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江西省南昌二中2014-2015学年高二上学期第一次考试数学试卷(理科) Word版含解析


江西省南昌二中 2014-2015 学年高二上学期第一次考试数学试卷 (理科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)直线 l:x+ay﹣2=0, (a 为实数) .倾斜角 α 的取值范围是() A. (1)直线 l1,l2 的倾斜角分别为 α1,α2,若 l1⊥l2,则|α1﹣α2|=90°; 2 (2)若直线(a +2a)x﹣y+1=0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是(﹣2,0) ; (3)直线 xtan +y=0 的倾斜角是

(4)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n) 重合,则 m+n= 其中所有正确结论的编号是.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)经过点 P(0,﹣1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,﹣2) 、B(2,1)的线段 总有公共点. (1)求直线 l 斜率 k 的范围; (2)直线 l 倾斜角 α 的范围. 17. (12 分)求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 A(3,0) ,且与直线 2x+y﹣5=0 垂直; (2)经过点 B(1,4) ,且在两坐标轴上的截距相等. 18. (12 分)在等腰△ ABC 中,|AB|=|AC|,顶点 A 为直线 l:x﹣y+1=0 与 y 轴交点且 l 平 分∠A,若 B(1,3) ,求: (I)直线 BC 的方程; (Ⅱ)计算△ ABC 的面积. 19. (12 分)已知圆 M 经过圆 x +y +6x﹣4=0 与圆 x +y +6y﹣28=0 的交点, (I)若圆心在直线 x﹣2y﹣3=0 上,求圆 M 的方程 (Ⅱ)若圆的面积最小,求圆 M 的方程. 20. (13 分)已知圆 C 经过 P(4,﹣2) ,Q(﹣1,3)两点,圆心 C 在第一象限且到直线 3x+4y+4=0 的距离为 .
2 2 2 2

(I)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l∥PQ ,使得直线 l 与圆 C 交于点 A、B,且以 AB 为直径的圆经过坐 标原点,若存在求出直线 l 的方程,不存在说明理由.

21. (14 分)已知圆 C:x +y =9,点 A(﹣5,0) ,直线 l:x﹣2y=0. (1)求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)在直线 OA 上(O 为坐标原 点) ,存在定点 B(不同于点 A) ,满足:对于圆 C 上任一 点 P,都有 为一常数,试求所有满足条件的点 B 的坐标.

2

2

江西省南昌二中 2014-2015 学年高二上学期第一次考试 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)直线 l:x+ay﹣2=0, (a 为实数) .倾斜角 α 的取值范围是() A. A.﹣3 B.﹣6 C. D.

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据它们的斜率相等,可得﹣ =3,解方程求 a 的值. 解答: 解:∵直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行, ∴它们的斜率相等, ∴﹣ =3 ∴a=﹣6 故选:B. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等. 5. (5 分)如果直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y﹣2=0 互相垂直,那么 a 的值等于() A.1 B. C. D.﹣2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

两条直线垂直的判定. 计算题;待定系数法. 利用两直线垂直,斜率之积等于﹣1,列方程解出参数 a 的值. 解:∵直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y﹣2=0 互相垂直,∴斜率之积等于﹣1, =﹣1,a=﹣2,

故选 D. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,两直线垂直,斜率之积等于﹣1,用待定系数法求参 数 a. 6. (5 分)以圆 x +2x+y +1=1 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +y =2 B.(x﹣1) +y =2 C.(x+1) +y =4 D.(x﹣1) +y =4 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件求得圆心坐标,再根据半径等于 2 可得所求的圆的方程. 解答: 解:圆 x +2x+y +1=1,即 (x+1) +y =1,表示以(﹣1,0)为圆心的圆, 2 2 故所求的以(﹣1,0)为圆心,半径等于 2 的圆的方程为(x+1) +y =4, 故选:C. 点评: 本题主要考查圆的标准方程特征,求出圆心坐标,是解题的关键,属于基础题. 7. (5 分)若直线 mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3) +(y+1) =1 的弦长为 2,则 + 的最小值为() A.6 B. 8 C.10 D.12
2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 基本不等式. 专题: 综合题;不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: 由题意可知直线过圆心,可得 3m+n=2,从而 + =( + ) 基本不等式可求答案. 解答: 解:∵直线截得圆的弦长为直径, ∴直线 mx+ny+2=0 过圆心(﹣3,﹣1) ,即﹣3m﹣n+2=0, ∴3m+n=2, ∴ + =( + ) 当且仅当 =3+ ≥3+ =6, ,展开后利用

时取等号,



截得



∴ + 的最小值为 6,

故选 A. 点评: 该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用,变形 + =( + ) 解决本题的关键所在. 8. (5 分)圆 x +2x+y ﹣4y+3=0 与直线 x+y+b=0 相切,正实数 b 的值为() A. B. 1 C. 2 ﹣1 D.3
2 2



考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件利用圆心到直线的距离等于半径,求得正实数 b 的值. 解答: 解:圆 x +2x+y ﹣4y+3=0,即 (x+1) +(y﹣2) =2,表示以(﹣1,2)为圆心、 半径等于 的圆. 根据圆与直线 x+y+b=0 相切,可得 = ,
2 2 2 2

求得正实数 b=1, 故选:B. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程, 直线和圆相切的性质, 点到直线的距离公式的应用, 属于基础题. 9. (5 分)圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是() A.外切 B.内切 C.外离
2 2 2 2

D.内含

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 根据题意先求出两圆的圆心和半径, 根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和, 得出 两圆相外切. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣6y+5=0 的标准方程为:x +(y﹣3) =4, 所以其表示以(0,3)为圆心,以 2 为半径的圆, 所以两圆的圆心距为 3,正好等于两圆的半径之和, 所以两圆相外切, 故选 A. 点评: 本题考查两圆的 位置关系,由两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外 切. 10. (5 分)已知实数 x、y 满足 x +y =4,则 A.2﹣2 B. 2 ﹣2
2 2

的最小值为() C.2+2 D.﹣2﹣2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 令 x=2cosθ,y=2sinθ,则要求的式子化为 cosθ+sinθ=t= sin(θ+

,再令

) ,要求的式子即 t+1,由此求得它的最小值. ,
2

解答: 解:令 x=2cosθ,y=2sinθ,则要求的式子化为 再令 cosθ+sinθ=t= sin(θ+ ) ,t∈,平方可得 sin2θ=t ﹣1,



=

=2(t+1)∈, ,



的最小值为 2﹣2

故选:A. 点评: 本题主要考查圆的参数方程,正弦函数的值域,属于中档题. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)圆 C:x +y +2x﹣2y﹣2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是 3. 考点: 圆的一般方程;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 把圆的方程化为标准方程, 找出圆心的坐标, 利用点到直线的距离公式即可求出圆 心到已知直线的距离. 2 2 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x+1) +(y﹣1) =4, 可得圆心坐标为(﹣1,1) , 则圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离 d= =3.
2 2

故答案为:3 点评: 此题考查了圆的一般方程与标准方程的互化, 以及点到直线的距离公式, 解题思路 为:根据题意找出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式来解决问题. 12. (5 分)已知圆 M:x +y ﹣2mx﹣3=0(m<0)的半径为 2,则其圆心坐标为(﹣1,0) . 考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 直接利用圆的半径求出 m 值,即可求解圆的圆心坐标. 2 2 解答: 解:圆 M:x +y ﹣2mx﹣3=0(m<0)的半径为 2, 2 所以 3+m =4,解得 m=﹣1, 所求圆的圆心坐标(﹣1,0) . 故答案为: (﹣1,0) . 点评: 本题考查圆的一般方程的应用,基本知识的考查.
2 2

13. (5 分) 已知△ ABC 的顶点 A (5, 1) , AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0. AC 边上的高 BH 所在直线为 x﹣2y﹣5=0. 求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 考点: 直线的一般式方程;两条直线的交点坐标. 专题: 计算题. 分析: (1)先求直线 AC 的方程,然后通过方程组求出 C 的坐 标. (2)设出 B 的坐标,求出 M 代入直线方程为 2x﹣y﹣5=0,与直线为 x﹣2y﹣5=0.联立求 出 B 的坐标然后可得直线 BC 的方程. 解答: 解: (1)直线 AC 的方程为: y﹣1=﹣2(x﹣5) , 即 2x+y﹣11=0, 解方程组 得

则 C 点坐标为(4,3) . (2)设 B(m,n) , 则 M( , ) , ,

整理得



解得

则 B 点坐标为(﹣1,﹣3) ,

y﹣3= (x﹣4) , 即直线 BC 的方程 6x﹣5y﹣9=0.

点评: 本题考查两条直线的交点,待定系数法求直线方程,是基础题. 14. (5 分)直线 考点: 专题: 分析: 解答: x+y﹣2 =0 与圆 x +y =4 的位置关系是相交(填相交、相切、相离)
2 2

圆与圆的位置关系及其判定. 直线与圆. 求得圆心(0,0)到直线 x+y﹣2 =0 的距离小于半径,可得直线和圆相交. 2 2 解:圆 x +y =4 的圆心为(0,0) 、半径等于 2,

求得圆心(0,0)到直线

x+y﹣2

=0 的距离为

=

<2(半径) ,

故直线和圆相交, 故答案为:相交. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 15. (5 分)给出以下结论: (1)直线 l1,l2 的倾斜角分别为 α1,α2,若 l1⊥l2,则|α1﹣α2|=90°; 2 (2)若直线(a +2a)x﹣y+1=0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是(﹣2,0) ; (3)直线 xtan + y=0 的倾斜角是

(4)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n) 重合,则 m+n= 其中所有正确结论的编号是(1) 、 (2) 、 (3) . 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件根据直线的斜率和倾斜角,两条直线垂直的性质,判断各个选项是否正确, 从而得出结论. 解答: 解:直线 l1,l2 的倾斜角分别为 α1,α2,若 l1⊥l2,则 α1=90°+α2,或 α2,=90°+α1 , 故|α1﹣α2|=90°成立,故(1)正确. 2 2 若直线(a +2a)x﹣y+1=0 的倾 斜角为钝角,则直线的斜率小于零,故有 a +2a<0,求得﹣ 2<a<0,故实数 a 的取值范围是(﹣2,0) ,故(2)正确. 由于直线 xtan +y=0 的斜率为﹣tan =tan ,故直线倾斜角是 ,故(3)正确.

将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,则折线为这两点连线的中垂线. 由于中点坐标为(2,1) ,这两点连线的斜率为﹣ ,∴折线的斜率为 2,折线的方程为 y﹣ 1=2(x﹣2) ,即 2x﹣y﹣3=0. 再根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得 2× 出 m+n= , ﹣ ﹣3=0,求得 2m﹣n+5=0,不能推

故答案为: (1) 、 (2) 、 (3) . 点评: 本题主要考查直线的斜率和倾斜角, 两条直线垂直的性质, 用点斜式求直线的方程, 属于基础题. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)经过点 P(0,﹣1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,﹣2) 、B(2,1)的线段 总有公共 点. (1)求直线 l 斜率 k 的范围; (2)直线 l 倾斜角 α 的范围.

考点: 直线的倾斜角;直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: (1) , ,由 l 与线段 AB 相交,知

kpA≤k≤kpB.由此能求出直线 l 斜率 k 的范围. (2)由 0≤tanα≤1 或﹣1≤tanα<0,知由于 及 解答: 解: (1) …(4 分) ∵l 与线段 AB 相交, ∴kpA≤k≤kpB ∴﹣1≤k≤1.…(8 分) (2)由(1)知 0≤tanα≤1 或﹣1≤tanα<0 由于 ∴ 及 …(12 分) 均为增函数 均为增函数,由此能求出直线 l 倾斜角 α 的范围. …(2 分)

点评: 本题考查直线的倾斜角和直线的斜率的取值范围的求法, 解题时要认真审题, 仔细 解答,注意合理地进行等价转化. 17. (12 分)求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 A(3,0) ,且与直线 2x+y﹣5=0 垂直; (2)经过点 B(1,4) ,且在两坐标轴上的截距相等. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (I)首先根据垂直求出斜率,再由点斜式求出方程即可. (II)当直线过原点时,方程为 y=4x,当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y=k,把点 A (1,4)代入直线的方程可得 k 值,即得所求的直线方程. 解答: 解: (I)直线 2x+y﹣5=0 的斜率为﹣2,所以所求直线的斜率为 , 利用点斜式得到所求直线方程为 x﹣2y﹣3=0 (II)当直线过原点时,方程为 y=4x,即 4x﹣y=0 当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y=k,把点 A(1,4)代入直线的方程可得 k=5, 故直线方程是 x+y﹣5=0. 综上,所求的直线方程为 x+y﹣5=0 或 4x﹣y=0 点评: 本题考查求直线方程的方法, 体现了分类讨论的数学思想, 注意当直线过原点时的 情况,这是解题的易错点. 18. (12 分)在等腰△ ABC 中,|AB|=|AC|,顶点 A 为直线 l:x﹣y+1=0 与 y 轴交点且 l 平 分∠A,若 B(1,3) ,求: (I)直线 BC 的方程;

(Ⅱ)计算△ ABC 的面积. 考点: 两直线的夹角与到角问题;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆.

分析: (1)由条件知 B 和 C 关于直线 l 对称,设 C(a,b) ,则由



得 C 的坐标,可得 BC 方程. (2)由于 A(0,1) ,求得 cosA= 的值,可得 sinA 的值,再根据

S△ ABC= |

|?|

|sinA,计算求得结果.

解答: 解: (1)由条件知 B 和 C 关于直 线 l 对称,设 C(a,b) ,则



可得 C(2,2) ,所以 BC 方程为 化简得直线 BC 的方程为 x+y﹣4=0. (2)由于 A(0,1) ,可得





cosA=

=

= ,

∴sinA= ,S△ ABC= |

|?|

|sinA= ,

点评: 本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,用点斜式求直线的方 程,用两个向量的数量积表示两个向量的夹角,属于基础题. 19. (12 分)已知圆 M 经过圆 x +y +6x﹣4=0 与圆 x +y +6y﹣28=0 的交点, (I)若圆心在直线 x﹣2y﹣3=0 上,求圆 M 的方程 (Ⅱ)若圆的面积最小,求圆 M 的方程. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 综合题;直线与圆. 2 2 2 2 分析: (I)设所求圆 x +y +6x﹣4+λ(x +y +6y﹣8)=0,求出圆心坐标,代入直线 x﹣ 2y﹣3=0 上,即可求圆 M 的方程; (Ⅱ)若圆的面积最小,圆 M 以已知两相交圆的公共弦为直径,即可求圆 M 的方程. 2 2 2 2 解答: 解: (I)设所求圆 x +y +6x﹣4+λ(x +y +6y﹣8)=0 2 2 即(1+λ)x +(1+λ)y +6x+6λy﹣4﹣28λ=0,
2 2 2 2

其圆心为

代人直线 x﹣2y﹣3=0 得 λ=2, 所以所求为 3x +3y +6x+12y

2

2

﹣60=0 2 2 即(x+1) +(y+2) =25 为所求. (2)∵圆的面积最小,∴圆 M 以已知两相交圆的公共弦为直径 相交弦的方程为 x﹣y+4=0,将圆心为 得 即为 ,所以所求圆 . 代人 x﹣y+4=0

点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定, 考查圆系方程, 考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 20. (13 分)已知圆 C 经过 P(4,﹣2) ,Q(﹣1,3)两点,圆心 C 在第一象限且到直线 3x +4y+4=0 的距离为 .

(I)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l∥PQ,使得直线 l 与圆 C 交于点 A、B,且以 AB 为直径的圆经过坐 标原点,若存在求出直线 l 的方程,不存在说明理由. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (I)利用点斜式求直线 PQ,求出圆心与半径,可得圆 C 的方程; (Ⅱ)假设直线 l 存在,设方程为 x+y+m=0,代入圆方程,利用以 AB 为直径的圆经过坐标 原点 O,可得 AO⊥BO,即 x1x2+y1y2=0,从而可得直线 l 的方程. 解答: 解: (I)PQ 直线方程: ∵C 在 PQ 的中垂线上,PQ 的中垂线方程为 设 C(a,a﹣1) ,由条件 即 x+y﹣2=0 即 y=x﹣1 得|a|=2

∵圆心 C 在第一象限,∴a=2,即 C(2,1) 2 2 所以圆 C 的方程为: (x﹣2) +(y﹣1) =13 (Ⅱ)假设存在 l 与圆 C 交于点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,且以 AB 为直径的圆经过坐标原 点, 2 2 2 2 其方程设为 x+y+m=0 代人圆 C 方程得 2x +2 (m﹣1) x+m +2m﹣8=0△ =4 (m﹣1)﹣( 8 m +2m ﹣8)>0 得 ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0 可得 可得 m +3m﹣8=0 解得
2

(*)x1+x2=1﹣m,



满足(*)

∴直线 l 的方程为: 和 . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 考查学生对直线与圆相交的问题的转化方法, 考查 学生的方程思想和运算化简能力,属于中档题. 21. (14 分)已知圆 C:x +y =9,点 A(﹣5,0) ,直线 l:x﹣2y=0. (1)求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点) ,存在定点 B(不同于点 A) ,满足:对于圆 C 上任一 点 P,都有 为一常 数,试求所有满足条件的点 B 的坐标.
2 2

考点: 圆的切线方程;直线和圆的方程的应用. 分析: (1)先求与直线 l 垂直的直线的斜率,可得其方程,利用相切求出结果. (2)先设存在,利用都有 为一常数这一条件,以及 P 在圆上,列出关系,利用恒成立,

可以求得结果. 解答: 解: (1)设所求直线方程为 y=﹣2x+b,即 2x+y﹣b=0,∵直线与圆相切, ∴ ,得 ,

∴所求直线方程为 , (2)方法 1:假设存在这样的点 B(t,0) , 当 P 为圆 C 与 x 轴左交点(﹣3,0)时, 当 P 为圆 C 与 x 轴右交点(3,0)时, 依题意, 下面证明点
2 2

; , . 为一常数.

,解得,t=﹣5(舍去) ,或 对于圆 C 上任一点 P,都有

设 P(x,y) ,则 y =9﹣x ,





从而

为常数.

方法 2:假设存在这样的点 B(t,0) ,使得 ∴(x﹣t) +y =λ ,将 y =9﹣x 代入得, 2 2 2 2 2 2 x ﹣2xt+t +9﹣x =λ (x +10x+25+9﹣x ) , 2 2 2 即 2(5λ +t)x+34λ ﹣t ﹣9=0 对 x∈恒成立,
2 2 2 2 2

为常数 λ,则 PB =λ PA ,

2

2

2



,解得



(舍去) ,

所以存在点

对于圆 C 上任一点 P,都有

为常数 .

点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,圆的切线方程,又是存在性和探究性问题,恒成 立问题,考查计算能力.是难题.


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