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山西省忻州一中 临汾一中 长治二中 康杰中学届高三数学下学期第四次联考试题(A卷)理-课件


2016 届高三年级第四次四校联考 数学(理)试题
【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.
x ? ? ? ?1? ? 2 1.已知全集为 R,集合 A ? ? x | ? ? ? 1?,B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 A ? (CR B) ? 2 ? ? ? ? ? ?

?

?

A. ?x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4?

B. ?x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4?

C. ?x | 0 ? x ? 2?

D. ?x | 2 ? x ? 4?

2.已知 a 为实数,若复数 z ? (a2 ? 9) ? (a ? 3)i 为纯虚数,则 A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i

a ? i19 的值为 1? i
D. 1 ? 2i

3.下列函数中,既是奇函数,又在 ?0,??? 上为增函数的是 A. y ? x ?

1 x

B. y ?

x

C. y ? ? x 3

D. y ? lg 2 x

4. 下列命题的说法错误的是 A.对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 , 则 ?p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0
2

B. " x ? 1" 是 " x2 ? 3x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件 C.若命题 p ? q 为假命题,则 p,q 都是假命题 D.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 5. 某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析,得到如下数据: 记忆能力 x 识图能力 y

4

6
5

8
6

10
8

3

?? 由表中数据,求得线性回归方程为, y
能力约为

4 ? ,若某儿童的记忆能力为 12 时,则他的识图 x?a 5

1

A.9.2

B.9.5

C.9.8

D.10

6.从 6 个盒子中选出 3 个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有 A.16 种
n

B.18 种

C.22 种

D.37 种

? 1 ? 1 7. 如果 ? 3x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是 3 2 x x ? ?
A.7 B.﹣7 C.21 D.﹣21

8.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 6 的正方形,两条虚线互相垂直,则 该几何体的体积是

开始

s ? 0, n ? 1
n? 1 1 2 0 ,) n ? Ts ?? (? 1 ?n

n ? n ?1

s ? 0, n ? 1 S ? S ?T
s? n? ? 1否 n0 ?, 9
A.96 C.180 B.108 D.198

s ? 0, n ? 1

s ? 0, n ? 1 输出 S
结束



9. 如上图所示程序框图中,输出 S= A.45 B.﹣55 C.﹣66 D.66

10.已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ?? ? 0? 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公

2

差为

? ? 的等差数列,把函数 f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数 g ? x ? 的图 2 6

象.若在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ g ? x ? ? 3 ”发生的概率为 A. B. C. D.

11. 已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F 到双曲线 C:

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 渐近线的距离为 a 2 b2

4 5 ,点 P 是抛物线 y 2 ? 8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F 1 ? 0, c ? 的距离与到直线 5

x ? ?2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为

y 2 x2 x2 y 2 x2 y2 2 ?1 ? x2 ? 1 ? ?1 ? ?1 A. B. y ? C. D. 4 4 3 2 2 3 2 2 12.已知函数 f ( x) ? ( x ? x)(x ? ax ? b) ,若对 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x) 的最
小值为 A. ?

9 4

B. ?

25 16

C.-2

D.0

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 设 x, y 满足约束条件 ?

? 1? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________ ?? 1 ? x ? y ? 0

14.已知 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,则 (OA ? OB) ? (OA ? OC) ? __________ 15.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx(a, b ? R) 的图象如图所示,它与 x 轴在原点相切,且 x 轴与函数图象所围成的区域(如图阴影部分)的面
3 2

积为

1 ,则 a 的值为_________ 12

16.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 b ? 7 a sin B ,若 B ?

?
3

,则 sin C ? __

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上)
3

17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 n ? 1(n ? N ? ) (1) 求数列 {an } 的通项公式;

2n (2) 若 bn ? 2 n ?1 ,且数列{ b n }的前 n 项和为 T n ,求证: Tn ? 1 . 2 ? 3 ? 2n ? 1

18.(本小题满分 12 分) 根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的 PM2.5(PM2.5 是指大气中直径小于或 等于 2.5 微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: (1)写出该样本的众数和中位数(不必写 出计算过程); (2)求该样本的平均数,并根据样本估计 总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理 由; (3)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时 平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 第五组 第六组 (60,75] (75,90) 4 4 0.1 0.1 第二组 第三组 第四组 (15,30] (30,45] (45,60] 12 8 8 0.3 0.2 0.2 组别 PM2.5(微克 /立方米) (0,15] 频数 (天) 4

频率

第一组

0.1

X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) 和方
差 D( X ) . 19. (本小题满分 12 分)

4

在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB//CD, ?ABC ?

?
2



AB ? PB ? PC ? BC ? 2CD ,平面 PBC ⊥平面 ABCD
(1)求证: AB ⊥平面 PBC ; (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小.

P

C

D

B
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

A

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 .以原点 2 2 a b

为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,若斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于 A, M , N ( A 点在椭圆右顶 点的右侧),且 ?NF2 F1 ? ?MF2 A .求证直线 l 恒过定点,并求出斜率 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e ? ax ? 2
x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1, k 为整数,且当 x ? 0 时, 数,求 k 的最大值.

k?x f ?( x) ? 1 恒成立,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函 x ?1

选做题: 请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。
5

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G ,且 D, C , E , G 四点共圆. (1)求证: ?BAD ? ?ACG ; (2)若 GC ? 1 ,求 AB .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? , (其中 ? 为参数),以坐标原点 O 为 ? y ? sin ?
? ?

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?? ? (1)求 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角; (2)设点 P (0,2), l 和 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

??

?? 2. 4?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a (a ? R) ,

g ( x) ? x ?

1 ? 4( x ? 0) x

(1)若 a ? 3 ,求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (2)对 ?x1 ? R ,

?x2 ? (??,0) 有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2 01 6 届高三年 级第四次四校 联考 数学 (理)答案 一.A 卷:ADDCB 二.3 17. (1)? ACCBC DA -1

?

1 6

13 14

S n ? 2 n ? 1, ? 当 n ? 2 时有 S n?1 ? 2 n?1 ? 1 ???????????1 分
6

所以,当 n ? 2 时有, an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 ???????????????3 分 又 a1 ? 1 符合上式,所以 an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 ?????????????4 分

(2)? bn ?

2n 1 1 ? n ? n ?1 ????????????8 分 2 n ?1 n 2 ? 3? 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1 2
n ?1

所以 Tn ? 1 ?

?1

????????????????????????11 分

所以 Tn ? 1 ?????????????????????????????12 分 18.(1)众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米. ???4 分 (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为

7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立方 米).因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,
故该居民区的环境需要改进. ????????????????7 分

(3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”,

P ( A) ?


9 10 .

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且

? ? B (2,

9 ) 10 .

9 9 P(? ? k ) ? C2k ( )k (1 ? ) 2?k (k ? 0,1, 2) 10 10 所以 ,
?
p
0 1

所以变量 ? 的分布列为 2

1 100

18 100

81 100
10 分

E? ? 0 ?

9 1 18 81 E? ? nP ? 2 ? ? 1.8 ? 1? ? 2? ? 1.8 10 100 100 100 (天),或 (天) ??11 分
12 分

D? ? 0.18
19. 解:(1)证明:因为 ?ABC ? 90 o ,所以 AB⊥BC

7

因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC,AB ? 平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 PBC. ????4 分 (2)如图,取 BC 的中点 O,连接 PO,因为 PB=PC,所以 PO⊥BC.因为 PB=PC,所以 PO⊥BC,因为平面 PBC⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD.以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴,OP 所 在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz. 不妨设 BC=2.由 AB=PB=PC=BC=2CD 得,

P(0,0, 3 ), D(?1,1,0), A(1,2,0) .

6分

所以 DP ? (1,?1, 3 ), DA ? (2,1,0) ,设平面 PAD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) .因为

? ? x ? y ? 3z ? 0 ?m ? DP ? 0 ,所以 ? 令 x ? ?1 ,则 y ? 2, z ? 3 .所以 m ? (?1,2, 3 ) . ? 2 x ? y ? 0 ? m ? DA ? 0 ? ?
8分 取平面 BCP 的一个法向量 n ? (0,1,0) , 9分

所以 cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

2 2

11 分

所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为

?
4

????12 分

20. (1)由题意知 e= =

c a

2 c a -b 1 2 2 2 2 2 ,∴e = 2= 2 = ,即 a =2b .又∵b= =1,∴a =2, 2 a a 2 1+1 4分

2

2

2

x2 b2=1,∴椭圆方程为 +y2=1.
2

(2)由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由?
? ?y=kx+m, ?x +2y =2 ?
2 2 2 2

得(2k +1)x +4kmx+2m -2=0.
2 2 2 2

2

2

2

由Δ =16k m -4(2k +1)(2m -2)>0,得 m <2k +1,
8

-4km 2m -2 则有 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 2k +1 2k +1 ∵∠NF2F1=∠MF2A, 且∠MF2A≠90°,kMF2+kNF2=0. 又 F2(1,0),则

2

7分

y1 y2 kx1+m kx2+m + =0,即 + =0, x1-1 x2-1 x1-1 x2-1

化简得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0. -4km 2m -2 将 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 代入上式得 m=-2k, 2k +1 2k +1 ∴直线 l 的方程为 y=kx-2k,即直线过定点(2,0). 将 m=-2k 代入 m <2k +1, 1 2 2 2 得 4k <2k +1,即 k < ,又∵k≠0, 2 ∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是?-
x 2 2 2

9分 10 分

? ?

2 ? ? 2? ,0?∪?0, ?. 2 2 ? ? ?
x

12 分

21. (1)函数 f(x)=e -ax-2 的定义域是 R,f′(x)=e -a, 1分 x x 若 a≤0,则 f′(x)=e -a≥0,所以函数 f(x)=e -ax-2 在(-∞,+∞)上单调递增 2 分 x 若 a>0,则当 x∈(-∞,lna)时,f′(x)=e -a<0; 当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)=e -a>0; 所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增。
x

5分

k?x ' f ( x) ? 1 ? (k ? x)( e x ? 1) ? x ? 1 (2)由于 a=1, x ?1 ? x ? 0,? e x ? 1 ? 0. ? k ?
令 g ( x) ?

x ?1 ?x ex ?1

7分

x ?1 ? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) ' ? x ? k ? g ( x ) , , g ( x ) ? ? 1 ? min ex ?1 (e x ? 1) 2 (e x ? 1) 2
x ' x

令 h( x) ? e ? x ? 2, h ( x) ? e ? 1 ? 0 ,? h( x) 在 (0,??) 单调递增,

9分

且 h(1) ? 0, h(2) ? 0,? h( x) 在 (0,??) 上存在唯一零点,设此零点为 x0 ,则 x0 ? (1,2) 当 x0 ? (0, x0 ) 时, g ( x) ? 0 ,当 x0 ? ( x0 ,??) 时, g ( x) ? 0
' '

? g ( x) min ? g ( x0 ) ?

x0 ? 1 ? x0 , e x0 ? 1

11 分

9

由 g ' ( x0 ) ? 0 ? e x0 ? x0 ? 2,? g ( x0 ) ? x0 ? 1? (2,3) ,又? k ? g ( x0 ) 所以 k 的最大值为 2 (22)选修 4 ?1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解法一:(Ⅰ)连结 DE ,因为 D, C , E , G 四点共圆,则 ?ADE ? ?ACG . ·· 2 分 又因为 AD , BE 为△ ABC 的两条中线, 所以 D, E 分别是 BC , AC 的中点,故 DE ∥ AB . ············ 3 分 所以 ?BAD ? ?ADE , ························ 4 分 从而 ?BAD ? ?ACG . ························ 5 分 (Ⅱ)因为 G 为 AD 与 BE 的交点, 故 G 为△ ABC 的重心,延长 CG 交 AB 于 F , 则 F 为 AB 的中点,且 CG ? 2GF . ················· 6 分 在△ AFC 与△ GFA 中,因为 ?FAG ? ?FCA , ?AFG ? ?CFA , 所以△ AFG ∽△ CFA , ······················ 7 分 所以
FA FG ,即 FA2 ? FG ? FC . ················· 9 分 ? FC FA
1 1 3 AB , FG ? GC , FC ? GC , 2 2 2

12 分

因为 FA ?

所以

1 3 AB2 ? GC 2 ,即 AB ? 3GC , 4 4

又 GC ? 1 ,所以 AB ? 3 . ····················· 10 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. ····················· 5 分
10

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, ?BAD ? ?ACG , 因为 D, C , E , G 四点共圆,所以 ?ADB ? ?CEG , ·········· 6 分

所以 △ABD ∽ △CGE ,所以

AB AD ? , ············· 7 分 CG CE

由割线定理, AG ? AD ? AE ? AC , ················· 9 分 又因为 AD, BE 是 △ ABC 的中线,所以 G 是 △ ABC 的重心, 所以 AG ?

2 AD ,又 AC =2 AE =2 EC , 3

所以

2 AD AD 2 =2 EC 2 ,所以 ? 3, 3 CE

所以

AB ? 3 ,因为 CG ? 1 ,所以 AB ? 3 . CG

·········· 10 分

23. 解法一:(Ⅰ)由 ?

? x ? 3cos ? , x2 消去参数 ? ,得 ? y 2 ? 1, 9 y ? sin ? ?

2分

由 ? sin ? ? ?

? ?

?? ? ? 2 ,得 ? sin ? ? ? cos ? ? 2 ,(*) 4?

3分

将?

? x ? ? cos ? , 代入(*),化简得 y ? x ? 2 , ? y ? ? sin ?
? . 4

4分

所以直线 l 的倾斜角为

5分

? ? x ? t cos , ? ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 P ? 0,2? 在直线 l 上, 可设直线 l 的参数方程为 ? (t 为 ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 4
参数),
11

? 2 t, ?x ? ? 2 即? ( t 为参数), ?y ? 2 ? 2 t ? ? 2
代入

7分

x2 ? y 2 ? 1并化简,得 5t 2 ? 18 2t ? 27 ? 0 . 9

8分

? ? 18 2 ? 4 ? 5 ? 27 ? 108 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,
则 t1 ? t2 ? ?

?

?

2

18 27 2 ? 0, t1t2 ? ? 0 ,所以 t1 ? 0, t2 ? 0, 5 5
18 2. 5

9分

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ? 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 .

10 分

5分

由?

? y ? x ? 2, ?x ? 9 y ? 9
2 2

2 消去 y 得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 ,

7分

2 于是 ? ? 36 ? 4 ?10 ? 27 ? 216 ? 0 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

18 27 ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 . ? 0, x1 x2 ? 10 5
8分

故 PA ? PB ? 1 ? 12 | x1 ? 0 | ? 1 ? 12 | x2 ? 0 |?

2 | x1 ? x2 |?

18 2 . 10 分 5

24. (1)因为 a ? 3 ,所以有

x ?1 ? x ? 3 ? 4
2分

当 x ? 1 时,有 4 ? 2 x ? 4 ,所以 x ? 0 当 1 ? x ? 3 时,有 2 ? 4 .3 分

12

当 x ? 3 时,有 2 x ? 4 ? 4 ,所以 x ? 4

4分 5分

综上所述,原不等式的解集为 {x | x ? 0 或 x ? 4 } (2)由题意可得 f ( x) min ? g ( x) max 又 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a ?| a ? 1 | 7分 8分 9分

g ( x) ? 2 ,当且仅当 x ? ?1 时取等号

所以有 | a ? 1 |? 2 即 a 的取值范围时 a ? 3 或 a ? ?1

10 分

13


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