这种“另类”形式的直线方程除了不能表示经过坐标 原点的直线其余皆可表示,用它表直线 AB 可避免斜率是否存在的讨论,而且方便下一步构造 齐次式。 联立 y2=2pxmx+ny=1?圯 y2=2px(mx+ny)?圯 y2-2pmx2-2pnxy=0(齐次式!) ?圯 2-2pn-2pm=0。 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则和为以上方程的两根,故由韦达定理知:· =-2pm。 又直线 AB:mx+ny=1 过点(2p,0),于是有 2pm=1,所以· =-2pm=-1; 即 OA⊥OB?圳· =0?圳以 AB 为直径的圆经过坐标原点。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 命题得证。 2.对结论 1-1 逆向思考,可得到结论 1-1 的逆命题: 结论 1-2:已知抛物线 C:y2=2px,以坐标原点 O 为直角顶点作抛物线内接 Rt△ OAB,则 斜边 AB 所在的弦恒过定点(2p,0)。 证明:设直线 AB 的方程为 mx+ny=1。 联立 y2=2pxmx+ny=1?圯 y2=2px(mx+ny)?圯 y2-2pmx2-2pnxy=0?圯 2-2pn-2pm=0。 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则和为以上方程的两根; 又 OA⊥OB,所以 kOA· kOB=· =-2pm=-1?圯 m=。 所以直线 AB 的方程为 mx+ny=1,即 x+ny=1,所以直线 AB 恒过定点(2p,0)。 命题得证。 3.对结论 1-1 进行一般化推广: 结论 2-1:已知抛物线 C:y2=2px,过点(a,0)的弦交抛物线于相异两点 A、B,则· 为 定值 a(a-2p)。 证明:设直线 AB 的方程为 x=my+a,联立 y2=2pxx=my+a?圯 y2=2p(my+a)。 所以 y1y2=-2pa,即 x1x2==a2; 所以 x1x2+y1y2=a2-2pa=a(a-2p),即· =a(a-2p)。 命题得证。 对结论 2-1 特殊化处理,令 a=2p,即得 x1x2+y1y2=a2-2pa=a(a-2p)=0,也就是结论 11;所以结论 2-1 是结论 1-1 的推广,结论 1-1 是结论 2-1 的特殊情形。 4.对结论 2-1 也作逆向研究,还可得到: 结论 2-2:已知抛物线 C:y2=2px,直线 AB 交抛物线于相异两点 A、B,若· =k(常 数),则有: (Ⅰ)当 p2+k>0 时,直线 AB 过定点(p+,0)或(p-,0); 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn Ⅱ当 p2+k=0 时,直线 AB 恒过定点(p,0); Ⅲ当 p2+k 证明:设直线 AB 的方程为 x=my+n, 联立 y2=2pxx=my+n?圯 y2=2p(my+n)?圯 y2-2pmy-2pn=0?圯 y1y2=-2pn。 所以· =x1x2+y1y2=+y1y2=n2-2pn=(n-p)2-p2≥-p2。 Ⅰ当 p2+k>0,n2-2pn=(n-p)2-p2=n(n-2p)=k?圯 n=p± ; 则直线 AB 的方程为 x=my+n=my+(p± ), 即直线 AB 过定点(p+,0)或(p-,0)。 (Ⅱ)当 p2+k=0,由 n2-2pn=k 得:n=p± =p, 即直线 AB 的方程为 x=my+n=my+p, 即直线 AB 过定点(p,0)。 (Ⅲ)当 p2+k 命题得证。 当结论 2-2 中 k=0 时即得结论 1-2,所以结论 2-2 是结论 1-2 的推广,结论 1-2 是结论 2-2 的特殊情形。 5.再换一个角度对结论 1-1 和 1-2 进行推广,可得: 结论 3:过抛物线 C:y2=2px(p>0)上的定点 A(x0,y0)引抛物线的两条弦 AP、 AQ,则 AP⊥AQ(即 AP· AQ=0)的充要条件是直线 PQ 过定点(2p+x0,-y0)。 证明:(必要性) 下面仍然构造齐次式来证明。 为便于研究,平移坐标系,将新坐标系的原点定在原坐标系的点 A(x0,y0)处。 旧系中的抛物线 C:y2=2px(p>0)在新系中对应 C1:(y+y0)2=2p(x+x0)。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 在新系中设直线 PQ 的方程为 mx+ny=1,由(y+y0)2=2p(x+x0)?圯 y2+2yy0+y02=2px+2px0; 又点 A(x0,y0)在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,所以 y02=2px0。 故 y2+2yy0-2px=0?圯 y2+(2yy0-2px)(mx+ny)=0(

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