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高中数学必修5新教学案:3.1不等关系与不等式(1)


必修 5

3.1 不等关系与不等式(学案)
(第 1 课时)

【知识要点】 1.不等关系与不等式; 2.用不等式表示实际问题中的不等关系. 【学习要求】 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 72 页~第 73 页性质 1 前的内容) 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系? 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢? 3.不等式的定义. 用不等号 表示不等关系的式子叫不等式. 4.不等式 a ? b 的含义. 5.能否正确对“问题 2”和“问题 3”列式. 6.实数比较大小的依据与方法. (1)如果 a ? b 是正数,那么 ;如果 a ? b 等于零,那么 ;如果 a ? b 是负 数,那么 .反之也成立,就是 . (2)比较两个实数 a 与 b 的大小,需归结为判断它们的差 的符号,至于差的值 是什么,无关紧要. 【基础练习】 1.用不等式表示下面的不等关系: (1) a 与 b 的和是非负数; (2)某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高 4m” ; 2.有一个两位数大于 50 而小于 60, 其个位数字比十位数字大 2.试用不等式表示上述关 系(用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字). 3.2003 年 10 月 15 日 9 时,我国“神州五号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功, 实现了中华民族千年的飞天梦想,这是自 1970 年 4 月 4 日成功发射“东方红一号”人造卫 星以来,我国航天史上又一座新的里程碑,我国已成为继俄、美之后,世界上第三个掌握载 人航天技术、成功发射载人飞船的国家. “东方红一号”与“神舟五号”部分参数的对比见下表.请把表格补充完整. 近地点 s ˊ/km 远地点 s /km
1

绕地球一周 t /min

质量 m/kg

“东方红一号” a ) ( “神舟五号” b ) (

439 200
ˊ ˊ

2384 350

114 90

173 7790

s a> s b a 与 b 进行比较 4.比较( a +3) a -5)与( a +2) a -4)的大小. ( (
【典型例题】 例 1 如图, y ? f ( x) 反映了某公司产品的销售收入 y 万元与销售量 x 吨的函数关系,

y ? g ( x) 反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.
试问: (1)当销售量为多少时,该公司盈利(收入大于成本) ; (2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).

例 2 比较 x ? 3 与 3x 的大小,其中 x?R.
2

例 3 建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面 积与地板面积的比值应不小于 10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增 加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.

变式: b 克糖水中有 a 克糖( b ? a ? 0 ) ,若在添上 m 克糖 ? m ? 0? ,问:糖水是否 变甜了. 请依据此事实,提炼一个不等式.

2

1.小明带了 20 元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本 2 元,钢笔每枝 5 元.设 他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为 x , y ,则 x , y 应满足关系式 . 2.205 国道临沂段有限速 60km/h 的路标, 指示司机在此路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 60km/h,写成不等式为 . 3.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯 口半径相等的圆口酒杯, 如图所示.盛满酒后他们约定: 先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的 高度从左到右依次为 h1 , h2 , h3 , h4 ,则它们的大小关系正确的是( ).

(A) h2 > h1 > h4

(B) h1 > h2 > h3

(C) h3 > h2 > h4

(D) h2 > h4 > h1

4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时段, 单位时间进出路口 A, B, C 的机动车辆数如图所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段 ? , BC, CA 的机 AB ? ? 动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等) ,则 20,30;35,30;55,50 (A) x1 ? x2 ? x3 (B) x1 > x3 > x2 (C) x2 ? x3 ? x1 (C) x2 ? x3 ? x1

5.一个盒中红、白、黑三种球分别有 x 个、 y 个、 z 个,黑球个数至少是白球个数的一 半,至多是红球的

示出来( x, y, z ? N ).
*

1 ,白球与黑球的个数之和至少为 55,使用不等式将题中的不等关系表 3

6.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2) 是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母 a 、 b 的不等式表示出来.

3

7.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为 9 g 、4 g 、3 g ,乙种饮 料用用奶粉、 咖啡、 糖分别为 4 g 、 g 、 g , 5 5 已知每天使用原料为奶粉 3600 g 、 咖啡 2000 g 、 糖 3000 g .写出满足上述所有不等关系的不等式. 8.比较 ? x ? 1?? x ? 5? 与 ? x ? 3?
2

4 2 2 9. 已知 x ? 0 ,比较 x ? 1 与 x ? x ? 1的大小.

?

?

2

10.已知 x >1,比较 x ? 6 x 与 x ? 6 的大小.
3

2

1.某厂使用两种零件 A 、B , 装配两种产品甲、 该厂的生产能力是月产甲最多 2500 乙, 件,月产乙最多 1200 件,而组装一件甲需要 4 个 A 、2 个 B ;组装一件乙需要 6 个 A 、8 个 B .某个月,该厂能用的 A 最多有 14000 个, B 最多有 12000 个.用不等式将甲、乙两种 产品产量的关系表示出来.

4

必修 5

3.1 不等关系与不等式(教案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 【重点】 :用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等 关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 【难点】 :使用不等式(组)正确表示出不等关系.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 72 页~第 73 页性质 1 前的内容) 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系? (大于、等于、小于) 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 3.不等式的定义. 用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 4.不等式 a ? b 的含义. 不等式 a ? b 应读作“ a 大于或者等于 b ” ,其含义是指“或者 a > b ,或者 a = b ” ,等 价于“ a 不小于 b ,即若 a > b 或 a = b 之中有一个正确,则 a ? b 正确. 5.能否正确对“问题 2”和“问题 3”列式.(见课本) 6.实数比较大小的依据与方法. (1)如果 a ? b 是正数,那么 a ? b ;如果 a ? b 等于零,那么 a ? b ;如果 a ? b 是负 数 , 那 么 a ? b . 反 之 也 成 立 , 就 是 . ( a ? b >0 ? a > b ; a ? b =0 ? a = b ;

a ? b <0 ? a < b ).
(2)比较两个实数 a 与 b 的大小,需归结为判断它们的差 a ? b 的符号,至于差的值是 什么,无关紧要. 【基础练习】 1.用不等式表示下面的不等关系: (1) a 与 b 的和是非负数; (2)某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高 4m” ; a ?b ? 0; h ? 4. 解: (1) (2) 2.有一个两位数大于 50 而小于 60, 其个位数字比十位数字大 2.试用不等式表示上述关 系(用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字). 解:由题意知 ?

?50 ? 10a ? b ? 60, ?50 ? 10a ? b ? 60, ?? ? 50 ? 11a ? 2 ? 60 ?b ? a ? 2, ?b ? a ? 2,
5

? 48 ? 11a ? 58 ? 4

4 3 ?a?5 . 11 11

3.2003 年 10 月 15 日 9 时,我国“神州五号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功, 实现了中华民族千年的飞天梦想,这是自 1970 年 4 月 4 日成功发射“东方红一号”人造卫 星以来,我国航天史上又一座新的里程碑,我国已成为继俄、美之后,世界上第三个掌握载 人航天技术、成功发射载人飞船的国家. “东方红一号”与“神舟五号”部分参数的对比见下表.请把表格补充完整. 近地点 s ˊ/km “东方红一号” a ) ( “神舟五号” b ) ( 439 200 远地点 s /km 2384 350
ˊ b

绕地球一周 t /min 114 90

质量 m /kg 173 7790

a 与 b 进行比较

s >s

ˊ a

sa ? sb

ta ? tb

ma ? mb

4.比较( a +3) a -5)与( a +2) a -4)的大小. ( (
2 2 解: a +3) a -5)-( a +2) a -4)=( a ? 2a ? 15) a ? 2a ? 6 =-7<0, ( ( ( -

?

?

∴( a +3) a -5)<( a +2) a -4). ( ( 【典型例题】

y 例 1 如图, ? f ( x) 反映了某公司产品的销售收入 y 万元与销售量 x 吨的函数关系, y ? g ( x) 反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.
试问: (1)当销售量为多少时,该公司盈利(收入大于成本) ; (2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).

【审题要津】公司的盈亏问题,实质是销售收入与销售成本的问题,找出销售量为多少 时,该公司的销售收入与销售成本相等.依据图象容易得到. 解: (1)当销售量大于 a 吨时,即 x ? a 时,公司盈利,即 f ? x ? ? g ? x ? ; (2)当销售量小于 a 吨时,即 0 ? x ? a ,公司亏损,即 f ? x ? ? g ? x ? . 【方法总结】正确理解图象所表达的意思是解决该问题的关键. 例 2 比较 x ? 3 与 3x 的大小,其中 x?R.
2

【审题要津】比较 x ? 3 与 3x 的大小,只要作差后判出差的符号即可.
2

6

2 2 2 ? 2 3? 3 3 ?3? ? ?3? ? 解:? ? x ? 3? ? 3x ? x ? 3x ? 3 ? ? x ? 3x ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? x ? ? ? ? 2? 4 4 ?2? ? ?2? ? ? ? ? 2 2

? 0 ,? x2 ? 3 ? 3x .
【方法总结】两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是: 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将差化积;第 三步:定号.最后得出结论. 例 3 建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面 积与地板面积的比值应不小于 10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增 加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.

b 根据问题要求. a ? b 且 【审题要津】 可先设住宅窗户、 地板面积分别为 a 、 ,
然后同时增加的面积为 m , 得到 a ? m ? b ? m , 用比较法判断

a?m a 与 的大小即可. b?m b 解:设住宅窗户、地板面积分别为 a 、 b ,同时增加的面积为 m ,根据问题要求 a ? b


a ? 10 %, b

a a?m a a a ? m a m ?b ? a ? ? 10 %,由于 ? , 又 ? 10%, ? ? ? 0, 于是 b b?m b b b ? m b b ?b ? m?
因此

a?m a ? ? 10%,所以同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变 b?m b

好了. 【方法总结】解决实际问题的关键,首先要把文字语言转化成数学语言,即将不等关系 写成不等式的形式,然后在比较大小. 变式: b 克糖水中有 a 克糖( b ? a ? 0 ) ,若在添上 m 克糖 ? m ? 0? ,问:糖水是否变 甜了. 请依据此事实,提炼一个不等式. 解:糖水是变甜了. 若 b ? a ? 0 , m ? 0 ,则

a?m a ? . b?m b

1.小明带了 20 元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本 2 元,钢笔每枝 5 元.设

?2 x ? 5 y ? 20, ? 他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为 x , y ,则 x , y 应满足关系式 ? x ? N , ? y ? N. ?
2.205 国道临沂段有限速 60km/h 的路标, 指示司机在此路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 60km/h,写成不等式为 .( v ? 60 km/h) 3.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯 口半径相等的圆口酒杯, 如图所示.盛满酒后他们约定: 先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的

7

高度从左到右依次为 h1 , h2 , h3 , h4 ,则它们的大小关系正确的是( A ).

(A) h2 > h1 > h4

(B) h1 > h2 > h3

(C) h3 > h2 > h4

(D) h2 > h4 > h1

4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时段, 单位时间进出路口 A, B, C 的机动车辆数如图所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段 ? , BC, CA 的机 AB ? ? 动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等) ,则 ( C ) (A) x1 ? x2 ? x3 (B) x1 > x3 > x2 (C) x2 ? x3 ? x1 (C) x2 ? x3 ? x1

解:由已知图形知: x1 ? 50 ? x3 ? 55, x2 ? x1 ? 20 ? 30. 3 ? x2 ? 35? 30 ,由此得: x

x2 ? x3 ? 5, x1 ? x3 ? 5, 故x1 ? x2 ? x3 .
5.一个盒中红、白、黑三种球分别有 x 个、 y 个、 z 个,黑球个数至少是白球个数的一 半,至多是红球的

示出来( x, y, z ? N ).
*

1 ,白球与黑球的个数之和至少为 55,使用不等式将题中的不等关系表 3

y ?x ? ?z? , 解: ? 3 2 ? y ? z ? 55. ?
6.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2) 是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母 a 、 b 的不等式表示出来.

8

解:

1 2 1 2 a ? b ? ab . 2 2

7.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为 9 g 、4 g 、3 g ,乙种饮 料用用奶粉、 咖啡、 糖分别为 4 g 、 g 、 g , 5 5 已知每天使用原料为奶粉 3600 g 、 咖啡 2000 g 、 糖 3000 g .写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设配制甲种饮料 xg ,配制乙种饮料 yg .

?9 x ? 4 y ? 3600, ?4 x ? 5 y ? 2000, ? ? 则 ?3 x ? 5 y ? 3000, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?
8.比较 ? x ? 1?? x ? 5? 与 ? x ? 3? .
2 2 2 解: ? x ? 1?? x ? 5? - ? x ? 3? = x ? 6 x ? 5 ? x ? 6 x ? 9 ? ?4 ? 0 . 2

?

? ?

?

∴ ? x ? 1?? x ? 5? ? ? x ? 3? .
2

4 2 2 9. 已知 x ? 0 ,比较 x ? 1 与 x ? x ? 1的大小.

?

?

2

2 2 解: x ? 1 -( x ? x ? 1)= x ,? x ? 0,? x ? 0 .
2
4 2

?

?

2

∴ x ?1
2

?

?

2

? x 4 ? x 2 ? 1.
3

10.已知 x >1,比较 x ? 6 x 与 x ? 6 的大小.
2
2 3 2 3 2 2 解: x ? 6 x -( x ? 6 )= x ? x ? 6x ? 6 ? x ? x ?1? ? 6 ? x ?1? = ? x ? 1? x ? 6 ,

?

?

? x ? 1,? ? x ? 1? ? x 2 ? 6 ? ? 0,? x 3 ? 6 x ? x 2 ? 6 .

1.某厂使用两种零件 A 、B , 装配两种产品甲、 该厂的生产能力是月产甲最多 2500 乙, 件,月产乙最多 1200 件,而组装一件甲需要 4 个 A 、2 个 B ;组装一件乙需要 6 个 A 、8

9

个 B .某个月,该厂能用的 A 最多有 14000 个, B 最多有 12000 个.用不等式将甲、乙两种 产品产量的关系表示出来. 解:设甲、乙两种产品产量分别为 x 、 y 件,则

?0 ? x ? 2500, ?0 ? y ? 1200, ? ? ?4 x ? 6 y ? 14000, ?2 x ? 8 y ? 12000, ?

?0 ? x ? 2500, ?0 ? y ? 1200, ? 即? ?2 x ? 3 y ? 7000, ? x ? 4 y ? 6000. ?

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