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抚州地区2010-2011学年度下学期期末考试高二数学试卷(理科)


学年度下学期期末考试高二数学试卷(理科) 抚州地区 2010 —2011 学年度下学期期末考试高二数学试卷(理科)
命题人:李子平 本试卷分为第 I 卷 (选择题) 和第 Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 150 分, 共 考试时间 120 分 钟.注意事项; 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写在试 题卷上的无效. 2.答题前,考生务必将自己的“姓名”“班级”和“考号”写在答题卷上. 、 3.考试结束.只交答题卷. 第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1.己知复数 z 满足 z (1 + i ) =

1 3 + i ,则 | z | =( 2 2
C.



A.

1 2

B.1

3 2

D.

2 2
1 3 + i, 2 2

解析: z = x + yi , z = x ? yi , z (1 + i ) = ( x ? y ) + ( x + y )i , 设 则 ∴ 又∵ z (1 + i ) =

1 ? 1 ? ?x ? y = 2 ? x = 4 (1 + 3) 2 ? ? 2 2 ,解得 ? ,∴ | z | = x + (? y ) = .故选 D. ∴? 2 ?x + y = 3 ? y = 1 ( 3 ? 1) ? ? ? 4 2 ?
2.设 X A.0.16

N (500, 602 ) , P ( x ≤ 440) = 0.16 ,则 P ( x ≥ 560) =(
B.0.32 C.0.84 D.0.64



解析:由正态分布密度函数的图像关于 x = 500 对称可得 P ( x ≥ 560) =0.16. 故选 A. 3.已知 a, b ∈ R , a + b < 1 ,求证方程 x + ax + b = 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法
2

证明时假设正确的是(



A.方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 x1 ≥ 1 B.方程两根的绝对值都大于或等于 1 C.方程两根的绝对值中至少有一个大于或等于 l D.以上都不对 解析:两根都小于 1 的否定是两根不都小于 1,即至少有一个大于或等于 l,故选 C. 4.曲线 y = x ln x 在点 (e, e) 处的切线方程为( A. y = 2 x ? e B. y = ?2 x ? e ) D. y = ? x ? 1

C. y = 2 x + e

解析:∵ y ' = ln x + 1 ,∴ k切 = ln e + 1 = 2 ,∴ y ? e = 2( x ? e) ,即切线方程为 y = 2 x ? e .

故选 A. 5.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数 是( ) A. C6C94
1 2

B. C6C99
3 3

1

2

C. C100 ? C94
3 3

D. A100 ? A94
3 3

解析:间接法: C100 ? C94 ,故选 C. 6.2011 年某通讯公司推出一组手机卡号码.卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000” 到“9999”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金 兔卡”, 享受一定优惠政策,则这组号码中“金兔卡”的个数( ) A.8320 B.5904 C.4096 D.2000 解析:由间接法可得 10 4 ? 84 = (102 ? 82 )(102 + 82 ) = 36 × 164 = 5904 .故选 B. 7.同时抛掷 4 枚均匀硬币 80 次,设 4 枚硬币正好出现 2 次正面向上,2 枚反面向上的次数 为 ξ ,则 ξ 的数学期望是( A.20 B.25 ) D.40
2

C.30

解析: A={4 枚硬币正好出现 2 次正面向上, 枚反面向上}, P ( A) = C4 ( ) (1 ? ) = 设 2 则
2 2

1 2

1 2

3 8

3 3 B ( ,80) ,∴ Eξ = np = × 80 = 30 ,故选 C. 8 8 8.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率为 c , 2 1 ( a , b , c ∈ (0,1) ),己知他投篮一次得分的期望为 2,则 + 的最小值为( ) a 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3 3a 2 1 2 1 3a 10 解析:由题知 EX = 3a +2b + 0 ? c = 2 ,即 + b = 1 ,∴ + = ( + )( + b) = + 2 a 3b a 3b 2 3 2b a 10 16 + = + 2 = ,故选 D. a 2b 3 3
,∴分布列为 ξ 9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (4) = 1, f '( x ) 为 f ( x ) 的导函数,已知 y = f '( x) 的图 象如图所示,若两个正 a, b 满足 f (2a + b) < 1 ,则

b +1 的取值范是( a +1



A. ( , )

1 1 5 3

B. ( , 5)

1 3

C. (?∞, ) ∪ (5, +∞)

1 3

D. (?∞,3)

解析:由题知 x ∈ (0, +∞ ) 时,恒有 f '( x ) > 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为递增函数,又∵

?0 < 2a + b < 4 b +1 f (4) = 1 且 f (2a + b) < 1 , ? ∴ , 则可行域为如图所示, k PB < 则 < k PA , a +1 ? a, b > 0


b +1 1 ∈ ( , 5) ,故选 B. a +1 3

10. a1 , a2 ,L , an 是 1, 2,L , n 的一个排列, 设 把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数为 a( i =1 i ,2,…,n 的顺序数,如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1, 3 的顺序数为 0, 则在 1 至 8 这 8 个数的排列中,8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排 列的种数为( ) A.48 B.120 C.144 D.192 解析:由题知 8,7,5 的排列顺序确定,且 8 前必排 2 数,8 与 7 之间必排 1 数,当 6 排 5 前 时,排法种数有 N1 = C4 A4 = 96 ,当 6 不排 5 前时,排法种数有 N 2 = C4 A3 A2 = 48 ,即
3 4 3 3 2

共有排法种数为 N = N1 + N 2 = 96 + 48 = 144 故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题.满分 25 分) 11.己知 f ( x ) = 2 x +

1 + ln x ,则 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值为 . x 1 1 1 1 解析:由题知 x ∈ (0, +∞ ) 且 f '( x ) = 2 ? 2 + ,令 f '( x ) = 0 ,解得 x = ,当 x > 时, x x 2 2 9 恒有 f '( x ) > 0 ,∴ f ( x ) 在区间 [1, 2] 上单调递增,∴ f ( x ) max = f (2) = + ln 2 . 2 9 答案: + ln 2 2
12. (1 ? x 3 )(1 + x )10 的展开式中, x 项的系数是
5

.(用数字作答)

解析: 答案:207 13.设 A, B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 事件 B 发生的概率为 解析:

3 ,在事件 A 发生的条件下, 10
.

1 ,则事件 A 发生的概率为 2

答案:

3 5


14.如图所示的长方体区域内任取一点 M,则点 M 取自阴影部分的概率为

解析: 答案:

1 3

15. (本题共两小题,选做其中一小题;如两题均做,则按第(1)小题计分)

1 ? ?x = 2 + 2 t ? (1)线直 ? (t 为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 = 1 截得的弦长为 ?y = 3 t ? ? 2
解析: 答案: 2 10

.

( 2 ) 己 知 f ( x ) = 3 x + 1( x ∈ R ) , 当 | x ? 1|< b 有 | f ( x ) ? 4 |< a ( a, b ∈ R + ) , 则 a, b 满 足 解析: 答案: .

a ≥ b > 0. 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,需要写出解答过程或证明步骤) 16. (本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进 行了调查,统计数据如下表所示:

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是

请完成上面的 2 × 2 列联表; (2)在(1)的条件下,结合右表相关说明,试运用独立性检验的思想方法分析:在错误率 不超过 0.1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关?并说明理 由. (其中 χ =
2

12 , 25

n(ad ? bc) 2 ) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

解析: (1)如果随机抽查这个班的一名学生,抽到积极参加班级工作的学生的概率是

12 , 25

所以积极参加班级工作的学生有 24 人,以此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作 的人数为 6, 不太主动参加班级共工作的人数为 26, 学习积极性高但不太主动参加班级工作 得人数为 7,学习积极性高的人数为 25,学习积极性一般的人数为 25,得到表格如下:

50(18 ×19 ? 6 × 7) 2 (2) χ = ≈ 11.538 ,∵11.538>10.828,∴有 99.9%的把握认为 25 × 25 × 24 × 26
2

学习积极性与对待班级工作的态度有关系. 17. (本小题满分 12 分)己知 ( 2 x ?

1 n ) 展开式中前三项的二项式系数和等于 37. 2y

(1)求 n 的值; (2)求展开式中所有有理数系数项的系数和. 解: (1)由题意可得 1+Cn + Cn = 37 ,即 1 + n +
1 2

n(n ? 1) = 37 ,解得 n = 8 ; 2

(2)设 ( 2 x ?

1 8 ) 展开式的通项为 Tr +1 (r = 0,1, 2,L ,8) , 2y
8? r

由 Tr +1 = C8 ? ( 2 x)
r

(?

1 r 1 8 ) = (?1) r C8r 24 ? r x8? r y ? r ,可知 ( 2 x ? ) 开展式中各项 2y 2y

均为有理数系数项,故令 x = 1, y = 1 可得系数和为

1 . 16

18. (本小题满分 12 分)某班级在联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有 3 个红 球和 6 个白球,这些球除颜色外完全相同,有两个备选的中奖方案: 方案一:从袋中任意摸出 1 个球,记下颜色后放回,连续摸三次,至少摸到 2 个红球视为中 奖; 方案二:一次从袋中摸出 3 个球,至少摸到 2 个红球视为中奖.

你认为哪个方案的中奖率更高一些? 解:设方案一,方案二中奖的概率分别为 P , P2 , 1 从袋中任意摸出 1 个球,为红球的概率为

3 1 = 9 3

19. (本小题满分 12 分)如图,把边长为 a 的正六边形纸板剪去相同的六个角,做成一个底 面为正六边形的无盖六棱柱盒子,设其高为 h ,体积为 V (不计接缝). (1)求体积 V 与高 h 的函数关系式,并指出其定义域; (2)问当

a 为多少时,体积 V 最大?最大值是多少? h

20. (本小题满分 13 分)已知 S n = 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 + ? +L + ? , Tn = + + 2 3 4 2 n ? 1 2n n +1 n + 2

1 1 +L + ( n ∈ N ? ) n+3 2n
(1)求 S1 , S2 及 T1 , T2 (2)猜想 Sn 与 Tn 的关系,并用数学归纳法证明. 解:

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = ln( + (1)若 x =

1 2

1 ax) + x 2 ? ax .( a 为常数, a > 0 ) 2

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (2)求证:当 0 < a ≤ 2 时, f ( x ) 在 [ , +∞ ) 上是增函数; 2
(3)若对任意的 a ∈ (1, 2) 时,总存在 x0 ∈ ? ,1? ,使不等式 f ( x0 ) > m(1 ? a ) 成立,求实
2

?1 ? ?2 ?

数 m 的取值范围. 解:


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