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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)

第 03 节
考 点 考纲内容

三角恒等变换
5 年统计 分析预测 1.和(差)角公 式; 2.二倍角公式; 3. 和 差 倍 半 的

【考纲解读】

①掌握两角和与两角差的正弦、 余弦、正切公式,掌握正弦、余 简单的三角 恒等变换 弦、正切二倍角的公 式. ②掌握简单的三角函数式的化 简、求值及恒等式证明.

2013 浙江文 6;理 6; 2014 浙江文 4,18;理 4,18; 2015 浙江文 11,16;理 11; 2016 浙江文 11;理 10,16; 2017 浙江 14,18.

三角函数公式 的综合应用. 4.备考重点: (1) 掌握和差 倍半的三角函 数公式; (2) 掌握三角 函数恒等变换 的常用技巧.

【知识清单】 1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α -β ):cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ ; C(α +β ):cos(α +β )=cosα cos_β -sin_α sinβ ; S(α +β ):sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ; S(α -β ):sin(α -β )=sin_α cos_β -cosα sinβ ; tan α +tan β T(α +β ):tan(α +β )= ; 1-tan α tan β tan α -tan β T(α -β ):tan(α -β )= . 1+tan α tan β 变形公式: tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tanα tanβ );

sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

).
2 2

函数 f(α )=acos α +bsin α (a,b 为常数),可以化为 f(α )= a +b sin(α +φ )或 f(α )

= a +b cos(α -φ ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定. 对点练习: 【2018 广西南宁二中、 柳州高中 9 月联考】 若 sin? ? ? 等于( A. 7 ) B.

2

2

3 , 且 ? 为第三象限角, 则 tan ? 45 ? ? ? 5

1 7

C. 1

D. 0

【答案】A

本题选择 A 选项. 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2α :sin 2α =2sin_α cos_α ; C2α :cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α T2α :tan 2α = . 2 1-tan α 变形公式: 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 cos α = ,sin α = 2 2 1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) 对点练习: 【2017 浙江,18】已知函数 f(x)=sin x–cos x– 2 3 sin x cos x(x ? R).
2 2 2, 2 2 2 2 2

(Ⅰ)求 f (

2? ) 的值. 3

(Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 【答案】 (Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为 ? ,单调递增区间为 [ 【解析】

?
6

? k? ,

2? ? k? ]k ? Z . 3

(Ⅱ)由 cos2 x ? cos x ? sin x 与 sin 2 x ? 2 sin x cos x 得
2 2

f ( x) ? ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? ?2 sin( 2 x ?
所以 f ( x) 的最小正周期是 ?

?
6

)

由正弦函数的性质得

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? , k ? Z 2

解得

?
6

? k? ? x ?

2? ? k? , k ? Z 3

所以 f ( x) 的单调递增区间是 [

?
6

? k? ,

2? ? k? ]k ? Z . 3

【考点深度剖析】 对于三角恒等变换,高考命题主要以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角的范围、三 角函数的性质、三角形等知识结合考查,在三角恒等变换过程中,准确记忆公式、适当变换 式子、有效选取公式是解决问题的关键. 【重点难点突破】 考点 1 两角和与差的三角函数公式的应用 【1-1】 【2018 江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】

2cos100 ? sin200 的值是 ( sin700



A.

1 2

B.

3 2

C.

2

D.

3

【答案】D

【解析】

故选 D.

【1-2】 【2018 河南省名校联盟第一次段考】已知圆 :

,点





记射线

与 轴正半轴所夹的锐角为 ,将点 绕圆心 逆时针旋转 角度得到点 ,则点 的坐

标为__________. 【答案】

【解析】设射线 OB 与 轴正半轴的夹角为 ,有已知有

, 所以





,C 点坐标为

.

【1-3】已知:? ? ?

3? ? ?? 12 ?? ? ?? ? 3 ?5 ? , ? ,? ? ? 0, ? ,且 cos? ? ?? ? , sin? ? ? ?? ? ? , ?4 ? ?4 ? 5 ?4 ? 4? 4? 13

则 cos?? ? ?? =_______. 【答案】 ?

33 65

【解析】 ? ? ?

12 ? ? 3? ? ?? ? 3 ?? ? 4 ?5 ? , ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? ? ? ? 13 ?4 4 ? ?4 ? 5 ?4 ? 5 ?4 ?

?1 ? 12 ?1 ? 5 ? sin ? ? ? ? ? ? ,? cos ? ? ? ? ? ? ?4 ? 13 ?4 ? 13

?? ? 33 ? ?? ? ? 3 5 4 ? 12 ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? ?4 ? ? 5 13 5 ? 13 ? ?? 4
【领悟技法】

1.运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练,准确,而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α +tan β =tan(α +β )·(1-tan α tan β )和二倍角的余弦公式的多种变形等. 2.应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽 视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟 悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用. π 提醒:在 T(α +β )与 T(α -β )中,α ,β ,α ±β 都不等于 kπ + (k∈Z),即保证 tan α , 2 π tan β ,tan(α +β )都有意义;若α ,β 中有一角是 kπ + (k∈Z),可利用诱导公式化简. 2 【触类旁通】 【变式一】已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? (Ⅰ)求 sin(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)求 cos ? 的值.

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

4 3 10 3 10 9 10 ∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . ? ? (? )? 50 5 10 5 10
【变式二】已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求函数 f ( x) )的解析式,并写出 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ) ?ABC 的内角分别是 A,B,C.若 f ( A) ? 1, cos B ?

?

2

) 的部分图像如图所示.

4 ,求 sin C 的值. 5

【解析】 (Ⅰ)由图象最高点得 A=1, 由周期 T ? 当x?

1 2

2? ? 1 2? ? ? ?, ?T ? ? ? , ?? ? 2 . 3 6 2 ?

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6

因为 | ? |?

? ? ,所以 ? ? . 6 2

? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) .

由图象可得 f ( x ) 的单调减区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z . 3

考点 2

二倍角公式的运用公式的应用

【 2-1】 【2017 浙江 ZDB 联盟一模】已知 sin? ?

sin

?
2

? cos

?
2

1 , 0 ? ? ? ? ,则 tan? ? __________, 3

? __________.

【答案】

?

2 4

2 3 3
1 2 2 1 2 , 0 ? ? ? ? ,所以 cos? ? ? ? tan? ? ? ?? 3 3 4 2 2

【解析】因为 sin ? ?

因为 0 ? ? ? ? ,所以 0 ?

?
2

?

?
2

,因此 sin

?
2

? cos

?
2

?

1 ? sin? ? 1 ?

1 2 3 ? . 3 3

【2-2】 【江苏省淮安市五模】已知 sin ? ?

1 ? cos 2? 的值 ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 ? 2 2 sin(? ? ) 4

为 【答案】 ?
14 2



【2-3】已知 0 ? x ? ? ,且 sin 2 x ? ? 【答案】 ?

7 ?? ? ,则 sin? ? x ? 的值为__________. 25 ?4 ?

4 5

【解析】因为,所以 ? ? 2 x ? 2? ,

?

2 2 ?? ? ? x ? ? , sin ? ? x ? ? cos x ? sin x ? 0 , 2 2 ?4 ? 2
2

? 1 2 16 ?? ? ? 2 cos x ? sin x ? ? (1 ? sin 2 x ) ? 又因为 sin ? ? x ? ? ? ,所以 2 25 ?4 ? ? 2 ? 2
2

4 ?? ? sin ? ? x ? ? ? . 5 ?4 ?
【领悟技法】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:

(1)一看“角” ,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称” ,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特征” ,分析结构特征,找到变形的方向. 【触类旁通】 【变式一】已知 sin ? 2cos (1)求 tan x 的值; (2)求

x 2

x ?0 , 2

cos2 x 的值. ?? ? 2 cos ? ? x ?sin x ?? ?

【变式二】已知 cos 2? ? sin ? (2sin ? ? 1) ? A.

1 7

B.

1 3

? ? 2 ,? ? ( , ? ) ,则 tan( ? ? ) 的值为( 2 4 5 2 2 C. D. 7 3



【答案】A

s ? 2 s i2 ? n? s i? n ? 【 解 析 】 由 二 倍 角 公 式 得 c o2? 1 ? 2 s i2 ? n ? 2 s i2 ? n ? s i? n ?
因 此 s i ?n?

2 , 整 理 得 5

2 , 5

3 4 sin ? 3 ?? ? ?? , 由 于 ? ? ? , ? ? , ? cos ? ? ? , tan ? ? , 5 5 cos ? 4 ?2 ?

? ? tan? ? tan 4 ? tan?? ? ? ? 4 ? 1 ? tan? tan ? ? 4 1 ? ,故答案为 A. 7
考点 3 三角恒等式的证明

?

【3-1】求证:

cos α 1

2

α -tan α 2 tan 2

1 = sin 2α . 4

α α α α 2 2 cos α sin cos cos α sin cos 2 2 2 2 2 2 cos α cos α 【解析】∵左边= = = = α α cos α 2α 2α 2α 2α cos sin cos -sin cos -sin 2 2 2 2 2 2 - α α α α sin cos sin cos 2 2 2 2 α α 1 =cos α sin cos = sin α cos α 2 2 2 1 = sin 2α =右边. 4 ∴原式成立. sin β sin(2α +β ) 【3-2】求证: = -2cos (α +β ). sin α sin α

【3-3】已知 0 ? ? ? 证明: ? ? ? ?

?
4
.

,0 ? ? ?

?
4

,且 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) , 4 tan

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

.

?
4

【解析】? 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) ,即 3 sin(? ? ? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) ,

? 3 sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ,

? 2 sin(? ? ? ) cos? ? 4 cos(? ? ? ) sin ? ,

? ? ? ) ? 2 tan? , ? tan(
又? 4 tan

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

,? tan? ?

2 tan? 1 ? tan

2 ?

1 ? , 2

2

? ? ? ) ? 2 tan? ? 1 ,? 0 ? ? ? ? tan(
?? ? ? ?

?
4

,0 ? ? ?

?
4



?
4

.

【领悟技法】 1.三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式. (1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等 式变换,使等式的两边化异为同. (2)条件恒等式的证明则要认真观察, 比较已知条件与求证等式之间的联系, 选择适当途径. 常 用代入法、消元法、两头凑等方法. (3)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.变名:通过 变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. α +β α -β α -β 2.变换技巧:(1)拆角、拼角技巧:2α =(α +β )+(α -β );β = - ; 2 2 2 = (? ?

?
2

)?(

?
2

? ?).

(3)化简技巧:切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】 【变式一】求证: tan? ?

tan( ? ) 4 2
sin α 【解析】左边= + cos α

?

1

?

?

1 . cos?

cos( ? ) 4 2 sin( ? ) 4 2

?

?

?

?

故原式得证. 【变式二】已知 0 ? x ?

?

2 x ? lg(cos x tan x ? 1 ? 2 sin 2 ) ? lg( 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 4 sin x x ? ? 1 ? 2 sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] 【解析】左边 ? lg(cos x ? cos x 2 4

,证明:

? lg(sin x ? cos x) ? lg( 2 cos x cos
? 2 lg(sin x ? cos x) ? lg(1 ? sin 2 x)
? 右边.
故原命题成立. 考点 4 三角函数的综合应用

?

? 2 sin x sin ) 4 4

?

【4-1】 【2018 湖北省部分重点中学起点】设函数

,其中

θ ∈

,则导数 f ′(1)的取值范围是________.

【答案】[

,2]

【4-2】 【2017 浙江温州二模】已知函数 (1)求函数 的最小正周期;



(2)若



,求

的值.

【答案】 (1) ; (2) 【解析】试题解析: (1)

.

∴函数

的最小正周期是

(2)





,∴

,又

.









.

【4-3】 【2018 江苏海安上学期第一次测试】 已知向量 (1)若 (2)记 ,求 的值; ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.





.

【答案】 (1)

;(2) 当

时,

取到最大值 3; 当

时,

取到最小值

..

【解析】试题分析: (1)依据题设条件

建立方程

分析求解; (2)先运用

向量的坐标形式的数量积公式建立函数 借助余弦函数的图像和性质进行探求: 解: (1)因为 所以 若 ,则 . ,与 矛盾,故 . , , ,

, 然后

于是

.



,所以

.

【领悟技法】

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗

透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y ? A sin(?x ? ? ) 的形 式,再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. 【触类旁通】 【变式一】 【2017 浙江湖州、衢州、丽水三市 4 月联考】函数 f ? x ? ? 2sin(? ? 0, 0 ? ? ? 的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与 y 轴交于点 F 0, 2 ,与 x 轴交于点 B,C, 且

?
2

)

?

?

MBC 的面积为 ? .

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若 f ? ? ?

? ?

??

2 5 ,求 cos2? 的值. ?? 4? 5
? ?

【答案】( Ⅰ) f ? x ? ? 2sin ? x ? 【解析】试题分析:

??

3 ? ;(Ⅱ) 5 . 4?

试题解析: ( Ⅰ)因为 所以周期 , , ,



,得

,

因为 所以

,所以 ;

,

(Ⅱ)由

,得

,

所以 【易错试题常警惕】

.

易错典例:若 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 5x -x+a=0(a 是常数)的两根,θ ∈(0,π ),

2

求 cos 2θ 的值. 易错分析:不注意挖隐含条件,角 ? 的取值范围,处理好开方、平方关系,避免出现增解与漏 解的错误. 1 正确解析:由题意知:sin θ +cos θ = , 5

温馨提醒:求解三角函数问题,应灵活运用公式,特别注意已知等式中角的取值范围,涉及 开方求值问题,注意正负号的选取. 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物 两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合 就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数" 或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐 标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重 身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将 复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果. 【典例】在平面坐标系 xoy 中,直线 l : y ? 2 x ? m(0 ? m ? 1) 与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B ,
2 2

( A 在第一象限) 两个不同的点, 且 ?xOA ? ? , ?AOB ? ? , 则 sin(2? ? ? ) 的值是 (



A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

4 3

D.

4 3

【答案】A

∴ sin(2? ? ? ) ? ? sin(2?ACO) ? ?2sin ?ACO cos ?ACO ? ?

4 . 5


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