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高中数学复习——直线方程


题目 第七章直线和圆的方程 直线方程 高考要求 理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线的斜率公式, 掌握 由一点和斜率导出直线方程的方法; 掌握直线方程的点斜式、 两点式和直线 方程的一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程 知识点归纳
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1 数轴上两点间距离公式: AB ? x B ? x A
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2 直角坐标平面内的两点间距离公式: P1 P2 ?
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( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

3 直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果 把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α , 那么α 就叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0° 可见,直线倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° 4 直线的斜率:倾斜角α 不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线 的斜率,常用 k 表示,即 k=tanα (α ≠90°) 倾斜角是 90°的直线没有斜率;倾斜角不是 90°的直线都有斜率, 其取值范围是(-∞,+∞) 5 直线的方向向量:设 F1(x1,y1) 2(x2,y2)是直线上不同的两点,则 、F
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向量 F1 F2 =(x2-x1,y2-y1)称为直线的方向向量 向量

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y ? y1 1 F1 F2 =(1, 2 )=(1,k)也是该直线的方向向量, x 2 ? x1 x 2 ? x1

k 是直线的斜率 特别地,垂直于 x 轴的直线的一个方向向量为 a =(0,1) 6 求直线斜率的方法 ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90°,则斜率 k=tanα ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) 、P ,且 x1≠x2,则斜
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率 k=

y 2 ? y1 x 2 ? x1

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n m 平面直角坐标系内, 每一条直线都有倾斜角, 但不是每一条直线都有斜
③方向向量法:若 a =(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率 k=
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对于直线上任意两点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) 、P ,当 x1=x2 时,直线斜率 k 不存在,倾斜角α =90°;当 x1≠x2 时,直线斜率存在,是一实数,并且 k

≥0 时,α =arctank;k<0 时,α =π +arctank 7 直线方程的五种形式
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点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) , 斜截式: y ? kx ? b 两点式:

y ? y1 x ? x1 x y ? , 截距式: ? ? 1 y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0 题型讲解 例 1 已知△ABC 的三个顶点是 A(3,-4) 、B(0,3) 、C(-6,0) , 求它的三条边所在的直线方程 分析:一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般 式等多种形式 使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解 法简便 由顶点 B 与 C 的坐标可知点 B 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,于是 BC 边所在的直线方程用截距式表示, 所在的直线方程用斜截式的形式表示, AB AC 所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化 为直线方程的一般式 解:①因△ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为(0,3)和(-6,0) , 故 B 点在 y 轴上,C 点在 x 轴上, 即直线 BC 在 x 轴上的截距为-6,在 y 轴上的截距为 3,
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利用截距式,直线 BC 的方程为
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y x + =1, ?6 3

化为一般式为 x-2y+6=0 ②由于 B 点的坐标为(0,3) ,故直线 AB 在 y 轴上的截距为 3,利用斜 截式,得直线 AB 的方程为 y=kx+3
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又由顶点 A(3,-4)在其上,所以-4=3k+3 故 k=-
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7 3

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7 x+3,化为一般式为 7x+3y-9=0 3 ③由 A(3,-4) 、C(-6,0) ,
于是直线 AB 的方程为 y=- 得直线 AC 的斜率 kAC=

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4 ?4?0 =- 3 ? ( ?6 ) 9

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利用点斜式得直线 AC 的方程为

4 (x+6) , 9 化为一般式为 4x+9y+24=0
y-0=-

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点评:本题考查了求直线方程的基本方法 例 2 已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,求 过两点 Q1(a1,b1) 2(a2,b2) 1≠a2)的直线方程 、Q (a 分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解:∵P(2,3)在已知直线上, ∴ 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0
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∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即

b1 ? b2 2 =- a1 ? a 2 3
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2 (x-a1) 3 ∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即 2x+3y+1=0 点评:此解法运用了整体代入的思想,方法巧妙 例 3 一条直线经过点 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍; (2)与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为 坐标原点) 分析: (2)将面积看作截距 a、b 的函数,求函数的最小值即可 解: (1)设所求直线倾斜角为θ ,已知直线的倾斜角为α ,则θ =2α , 1 8 且 tanα = ,tanθ =tan2α = , 4 15 从而方程为 8x-15y+6=0 y x (2)设直线方程为 + =1,a>0,b>0, a b
∴所求直线方程为 y-b1=-
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代入 P(3,2) ,得

6 3 2 + =1≥2 ,得 ab≥24, ab b a

1 ab≥12, 2 3 2 b 2 此时 = ,∴k=- =- b 3 a a ∴方程为 2x+3y-12=0 点评:此题(2)也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值 例 4 过点(2,1)作直线 l 分别交 x,y 轴正并轴于 A,B 两点 (1)当 ΔAOB 面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|?|PB|取最小值时,求直线 l 的方程
从而 S△AOB=
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解:(1)设所求的直线 l 方程为

x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

由已知

2 1 ? ?1 a b

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?2 1? ? 2 1 ?a b? 1 ? = ,∴SΔ AOB= 1 ab ?4, 于是 ? ? ? a b ? 2 ? 4 2 ? ? ? ?

2

y
B P

2 1 1 ? ? ,即 a=4,b=2 时取等号, a b 2 x y 此时直线 l 的方程为 ? ? 1 ,即 x+2y─4=0 4 2
当且仅当

o
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?

A

x

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(2)解法一:设直线 l :y─1=k(x─2),分别令 y=0,x=0,得 A(2─ 则|PA|?|PB|= (4 ? 4k )(1 ?
2

1 ,0), B(0,1─2k) k

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1 1 ) = 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ?4,当且仅当 k2=1,即 k= 2 k k

±1 时,取最小值, 又 k<0,∴k=─1, 此时直线 l 的方程为 x+y─3=0 解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2), ∴|PA|?|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ?4, ∴当且仅当 sin2θ=─1 即 θ=3π/4 时,|PA|?|PB|取最小值 4,此时直线 l 的斜率 为─1,方程为 x+y─3=0 点评:本题分别选用了截距式和点斜式,应根据条件灵活选用直线方程 的形式
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例 5 直线 l 被两条直线 l1 :4x+y+3=0 和 l 2 :3x─5─5=0 截得的线段中点为 P(─1,2),求直线 l 的方程
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解:设点(a,b)在 l1 上,依题意,(─2─a,4─b)在直线 l 2 上, ∴?

?4 a ? b ? 3 ? 0 ? a ? ?2 ,解之得: ? ?3(?2 ? a) ? 5(4 ? b) ? 5 ? 0 ?b ? 5
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由两点式得直线 AB 的方程为:3x+y+1=0 例 6 已知两点 A(-1,2) 、B(m,3) (1)求直线 AB 的斜率 k 与倾斜角α ; (2)求直线 AB 的方程;
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(3)已知实数 m∈[-

3 -1, 3 -1] ,求直线 AB 的倾斜角α 的 3

取值范围. 解: (1)当 m=-1 时,直线 AB 的斜率不存在,倾斜角α = 当 m≠-1 时,k=

π . 2

1 , m ?1

1 , m ?1 1 当 m<-1 时,α =π +arctan . m ?1 (2)当 m=-1 时,AB:x=-1, 1 当 m≠1 时,AB:y-2= (x+1) . m ?1 π (3)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,
当 m>-1 时,α =arctan

3 1 ∈(-∞,- 3 ]∪[ ,+∞) , 3 m ?1 π π π 2π ∴α ∈[ , )∪( , ] 3 6 2 2 π 2π 故综合①、②得,直线 AB 的倾斜角α ∈[ , ] 3 6 例 7 求满足下列条件的直线 l 的方程 ⑴在 y 轴上的截距为 ?3 ,且它与两坐标轴围成的三角形面积为 6
∵k=
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⑵与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的夹角为 45 ,且焦点在 x 轴上
0

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1 x y ? ? 1 ,由题意得 ? a ? ?3 ? 6 ,? a ? ?4 2 a ?3 x y 当 a ? 4 时,直线 l 的方程为 ? ? 1 即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4 ?3 x y 当 a ? ?4 时,直线 l 的方程为 ? ? 1 即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ?4 ?3
解:⑴设直线的方程为
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⑵ 直 线 2 x ? y ? 4 ? 0交 x 轴 于 点 ( ?2, 0 ) 可 设 l 的 方 程 为 ,

y ? k( x? 2 ) 由 两 直 线 夹 角 公 式 有 t a n 405?
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2?k 1 , ?k ? 1 ? 2k 3



k ? ?3

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1 ? l 的方程为 y ? ( x ? 2) 或 y ? ?3( x ? 2) , 3


x ? 3 y ? 2 ? 0 或 3x ? y ? 6 ? 0

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点评:求直线方程时,可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式,再 根据题中其他条件确定方程中的待定系数 小结: 1 直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的 基本量,应正确理解;直线方程有五种形式,其中点斜式要熟练掌握,这五 种形式的方程表示的直线各有适用范围, 解题时应注意不要丢解; 含参数的 直线方程问题用数形结合法常常简捷些 2 注意斜率和倾斜角的区别 3 直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊 形式,其中点斜式是最基本的,其他形式的方程皆可由它推导 直线方程的 特殊形式都具有明显的几何意义, 但又都有一些特定的限制条件, 因此应用 时要注意它们各自适用的范围,以避免漏解 4 如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程通用的解决方法 是待定系数法; 根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键; 克 服各类方程局限性的手段是分类讨论; 开阔思路分析问题的措施是数形结合
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π +y=0 的倾斜角是 7 π π 5π 6π A- B C D 7 7 7 7 π π 6π 6π 解析:k=-tan =tan(π - )=tan 且 ∈[0,π ) 7 7 7 7 答案:D 2 过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距是 3 2 2 A- B- C D2 2 3 5 解析:求出过(-1,1)(3,9)两点的直线方程,令 y=0 即得 、 答案:A
1 直线 xtan
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3 直线 xcosα + 3 y+2=0 的倾斜角范围是
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A[
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π π π 5π π 5π , )∪( , ] B [0, ]∪[ ,π ) 6 2 2 6 6 6
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5π π 5π ] D[ , ] 6 6 6 解析:设直线的倾斜角为θ ,
C [0,
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则 tanθ =-

1 3

cosα 又-1≤cosα ≤1,
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3 3 π 5π ≤tanθ ≤ ∴θ ∈[0, ]∪[ ,π ) 3 3 6 6 答案:B
∴-
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4 直线 y=1 与直线 y= 3 x+3 的夹角为___________
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解法一:l1:y=1 与 l2:y= 3 x+3 的斜率分别为 k1=0,k2= 3 由两直线的夹
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角公式得

tanα =|

k 2 ? k1 |= 3 ,所以两直线的夹角为 60° 1 ? k1 k 2

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解法二:l1 与 l2 表示的图象为 y=1 与 x 轴平行,y= 3 x+3 与 x 轴倾斜角为 60°,所以 y=1 与 y= 3 x+3 的夹角为 60°
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答案:60° 5 下列四个命题:①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x -x0)表示;②经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) 2(x2,y2)的直线都可 、P 以用方程(x2-x1) (x-x1)=(y2-y1) (y-y1)表示;③不经过原点的直线
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x y + =1 表示;④经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 a b y=kx+b 表示 其中真命题的个数是 A0 B1 C2 D3 解析:对命题①④,方程不能表示倾斜角是 90°的直线,对命题③,当直 线平行于一条坐标轴时, 则直线在该坐标轴上截距不存在, 故不能用截距式 表示直线 只有②正确 答案:B 6.过点(10,─4)且倾角的正弦为 5/13 的直线方程是 (5x─12y─98=0 或 5x+12y─2=0);注意两种情况 7.过点(1,2)且与圆 x2+y2=1 相切的直线方程为 (x=1 或 3x─4y+5=0);注意点斜式的使用范围 8.若直线(m2─1)x─y─2m+1=0 不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是 (1/2?m?1);从直线的斜率或截距去观察
都可以用方程
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9.过点 A(2,1),且在 x,y 轴上截距相等的直线方程是 (x+y=3 或 y=x/2) 强调:截距式的使用范围 10.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿个单位,再沿 y 轴正方向 平移 1 个单位后,又回到原来的位置,那么直线 l 的斜率是 ( ─1/3) 解:由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点 O(0,0)在直线上,则依题 意 O 点经平移后的坐标为 P(─3,1), 故直线 l 过两点 P,O,求出斜率即可 课前后备注
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