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一元一次不等式易错点分析


不等式(组)常见错解剖析

不等式(组)是初中数学的重要内容之一,是以后学习函数等知识的基础,因此学好这 部分内容对以后的学习起着非常重要的作用. 但初学者,由于对其定义、性质、解法等理解 不透,而导致许多错误.现就平时作业和检测中常出现的错误进行剖析,以提高同学们的解 题能力. 1 忽视因式为 0 例1 错解 剖析 正解 2 若 a ? b ,则 a c _ _ _ _ b c .
2 2

因为 c ? 0 ,且 a ? b ,所以 a c ? b c ,故填>.
2
2 2

上面的解法错在忽视了 c ? 0 .当 c ? 0 时, a c ? b c .
2 2

因为 c ? 0 ,且 a ? b ,所以 ac ? bc ,故应填≥ .
2
2 2

忽视系数 a ? 0 例2 错解 若 ( m ? 1) x
m

? 2 ? 0 是关于 x 的一元一次不等式,则 m 的取值是



由题意,得 m ? 1 ,∴ m ? ? 1 .

故填 ? 1 . 剖析 当 m ? ? 1 时,m ? 1 ? 0 , 此时得到不等式 2>0. 一元一次不等式应满足的条件

是:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是 1;③是不等式. 一元一次不等式的一般
0 形式是: ax ? b ? 0 或 ax ? b ? ( a ? 0) ,在解题时切不可忽视 a ? 0 的条件.

正解 3

由题意,得 m ? 1 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? ? 1 且 m ? ? 1 ,∴ m ? 1 .故应填 1 .

忽视移项要变号 例3 错解 解不等式 6 x ? 14 ? 3 x ? 1 . 移项,得 6 x ? 3 x ? ? 1 ? 14 ,

合并同类项,得 9 x ? 13 , 系数化为 1,得 x ? 剖析
13 9



移项是解不等式时的常用步骤,可以说它是不等式性质 1 的直接推论.但要注意

移项必须变号,而上面的解法就错在移项时忘记了变号. 正解 移项,得 6 x ? 3 x ? ? 1 ? 14 ,
1

合并同类项,得 3 x ? ? 15 , 系数化为 1,得 x ? ? 5 . 4 忽视括号前的负号 例4 错解 剖析 解不等式 5 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ? ? 6 . 去括号,得 5 x ? 6 x ? 3 ? ? 6 ,解得 x ? 3 . 错解在去括号时,没有将括号内的项全改变符号,忽视了括号前的负号.去括号

时,当括号前面是“-”时,去掉括号和前面的“-”,括号内的各项都要改变符号. 正解 5 去括号,得 5 x ? 6 x ? 3 ? ? 6 ,解得 x ? 9 .

忽视分数线的括号作用 例5 错解 解不等式
x ?1 6 ? 2x ? 5 4 ? 1.

去分母,得 2 x ? 2 ? 6 x ? 15 ? 12 ,

移项,得 2 x ? 6 x ? 12 ? 2 ? 15 , 合并同类项,得 ? 4 x ? 25 , 系数化为 1,得 x ? ? 剖析
25 4



分数线具有“括号”的作用,故在去分母时,分数线上面的多项式应作为一个

整体,加上括号.上面的解法就错在忽视分数线的括号作用. 正解 去分母,得 2( x ? 1) ? 3(2 x ? 5) ? 12 ,

去括号,得 2 x ? 2 ? 6 x ? 15 ? 12 , 移项,得 2 x ? 6 x ? 12 ? 2 ? 15 , 合并同类项,得 ? 4 x ? ? 5 , 系数化为 1,得 x ? 6 忽视分类讨论 例6 错解 剖析 代数式 x ? 1 与 x ? 2 的值符号相同,则 x 的取值范围________. 由题意,得 ?
?x ?1 ? 0 ?x ? 2 ? 0

5 4



,解之,得 x ? 2 ,故填 x ? 2 .

上面的解法错在忽视了对符号相同的分类讨论.由题意知,符号相同,两代数式

可以均是正数,也可以均是负数,应分大于 0 和小于 0 进行探究.

2

正解

由题意,得 ?

?x ?1 ? 0

?x ?1 ? 0 或? ,解之,得 x ? 2 或 x ? 1 , ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

故应填 x ? 2 或 x ? 1 . 7 忽视隐含条件
? 2 x ? 3 ? x ? 3 ? ? 1 ?1 ? ? 关于 x 的不等式组 ? 3 x ? 2 有四个整数解,求 a 的取值范围. ? x ? a ?2? ? ? 4

例7

错解

由(1)得 x ? 8 ,由(2)得 x ? 2 ? 4 a ,因不等式组有四个整数解,故 中的整数解有 4 个,即 9、10、11、12,故 2 ? 4 a ? 13 ,解得 a ? ?
11 4

.

剖析

上面的解法错在忽视隐含条件 2 ? 4 a ? 12 而致错,当有多个限制条件时,对不

等式关系的发掘不全面, 会导致未知数范围扩大, 因此解决这方面的问题时一定要细心留意 隐含条件. 正解 由(1)得 x ? 8 ,由(2)得 x ? 2 ? 4 a ,因不等式组有四个整数解,故 中的整数解有 4 个,即 9、10、11、12,故 12 ? 2 ? 4 a ? 13 ,解得
? 11 4 ? a ? ? 5 2

.

8

用数轴表示解集时,忽视虚、实点
? 5 x ? 2 ? 3 ? x ? 1 ? ?1 ? ? 不等式组 ? 1 ,并把它的解集在数轴表示出来. 3 x ?1 ? 7 ? x ?2? ? ?2 2

例8

错解

解不等式(1),得 x ?

5 2

,解不等式(2),得 x ? 4 ,

在同一条数轴上表示不等式(1)、(2)的解集,原不等式组的解集是 如图 1

图1 剖析 本题的解集没有错,错在用数轴表示解集时,忽视了虚、实点.不等式的解集在

数轴上表示时,没有等号的要画虚点,有等号的要画实点. 正解 解不等式(1),得 x ?
5 2

,解不等式(2),得 x ? 4 ,在同一条数轴上表示不

等式(1)、(2)的解集,如图 2,原不等式组的解集是.
3

图2 9 忽视题中条件 例9 有学生若干人,住若干间宿舍,若每间住 4 人,则有 20 人无法安排住宿; 若每间住

8 人,则有一间宿舍不满也不空,问宿舍间数是多少? 错解 设宿舍间数为 x ,学生人数为 4 x ? 20 ,由题意,得 4 x ? 2 0 ? 8 ? x ? 1 ? ? 8 ,解 ∴ x = 6,7,8??

得 x ? 5 ,∵ x 是正整数 答:至少有 6 间宿舍. 剖析

错解的原因在于对题意不够理解, 忽视题中的 “一间宿舍不满也不空” 这一条件.

审清题意是解决这类问题的关键. 正解 设宿舍间数为 x ,学生人数为 4 x ? 20 ,由题意,得 0 ? 4 x ? 2 0 ? 8 ? x ? 1 ? ? 8 , ∴x ? 6 .

解得 5 ? x ? 7 ,∵ x 是正整数 答:有 6 间宿舍.

4


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