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北京市石景山区2013-2014学年度第一学期期末初三数学试卷

石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试试卷

初三数学
考 生 须 知 1.本试卷共 6 页.全卷共五道大题,26 道小题. 2.本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟. 3.在试卷密封线内准确填写区(县)名称、学校、姓名和准考证号. 4.考试结束后,将试卷和答题纸一并交回.

第Ⅰ卷(共 32 分)
一、选择题(本题共 8 道小题,每小题 4 分,共 32 分) 在每道小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请将所选答案前的字母按规 定要求填涂在答题纸第 1-8 题的相应位置上. 1.已知⊙O 的半径为 6,点 A 在⊙O 内部,则 A. OA ? 6 B. OA ? 6 C. OA ? 3 D. OA ? 3 2.已知,在 Rt △ ABC 中,∠C=90° ,BC=12,AC=5,则 cosA 的值是 A.

5 12

B.

12 5

C.

5 13
D

D.

12 13

A
O B

A

C

第2题

B
C

第3题

3.如图,AB、CD 是⊙O 的两条弦,连结 AD、BC.若∠BCD=70°, 则∠BAD 的度数为 A.40° 4.若函数 y ? 值范围是 A.m>1 B. m>0 C. m<1 D.m<0 5.从 1~12 这十二个自然数中任取一个,取到的数恰好是 4 的倍数的概率是 A. B.50° C.60° D.70°

1? m 的图象在其所在的每一象限内,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大,则 m 的取 x

1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

6.如图,PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 分别为切点,PO 交圆于点 C,若∠APB=60° ,PC=6,则 AC 的长为 A.4
A

B. 2 2

C. 2 3

D. 3 3

C

O B

P

第6题

第7题

7.如图,抛物线 y1 ? ? x ? 4 x 和直线 y 2 ? 2 x . 当 y1>y2 时,x 的取值范围是 A.0<x<2 B.x<0 或 x>2 C.x<0 或 x>4 D.0<x<4
2

8.如图,在等边△ ABC 中, AB ? 4 ,当直角三角板 MPN 的 60 角的顶点 P 在 BC 上移动时,斜边 MP 始终经过 AB 边的中点 D ,设直角三角板的另一直角边 PN 与 AC 相交于点 E.设 BP ? x , CE ? y ,那么 y 与 x 之间的函 数图象大致是
?

A

B

第8题

C

D

第Ⅱ卷(共 88 分)
二、填空题(本题共 6 道小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 已知线段 a 、 b 满足 2a ? 3b ,则 10. 若 0? ? ? ? 90? , tan? ?
2

a ? b

. . .
3

1 ,则 sin? ? 2

11.抛物线 y ? ?2 x ? 3x 向上平移 5 个单位后的解析式为

12.长方体底面周长为 50cm,高为 10cm.则长方体体积 ( y cm ) 关于底面的一条边长 ( x cm) 的函 数解析式是 .其中 x 的取值范围是 13.如图,在 Rt?ABC 中,已知 ?ACB ? 90? , C' C AC ? 1 , BC ? 3 ,将 ?ABC 绕着点 A 按逆时针 方向旋转 30? ,使得点 B 与点 B ' 重合,点 C 与点 A C ' 重合,则图中阴影部分的面积为___________. 第 11 题
B'

.

B

14.如图所示:下列正多边形都满足 BA1 ? CB1 ,在正三角形中,我们可推得: ?AOB1 ? 60? ;在 正方形中,可推得: ?AOB1 ? 90? ;在正五边形中,可推得: ?AOB1 ? 108? ,依此类推在正 八边形中, ?AOB1 ?
A
A

? ,在正 n ? n ? 3? 边形中, ?AOB1 ?
D
B O A

?.

E

B

O A1

B1 C B
O A1

B1 A1 C
C B1 D

第 12 题

三、解答题(本题共 7 道小题,每小题 5 分,共 35 分)

1 ? 15.计算: 27 ? 2 sin 60 ? ? ? ? ? cos30 ? ? . tan 45 ? ? 2 ?
16.已知:二次函数 y ? ax ? 3x ? a ? 1的图象开口向上,并且经过原点 O (0,0) .
2 2

0

(1)求 a 的值; (2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标. 17. 如图,在 ?ABC 中, BD ? AC 于点 D ,AB ? 2 2 , BD ? 6 ,并且 ?ABD ? 的长.
B

1 ?CBD .求 AC 2

C

D

A

18. 已知: 一次函数 y ? 2 x ? 1 与 y 轴交于点 C , 点 A?1,n ? 是该函数与反比例函数 y ? (k ? 0) 在 第一象限内的交点. (1)求点 A 的坐标及 k 的值; (2)试在 x 轴上确定一点 B ,使 CB ? CA , 求出点 B 的坐标. 1

k x

.

19.已知:如图,⊙ O 的直径 AB 与弦 CD (不是直径)交于点 F ,若 FB =2,CF ? FD ? 4 ,求 AC 的长.

A O C F B D

20.如图,某机器人在点 A 待命,得到指令后从 A 点出发,沿着北偏东 30 ? 的方向,行了 4 个单位 到达 B 点,此时观察到原点 O 在它的西北方向上,求 留根号).
北 东

A 点的坐标(结果保

21. 已知: 在 ?ABC 中, ?ACB ? 90? , CD⊥AB 于 D , BE : AB ? 3: 5 ,若 CE ? 求 tan ?AEC 的值及 CD 的长.

2, cos ?ACD ? ,
A

4 5

D

B

E

C

四、解答题(本题共 3 道小题,每小题 5 分,共 15 分) 22.如图,有一块铁片下脚料,其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分,要裁出一个等边三角形,使 其一个顶点与抛物线的顶点重合,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长(结果 精确 到 0.1 , 3 ? 1.732 ).

23.已知:如图, AB 是⊙ O 的直径, E 是⊙ O 外一点,过点 E 作 AB 的垂线 ED ,交 BA 的延长 线于点 D , EA 的延长线与⊙ O 交于点 C , DC ? DE . (1)求证: DC 是⊙ O 的切线; (2)若 sin ?ACD ? 求 AE 的长.

E

5 ,⊙ O 的半径为 5 , 5

D

A C

O

B

24. 如图, 二次函数 y1 ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象与一次函数 y2 ? x ? b 的图象交于 A(0, 1) ,B 两
2

点. C 为二次函数图象的顶点. ( 1,0) (1)求二次函数 y1 ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的解析式; (2)定义函数 f:“当自变量 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1 或 y2,若 y1≠y2,函数 f 的
2

函数值等于 y1、 y2 中的较小值;若 y1=y2, 函数 f 的函数值等于 y(或 y2) .” 当直线 y3 ? kx ? 1 (k >0)与函数 f 的图象只有两个交点时,求 k 的值.

1 2

五、解答题(本题共 2 道小题,每小题 7 分,共 14 分) 25.将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转,旋转角为 ?(0? ? ? ? 90?) ,旋转后使各边长变为原来的

n 倍,得到 △AB?C? ,我们将这种变换记为[ ?,n ].
(1)如图①,对 △ABC 作变换[ 60 , 3 ]得 △AB?C? ,则 S△ AB?C ? : S△ ABC
?

=

___;直线 BC 与直线 B?C ? 所夹的 锐角为
? ?

__ °;

(2)如图②, △ABC 中, ?ACB ? 90 , ?BAC ? 30 ,AC ? 3 ,对 △ABC 作变换[ ?,n ] 得 △AB?C? ,使得四边形 ABB?C? 为梯形,其中 AB ∥ B?C ? ,且梯形 ABB?C? 的面积为

12 3 ,求 ? 和 n 的值.

图?

图?

26. 已知点 A(2,?2) 和点 B(?4, n) 在抛物线 ( 1)求 a 的值及点 B 的坐标;

y ? ax2 (a ? 0) 上.

(2)点 P 在 y 轴上,且满足△ ABP 是以 AB 为直角边的直角三角形,求点 P 的坐标; (3)平移抛物线 解析式.

y ? ax2 (a ? 0) ,记平移后点 A 的对应点为 A' ,点 B 的对应点为 B' .

点M

(2,0)在 x 轴上,当抛物线向右平移到某个位置时, A' M ? MB' 最短,求此时抛物线的函数

石景山区 2013-2014 学年度第一学期期末考试试卷 初三数学参考答案
阅卷须知: 为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考生的解法 与本解法不同,正确者可参照评分参考给分,解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的 累加分数. 一、选择题(本题共 8 道小题,每小题 4 分,共 32 分) 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 C 7
[来源:Z§xx§k.Com]

8 B

A C D A B 二、填空题(本题共 6 道小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.

A

3 ; 2
2

10.

5 ; 5
13.

11.

y ? ?2 x2 ? 3x ? 5 ;
14. 135? ;

12. y ? ?10 x ? 250 x , 0 ? x ? 25 ;

5? ; 6

? n ? 2 ??180?
n



[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

三、解答题(本题共 7 道小题,每小题 5 分,共 35 分) 0 15.解: 2 sin 60 ? ? 1 ?
27 ? tan 45 ? ? ? ? cos30 ? ? ?2 ?

=3 3 ? 2 ?

3 ? 1 ……………………………………………………4 分 2

=4 3 ? 1 ……………………………………………………………5 分 16.解:(1)a=1; ……………………………………………………………2 分 (2) y ? x ? 3x
2

? x 2 ? 3x ?

9 9 ? 4 4 3 2 9 ? (x ? ) ? 2 4

………………………………………3 分 ………………………………………4 分

3 9 ? ) ………………………………5 分 ?抛物线顶点坐标为( , 2 4 17.解:在 Rt ?ABD 中, ?BDA ? 90? , AB ? 2 2 , BD ? 6

?c o ? s ABD ?

6 2 2

?

3 2

………1 分

??ABD ? 30? , ?A ? 60? ……3 分 1 ? ?ABD ? ?CBD 2 ??CBD ? 60? ??ABC ? 90? ……4 分 AB ?4 2 在 Rt?ABC 中, AC ? ……………5 分 cos A 18. 解: (1)?点 A(1, n) 在 y ? 2 x ? 1 的图象上,

? n ? 3, A?1,3? ………………………1 分 k 点 A(1,3) 在 y ? 的图象上, x ? k ? 3 ……………………………2 分

(2)如图,作 AD ? y 轴,垂足为 D

?OC ? 1 ? AD, BC ? AC .
且 ?COB ? 90 ? ?ADC
?

? △COB ?△ADC …………………3 分 ?OB ? DC ? 2
19.解:方法一: 连结 OD 设⊙ O 的半径为 R ∴ AB ? CD ∵ OB=R BF=2 则 OF ? R - 2 在 Rt?OFD 中,
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

? B?2,0?或B' ?? 2,0? . ……………………5 分.
………………1 分

A O C F B D

∵ AB 是⊙ O 的直径,且 CF=DF ………………2 分

由勾股定理得: R ? ?R - 2? ? 4 …………3 分
2 2 2

解得: R ? 5 ∴ AF ? 8 在 Rt?ACF 中
2

………………4 分
2

由勾股定理得: AC ? CF ? AF ? 4 5 ………………5 分 方法二: 连结 CB ∴ AB ? CD , ∴ tanA ? tan ?1 ………………1 分
[来 源:Z,xx,k.Com]

∵ AB 是⊙ O 的直径,且 CF=DF ………………2 分

A O

CF BF ∴ ? AF CF ∴ AF ? 8 在 Rt?ACF 中
由勾股定理得: AC ? 4 5

………………3 分 ………………4 分 ………………5 分
?

C

1

F B

D

20. 解: 过点 B 做 BD ? y 轴于点 D . ……………1 分 在 Rt?ADB 中, ?BAD ? 30 , AB ? 4 ………2 分 ? BD ? AB sin ?BAO ? 2 , AD ? AB cos ?BAO ? 2 3 . ………3 分 ? ? ?DBO ? 45? , 又 ? ?BDO ? 90 ………4 分 ?OD ? BD ? 2 . ? OA ? OD ? AD ? 2 ? 2 3

? A 0,?2 ? 2 3

?

?

………5 分

21. 解:在 Rt?ACD 与 Rt?ABC 中

? ?ABC ? ?CAD ? 90?

?ACD ? ?CAD ? 90? ??ABC ? ?ACD
? cos ?ABC ? cos ?ACD ?
在 Rt△ABC 中,

………………1 分

4 5

BC 4 ? AB 5 令 BC ? 4k , AB ? 5k 则 AC ? 3k 由 BE : AB ? 3 : 5, 知BE ? 3k
[来源:学科网]

………………2 分

则 CE ? k , 且CE ?

2

………………3 分

则 k ? 2 , AC ? 3 2

? Rt?ACE中, tan ?AEC ?

AC ? 3 ……………4 分 CE CD 4 ? Rt?ACD中, cos ?ACD ? ? , AC 5 12 …………………5 分 ? CD ? 2 5

四、解答题(本题共 3 道小题,每小题 5 分,共 15 分) 22. 解:(说明:根据建立的坐标系的位置的不同,抛物线的解析式也不同) 以抛物线的顶点 O 为坐标原点, 过点 O 作直线 AB 的平 行线和垂线分别作为 x 轴和 y 轴,建 立平面直角坐标系. …………………1 分 则 D?3, ? 6?

? D?3, ? 6? 在抛物线上 2 代入得: a ? ? 3 2 ? y ? ? x 2 …………….2 分 3 ? △ ABO 是等边三角形 ?OH ? 3BH 设 B x,? 3 x ………………3 分 6dm 2 ? 3x ? ? x 2 3 6dm 3 ? x1 ? 0 (舍), x2 ? 3 2 3 ? BH ? 3 , AB ? 3 3 ? 5.2(dm) …………………………. 4 分 2 答:等边三角形的边长为 5.2dm . …… …………………… 5 分

设抛物线解析式为 y ? ax ?a ? 0? ,
2

?

?

23. 解:(1)证明:连结 OC ………………1 分

? DE ? DC

E

D

3

A
4

2 1

O

B

??4 ? ?E ?OA ? OC ??1 ? ?2 又? ?2 ? ?3 则 ?1 ? ?3 ??4 ? ?1 ? ?E ? ?3 ? 90? ……2 分 ∴ DC 是⊙ O 的切线
(2) ??4 ? ?E

? sin ?E ?

5 5

设AD ? k, 则AE ? 5k , ED ? 2k ,? DC ? 2k ………………3 分
在 Rt△OCD 中, 由勾股定理得:

OD 2 ? DC 2 ? OC 2
? ( 5 ? k ) 2 ? ( 2k ) 2 ? 5
2

………………4 分

2 5 3 10 ? AE ? 5k ? ……………5 分 3 ? k ? 0(舍), k ?
24. 解:(1)设抛物线解析式为 y ? a( x ? 1) ,
2

由抛物线过点 A(0, 1) ,可得 y ? x ? 2 x ? 1 …………2 分
2

(2)可得 B(3,4)

1 (k >0)与函数 f 的图象只有两个交点共有三种情况: 2 1 ①直线 y ? k x ? 与直线 AB : y ? x ? 1 平行,此时 k ? 1 ;…3 分 2 1 3 ②直线 y ? kx ? 过点 B(3,4) ,此时 k ? ; ………………4 分 2 2
直线 y ? k x ? ③直线 y ? k x ?

1 2 与二次函数 y ? x ? 2 x ? 1 的图象只有一个交点, 2 1 ? 1 ?y ? kx? , 2 此时有 ? 得 x ? 2 x ? 1 ? kx ? , 2 2 ? y ? x 2 ? 2 x ? 1. ?
由 ? ? 0, 可得 k1 ? 6 - 2, k2 ? ? 6 ? 2(舍) .…………5 分

综上: k ? 1 , k ?

3 ,k ? 6 -2 2

五、解答题(本题共 2 道小题,每小题 7 分,共 14 分) 25. 解: (1) 3 , 60 ………………………………………2 分

(2) 由题意可知: △AB?C? ∽ △ABC

? ?C ? ? ?C ? 90 ? ,

AC ? B?C ? ? ?n AC BC ? AB // B' C' ,??BAC' ? 90? ? ? ? 90? - ?BAC ? 60? ……………………………4 分
AC 1 ? 2,BC ? AB ? 1 ? cos30 2

在 Rt△ABC 中, AB ?

? AC ' ? 3n, B?C? ? n ………………………………5 分 ?在直角梯形 ABB?C? 中, 1 S ? ? AB ? B?C ??AC ? 2 1 ? ?2 ? n ? 3n ? 12 3 …………………………6 分 2 ? n ? 4, n ? ?6?舍去? ………………………………7 分
? ? ? 60? , n ? 4 1 26.解:(1) a ? ? ……………………1 分 2 1 抛物线解析式为: y ? ? x 2 2 B(?4,?8) ……………………2 分
(2) 记直线 AB 与 x、y 轴分别交于 C、D 两点, 则直线AB : y ? x ? 4 C (4,0)、 D(0,?4) ………………………3 分
Rt?COD中, ?OC ? DO, ??ODA ? 45? ①以 A 为直角顶点,则 ?P 1 AB ? 90?
Rt?P 1 AD中, ?P 1 DA ? 45?

则 AD ? cos 45 ? ? 2 P 2 1D
?P 2 AD ? 4 1D ?

又? D(0,? 4),

?P 0) …………………4 分 1 (0, ②以 B 为直角顶点,则 ?DBP2 ? 90?
Rt?DBP2中, ?BDP2 ? ?ODC ? 45?
? DP2 ? 2 BD ? 8

? P(0, ? 12)

………………………5 分

?综上,P(0, 0)或(0, -12) (3)记点 A 关于 x 轴的对称点为 E(2, 2) 则 BE: y ? 5 x ? 4 3 3

令 y=0,得 x ?

4 5

4 即 BE 与 x 轴的交点为 Q ( ,0) ……6 分 5

MQ ? 2 ?

4 6 ? 5 5
2

故抛物线 y ? ? 1 x 2 向右平移 6 个单位时 A' M ? MB' 最短
5

此时,抛物线的解析式为 y ? ?

1 6 ( x ? )2 …………………7 分 2 5


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