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最新人教A版必修一高中数学第一章 集合与函数的概念 1.3.2 第1课时公开课课件_图文

第一章 1.3.2 奇偶性 第1课时奇偶性的概念 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义; 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法; 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 思考 函数奇偶性的几何特征 下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关 于原点对称的呢? 答案 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称. 偶 一般地,图象关于y轴对称的函数称为 奇 关于原点对称的函数称为 函数. 答案 函数,图象 知识点二 函数奇偶性的定义 思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定 答案 因为很多函数图象我们不知道,即使画出来, 义函数的奇偶性? 细微之处是否对称也难以精确判断. 思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处? 答案 好处有两点:(1)等价:只要所有点均关于y轴 (原点)对称,则图象关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作:要判断点是否关于 y轴(原点)对称,只要 代入解析式验证即可,不知道函数图象也能操作. 答案 函数奇偶性的概念: 任意 (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内 都有 f(-x )=f( ) 一个 xx , ,那么函数f(x)就叫做偶函数 .其实质 任意 是函数 f(x) 上任一点 (x , f(x)) 关于 y 轴的对称点 ( - x , f(x))也在f(x)图象上. 都有 f( - x)=-f(x) (2) 奇函数:如果对于函数 f(x)的定义域内 一个x, ,那么函数 f(x) 就叫做奇函数 . 其实质 是函数 f(x) 上任一点 (x, f(x)) 关于原点的对称点 ( - x, -f(x))也在f(x)图象上. 答案 知识点三 思考 奇(偶)函数的定义域特征 如果一个函数 f(x)的定义域是 (-1,1],那这个 函数f(x)还具有奇偶性吗? 答案 由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素 x, 其相反数- x 必须也在定义域内,才能进一步判断 f(-x)与f(x)的关系.而本问题中,1∈(-1,1],-1?(- 1,1],f(-1)无定义,自然也谈不上是否与f(1)相等了. 所以该函数既非奇函数,也非偶函数. 答案 一般地,判断函数奇偶性要注意定义域优先原则, 原点 即首先要看定义域是否关于 对称. 答案 返回 题型探究 类型一 重点难点 个个击破 如何证明函数的奇偶性 x3-x2 例 1 (1)证明 f(x)= 既非奇函数又非偶函数; x-1 证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}, ∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内, x -x 故 f(x)= 既非奇函数又非偶函数. x-1 3 2 解析答 (2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数; 证明 函数的定义域为R, 因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1, 又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x), 所以函数为偶函数. 解析答 (3)证明 f(x)= 1-x2+ x2-1既是奇函数又是偶函数; 证明 定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个 x,都有 f(x)=0,所 以 f(-x)=f(x),故函数 f(x)= 1-x + x -1为偶函数. 2 2 又 f(-x)=-f(x),故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为奇函数. 即该函数既是奇函数又是偶函数. 解析答 ? ?-1,x<0, (4)证明 f(x)=? 是奇函数; ? ?1,x>0 证明 定义域为{x|x≠0}. 若x<0,则-x>0,∴f(-x)=1,f(x)=-1, ∴f(-x)=-f(x); 若x>0,则-x<0,∴f(-x)=-1,f(x)=1, ∴f(-x)=-f(x); 即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 解析答 (5)已知f(x)的定义域为R,证明g(x)=f(-x)+f(x)是偶 函数 证明. ∵f(x)的定义域为R, ∴g(x)=f(-x)+f(x)的定义域也为R. 对于任意x∈R,都有g(-x)=f[-(-x)]+f(-x)=f(- x)+f(x)=g(x), ∴g(x)是偶函数. 反思与 解析答 跟踪训练 1 (1)证明 f(x)=(x-2) 2+x 既非奇函数又非偶函数; 2-x 2+x 证明 由 ≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故 f(x)为非奇 2-x 非偶函数. 解析答 (2)证明f(x)=x|x|是奇函数; 证明 函数的定义域为 R ,因 f( - x) = ( - x)| - x| =- x|x|=-f(x), 所以函数为奇函数. 解析答 (3)证明 f(x)= a-x + x -a(a≥0)既是奇函数又是偶函数; 2 2 证明 定义域为{- a, a}, 因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x) =f(x), 故函数 f(x)= a-x2+ x2-a为偶函数. 又 f(-x)=-f(x),故函数 f(x)= a-x + x -a为奇函数. 2 2 即该函数既是奇函数又是偶函数. 解析答 2 ? - x ,x<0, ? (4)证明 f(x)=? 2 是奇函数. ? ?x ,x>0 证明 定义域为{x|x≠0}. 若x<0,则-x>0, ∴f(-x)=x2,f(x)=-x2,∴f(-x)=-f(x); 若x>0,则-x<0, ∴f(-x)=-(-x)2=-x2,f(x)=x2, ∴f(-x)=-f(x); 即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 解析答 类型二 如何判断函数的奇偶性 例2 (1)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y= f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性;

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