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题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型7 探究特殊三角形的存在性问题试题


拓展类型 7 探究特殊三角形的存在性问题 2 1.(2016·河池)在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x -2x+3 与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧),与 y 轴交于 点 C,顶点为 D. (1)请直接写出点 A,C,D 的坐标; (2)如图 1,在 x 轴上有一点 E,使得△CDE 的周长最小,求点 E 的坐标; (3) 如图 2,F 为直线 AC 上的动点,在抛物线上是否存 在点 P,使得△AFP 为等腰直角三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)当 x=0 时,y=3,∴C(0,3). 2 当 y=0 时 ,-x -2x+3=0,∴x1=1,x2=-3,又 A 在 B 的左边,∴A(-3,0),B(1,0). 2 ∵y=-x -2x+3. 2 ∴y=-(x+1) +4. ∴D(-1,4). (2)如图,作 C(0,3)关于 x 轴的对称点 C′(0,- 3),连接 DC′与 x 轴的交点即为所 求点 E,此时△DCE 周长最小. 设 DC′的解析式为 y=kx+b. ?-k+b=4, ?k=-7, ? ? 将 D(-1,4),C′(0,-3)代入 y= kx+b 中,得? 解得? ∴y=-7x-3. ? ? ?b=-3, ?b=-3. 3 3 令 y=0,则-7x-3=0.∴x=- .∴E(- ,0). 7 7 (3)∵A( -3.0),C(0,3), ∴∠CAB=45°. ①以 A 为等腰直角三角形的顶点,则过 A 作 AP⊥AC 交抛物线于点 P,过 P 作 PF⊥x 轴交直线 AC 于点 F,则 △APF 为等腰直角三角形,可求得 P(2,-5). ②若以 F 为直角顶点,则∠FAP=45°. 又∠FAO=45°,∴P 在抛物线与 x 轴交点处. ∴P 可取(1,0). ③若以 P 为直角顶点,则∠FAP=45°. 又∵∠FAO=4 5°,∴P 在抛物线与 x 轴交点处. ∴P 可取(1, 0). ∴P(1,0)或(2,-5). 2 2.(2016·漳州)如图,抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B(3,0),与 y 轴交于点 C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方上的动点,过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N,求线段 MN 的最大值; (3)在(2)的条件下,当 MN 取最大值时,在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P,使△PBN 是等腰三角形?若存在,请 直接写出所有点 P 的 坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)点 B(3,0),C(0,3)在抛物线 y=x +bx+c 上, ?9+3b+c=0, ? ?b=-4, ? ∴? ∴? ? ? ?c=3. ?c=3. 2 ∴抛物线的解析式为 y=x -4x+3. 2 (2)令 x -4x+3=0,则 x1=1,x2=3.∴A(1,0). 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b. ∵点 B(3,0),C(0,3)在直线 BC 上, ? ?3k+b=0, ? ?k=-1, ∴? ∴? ?b=3. ?b=3. ? ? 2 ∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3. 2 设 N(x,-x+3),则 M(x,x -4x+3)(1<x<3). ∴MN=yN-yM 2 =(-x+3)-(x -4x+3) 2 =-x +3x 3 2 9 =-(x- ) + . 2 4 3 9 ∴当 x= 时,MN 的最大值为 . 2 4 (3)存在,所有点 P 的坐标

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