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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练11(含解析)北师大版必修5


双基限时练(十一)
一、选择题 1.某工厂的生产总值月平均增长率为 p,则年平均增长率为( A.12p C.(1+p) 解析
12

)

B.p D.(1+p) -1
12 12

设该厂去年年产值为 a ,则今年年产值为 a(1 + p) ,故年平均增长率为

a?1+p?12-a 12 =(1+p) -1. a
答案 D
?1? 2.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?

5 项和为( A. C. 15 或5 8 31 16

) B. D. 31 或5 16 15 8

解析 ∵9S3=S6,显然 q≠1, 9a1?1-q ? a1?1-q ? 3 ∴ = ? 1+q =9? q=2. 1-q 1-q
?1? 1 ? ∴? ?是首项为 1,公比为 的等比数列,前 5 项和 T5= 2 ?an?
3 6

?1- 15? ? 2? ? 31
1 1- 2

= . 16

答案 C 3. 某村办企业在 2008 年中, 前三季度的赢利成等差数列, 后三季度的赢利成等比数列, 已知二、三季度共赢利 4 万元,全年共赢利 12 万元,则该企业第四季度赢利为( A.7 万元 C.9 万元 解析 B.8 万元 D.10 万元 ?a+d?
2

)

设这四季度的赢利分别为 a-d,a,a+d,

a

,由题意得

2a+d=4, ? ? 2 ? ?a+d? 3 a + =12, ? a ? ∴ ?a+d?
2

得?

?a=1, ? ?d=2. ?

a

=9.

答案 C 4.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂.第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙伴;第 2 天,6 只蜜蜂飞
1

出去, 各自找回了 5 个伙伴??如果这个找伙伴的过程继续下去, 第 6 天所有的蜜蜂都归巢 后,蜂巢中共有蜜蜂的只数是( A.55986 C.216 ) B.46656 D.36

解析 第一天: a1=1+5=6, 第二天: a2=6+6×5=6×6, 第三天: a3=6+6×5+a2×5 =a2×6=6 ,?,第 6 天,a6=6 =46656. 答案 B 5.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为 p%、q%,则这两年的平均增长率是 ( ) A.
3 6

p%+q%
2

B.p%·q% C. ?1+p%??1+q%? D. ?1+p%??1+q%?-1 解析 设第一年的产值为 a,平均增长率为 x,则 a(1+p%)(1+q%)=a(1+x) , ∴x= ?1+p%??1+q%?-1. 答案 D 6.如果一对兔子每月能生产一对(一雌一雄)小兔子,而每一对小兔子在它出生的第三 个月里,又能生产一对小兔子.假定在不发生死亡的情况下,由一对初生的小兔子从第一个 月开始,如果用 a1 表示初生小兔子的对数,an 表示第 n 个月的兔子总对数,那么 a5 的值为 ( ) A.3 C.6 解析 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5. 答案 B 二、填空题 7. 在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3,4,?堆最底层(第一层) 分别按下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3)=________;f(5)= ________. B.5 D.8
2

2

解析 f(3)=1+3+6=10,

f(5)=1+3+6+10+15=35.
答案 10 35 8. 某企业 2009 年 12 月份产值是这年 1 月份产值的 p 倍, 则该企业 2009 年度的产值月 平均增长率为________. 解析 设月平均增长率为 r,由 a(1+r) =pa,得 r= 答案 11
11

11

p-1.

p-1

9.某林场年初有森林、木材存量 S 立方米,木材以 25%的增长率生长,而每年末要砍 伐固定的木材量 x 立方米,为实现两年砍伐后的木材存量增加 50%,则 x=________. 解析 第一次砍伐木材后的存量为 S(1+25%)-x,第二次砍伐后的木材存量为[S(1+

S ?5?2 5 25%)-x](1+25%)-x,由题意得? ? S- x-x=S(1+50%),得 x= . 4 36 ?4?
答案

S
36

三、解答题 10.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 2 kB,然后每 3 分钟自身复制一 次,复制所占内存是原来的 2 倍,则经过多少分钟,该病毒将占据内存 64 MB(1 MB=2 kB)? 解 由题知这是一个首项为 2,公比为 2 的等比数列;设为{an}(an 为第 n-1 次复制后
10

占据的内存大小), ∴an=2 .由 an=64×2 得 n=16. 因此复制了 15 次,所需时间为 45 分钟. ∴经过 45 分钟,该病毒占据内存 64 MB. 11.一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层都比下面一层多放 1 支,最上面一层放了 120 支,求这个 V 形架上共放了多少支铅笔?
n
10

3



由题可知,该 V 形架中每层所放的铅笔数由下向上依次成等差数列,其中 a1=1,d

?a1+an?n ?1+120?×120 =1,an=120,又 an=a1+(n-1)d=n,∴n=120,∴Sn= = = 2 2 7260.∴这个 V 形架上共放了 7260 支铅笔.

12.某厂生产计算机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月 份比原计划多生产 10 台,三月份比原计划多生产 25 台,这样三个月产量成等比数列.且第 三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少 10 台.问该厂第一季度实际生产计算机多 少台? 解 根据已知,可设该厂第一季度原计划 3 个月生产计算机台数分别为 x-d,x,x+

d(d>0),则实际上 3 个月生产计算机分别为 x-d,x+10,x+d+25.
?x+10? =?x-d??x+d+25?, ? ? 由题意得? 3x x+d+25= -10, ? 2 ? 解得 x=90,d=10. 故有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台). ∴该厂第一季度实际生产计算机 305 台. 思 维 探 究 13.某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年起由于市场竞争等方面 的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整 经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 解 由题意可知,设第 1 年获利为 a1,第 n 年获利为 an,则 an-an-1=-20,(n≥2,n
2

∈N+),每年获利构成等差数列{an},且首项 a1=200,公差 d=-20,所以 an=a1+(n-1)d =200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若 an<0, 则该公司经销这一产品将亏损, 由 an=-20n +220<0,解得 n>11,即从第 12 年起,该公司经销这一产品将亏损.

4


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