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2013年全国高考理科数学试题及答案(word解析版)-陕西卷


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题,第二部分为非选择题.。 2. 考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷 类型信息.。 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 f (x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M, 则 CR M 为 (A) [-1,1] (C) (??, ?1] ? [1, ??) 【答案】D
M 【解析】?1 - x 2 ? 0,? ?1 ? x ? 1.即M ? [?1,1], CR ? (??,?1) ? (1, ?) ,所以选 D

(B) (-1,1) (D) (??, ?1) ? (1, ??)

2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C 【解析】? x ? 60,? y ? 25 ? 0.6 ? ( x ? 50) ? 31,所以选 C
b 3. 设 a, b 为向量, 则“ | a· |?| a || b | ”是“a//b”的

输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y

(A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件 【答案】C 【解析】 a ? b ?| a | ? | b | ?cos?。

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

若 | a ? b |?| a | ? | b |? cos? ? ?1 , 则向量a与b 的夹角为 或?,即a// b 为真; 0 相反,若 a // b ,则向量a与b 的夹角为 或?,即| a ? b |?| a | ? | b | 。 0
b 所以“ | a· |?| a || b | ”是“a//b”的充分必要条件。

另:当向量a或b 为零向量时,上述结论也成立。所以选 C
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4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B 【解析】使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人。,所以从编号 1~480 的人中,恰好抽取 24 人,接着从编号 481~720 共 240 人中抽取 12 人。故选 B 5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选 一地点, 则该地点无信号的概率是 .

D

F

C

(A) 1 ?

?
4

(B)

?
2

?1

(C) 2 ? 【答案】A

?
2

? (D) 4

1 E A 2 B

1 ? ? ? 12 扇形ADE的面积 ? 扇形CBF的面积 2 ? 【解析】该地点信号的概率= ? ? 矩形ABCD的面积 2 4
所以该地点无信号的概率是 1 ? 。选 A . 4 6. 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2 (C) 若 | z 1 |?| z 2 | , 则 z1·1 ? z2 ·2 z z 【答案】D 【解析】 对(A) ,若 | z1 ? z2 |? 0 ,则 z 1 ?z 2 ? 0 ,所以 z1 ? z2 为真。 对(B) ,若 z1 ? z2 ,则 z 1 和z 2 互为共轭复数,所以 z1 ? z2 为真。 对(C) ,设 z 1 ? a1 ? b1i, z 2 ? a2 ? b2 i, 若 | z 1 |?| z 2 | ,则 a1 ? b1 ?
2 2

?

(B) 若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 (D) 若 | z1 |?| z2 | , 则 z12 ? z2 2

a 2 ? b2 ,
2 2

z z z1?z1 ? a1 ? b1 , z 2 ?z 2 ? a2 ? b2 ,所以 z1·1 ? z2 ·2 为真
2 2 2 2

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2 2

对(D) ,若 z 1 ? 1, z 2 ? i, 则 | z1 |?| z2 | 为真,而 z1 ? 1, z 2 ? ?1,所以 z12 ? z2 2 为假 选D 7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 【答案】B (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

【解析】因为 b cos C ? c cos B ? a sin A ,所以 sin B cos C ? sin C cos B ? sin A sin A 又 sin B cosC ? sin C cos B ? sin(B ? C ) ? sin A 。联立两式得 sin A ? sin A sin A 。 所以 sin A ? 1, A ?

?
2

。选 B

6 ?? 1? ?? x ? ? , x ? 0, 8. 设函数 f ( x) ? ?? , 则当 x>0 时, f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数项为 x? ? x ? 0. ? ? x,

(A) -20 【答案】A

(B) 20

(C) -15

(D) 15

( 【解析】当 x ? 0时,f [ f ( x)] ? 1 x

x?

1 x

6 )? (

1 x

6 - x)的展开式中,常数项为

3 C6 (

) 3 (- x ) 3 ? ?20 。所以选 A

9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部分), 则 其边长 x(单位 m)的取值范围是 (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 【答案】C 【解析】设矩形高为 y, 由三角形相似得:

x

40m

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40,xy ? 300 , 利用线性规划知 40 40
识解得 x ? [10,30] ,选 C 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (B) [2x] = 2[x] (C) [x+y]≤[x]+[y] (D) [x-y]≤[x]-[y] 【答案】D 【解析】代值法。

40m

对 A, 设 x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以 A 选项为假。 对 B, 设 x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以 B 选项为假。
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对 C, 设 x = y = 1.8, 对 A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以 C 选项为假。 故 D 选项为真。所以选 D
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 双曲线 【答案】9

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于 4 16 m

9

.
2

c 5 b2 9 m ? ?m?9 【解析】 ? ? 2 ? a 4 16 16 a
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 【答案】

1

1

1

? 3

? 3

.

【解析】 立体图为半个圆锥体, 底面是半径为 1 的半圆, 高为 2。 所以体积 V ?

1 1 ? ? ? ? ? 12 ? 2 ? 3 2 3
-4 .

13. 若点(x, y)位于曲线 y ?| x ? 1| 与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 【答案】- 4

【解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 ,所以三角形三个顶点坐标分 别为(1,0,)(-1,2)(3,2) , , ,故 2x-y 在点(-1,2)取最小值 - 4 14. 观察下列等式:
12 12 12 12 … ?1 ? 22 ? ?3 ? 22 ? 32 ? 6 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10

照此规律, 第 n 个等式可为

( - 1) n ?1 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1) n ? ( n(n ? 1) 2
2 2 2 n -1 2 n -1 2

.

( ) 【答案】 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ?
2 2 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) 2
2

【解析】分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为 1
2 2 2 2

- 22 ? 32 - ? ? -1 n-1n 2 。 ( )
2 2

( 当 n 为偶数时,分组求和: 1 - 2 ) ? (3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1) ? n ] ? 当 n 为奇数时,第 n 个等式= -

n(n ? 1) n(n ? 1) ? n2 ? 。 2 2
2 n -1 2

n(n ? 1) 。 2

( ) 综上,第 n 个等式: 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ?
2 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) 2

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做,
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B

C O E D A

P

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则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为 2 . 【答案】2 【解析】利用柯西不等式求解,

(am ? bn)(an ? bm) ? ( am? an ? bn ? bm) 2 ? mn? (a ? b) 2 ? 2 ?1 ? 2 ,且仅当
am bn ? ? m ? n 时取最小值 2 an bm
B. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 ? O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD=2DA=2, 则 PE= 【答案】 6. 【解析】 ? BC // PE ? ?BCD ? ?PED.且在圆中?BCD ? ?BAD ? ?PED ? ?BAD.

B

C O E D A

6. .
P

? ?EPD ∽ ?APE ?

PE PD ? ? PE 2 ? PA ? PD ? 3 ? 2 ? 6.所以 PE ? 6 . PA PE
y P

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 ? 为参 数, 则圆 x ? y ? x ? 0 的参数方程为
2 2

?x ? c o s ? ,? ? R ? ? ? ?y ? c o s ? s i n
2

.
O θ x

? x ? cos ? 【答案】 ? ,? ? R ? y ? cos ? ? sin ?
2

1 1 1 【解析】 圆的方程 ? x ? ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ? 圆的半径 r ? ( 2 2 2

? OP ? cos? ? 2r ? cos? ? x ? OP ? cos? ? cos2 ? , y ? OP ? sin ? ? cos? ? sin ? 。
? x ? cos 2 ? 所以圆的参数方程为 ? ,? ? R ? y ? cos ? ? sin ?
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)
1 b 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· . 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? 【答案】(Ⅰ)

?.

(Ⅱ) 1, ?

1 . 2
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【解析】(Ⅰ)
f ( x) ? a· = cos x ? 3 sin x ? b

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 。 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? 。

(Ⅱ) 当x ? [0,

?
2

]时, x ? (2

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?
6 , 6

]上的图像知, .

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? 2?
17. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

?na1 , ? 【答案】(Ⅰ) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

(q ? 1) (q ? 1)
; (Ⅱ) 见下;

当 { a S ① q ? 1时,数列 an }是首项为 1的常数数列,所以 n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 . 当 ② q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan . 1 上面两式错位相减:( - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan .

? Sn ?

a1 ? qan a (1 ? q n ) ?. 1 。 1- q 1- q

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?na1 , ? ③ 综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法。

(q ? 1) (q ? 1)

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ① ?n ? N *,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列。 当 ② ?n ? N *,使得an ? 1 ? 0 成立,则 当

an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 an ? 1 a1q n?1 ? 1

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 。这与题目条件 q≠1 矛盾。
③ 综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是等比数 列。 (证毕) 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 的大小. 【答案】(Ⅰ) 见下; (Ⅱ)
? =

? 3

D1 A1 B1

C1

D A O B C

(Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 的大小. 【解析】 (Ⅰ) ? A1O ? 面ABCD, 且BD ? 面ABCD,? A1O ? BD ;又因为,在正方形 AB CD 中,
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AC ? BD;且A1O ? AC ? A, 所以BD ? 面A1 AC且A1C ? 面A1 AC,故A1C ? BD 。
在正方形 AB CD 中,AO = 1 .

在RT?A1OA中,A1O ? 1.

设B1 D1的中点为E1,则四边形 1OCE1为正方形,所以 1C ? E1O . A A

又BD ? 面BB1 D1 D, E1O ? 面BB1 D1 D, BD ? E1O ? O,所以由以上三点得 .且 A1C ? 面BB1 D1 D .(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题。 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向。则

B(0,1,0) (1 0, A1 (0,1), B1 (1,1,1) ? A1C ? (1,0,?1) . , C ,0), 0,
由(Ⅰ)知, 平面 BB1D1D 的一个法向量 n1 ? A1C ? (1,0,?1),OB1 ? (1,1,1),OC ? 1,0,0) ( . 设平面 OCB1 的法向量为 n2 , 则n2 ? OB1 ? 0, n2 ? OC ? 0,
D1 A1 B1 C1

解得其中一个 法向量为n2 ? (0,1,-1).
cos? ?| cos ? n1 , n1 ?|? | n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 | ? 1 ? 。 2? 2 2 1
D A O B C

所以,平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 为

? 3

19. (本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌 手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不 选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中 随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)

4 ; 15
0 1 2 3

(Ⅱ) X 的分布列如下: X P 数学期望 EX ?

4 75 28 15

20 75

33 75

18 75

【解析】(Ⅰ) 设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手。 观众甲选中 3 号歌手的概率为

2 3 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1 - 。 3 5
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所以 P(A) =

2 3 4 (- ) ?1 ? . 3 5 15 4 15

因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为

(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3.

2 3 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 。 3 5 2 3 2 4 当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0,P(X = 0) = (1 ? ) ? (1 ? ) ? . 3 5 75
观众甲选中 3 号歌手的概率为 当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1,P(X = 1) =

2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? ? ? . 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75
当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2,P(X = 2) =

2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75 2 3 2 18 ?( ) ? 当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时,这时 X=3,P(X =3) = . 3 5 75
X 的分布列如下表: X P 0 1 2 3

4 20 75 75 4 20 33 18 20 ? 66 ? 54 28 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? ? 75 75 75 75 75 15 28 所以,数学期望 EX ? 15
20. (本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程;

33 75

18 75

(Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点. 【答案】(Ⅰ) 抛物线方程 2 ? 8x ; (Ⅱ) 定点(1,0) y 【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心 C ( x, y ), MN 线段的中点为 E,由几何图像知 ME ?

MN , CA 2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 2

? x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 2 ? x 2 ? y 2 ? 8x (
(Ⅱ) 点 B(-1,0), 设P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),由题知y1 ? y2 ? 0,y1 y2 ? 0, y1 ? 8x1 , y2 ? 8x2 .
2 2

?

y1 ? y2 y ?y ? ? 2 1 ? 2 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ? 8 ? y1 y 2 ? 0 直 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 8 y 2 ? 8
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线 PQ 方程为: y ? y1 ?

y 2 ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8x ? y1 ) x2 ? x1 y 2 ? y1
2

? y( y2 ? y1 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 8x ? y1 ? y( y2 ? y1 ) ? 8 ? 8x ? y ? 0, x ? 1
所以,直线 PQ 过定点(1,0) 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较 【答案】(Ⅰ) e ; (Ⅱ) 当 m ? (0, 点; (Ⅲ)
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) > 2 b?a
?2

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ?) 2 个公共 ? ,有 1 个公共点;当 m ? 有 4 4 4

【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g ( x) ? ln x 相切与点

?kx0 ? 1 ? lnx0 ? ?2 2 ?2 P(x0, y 0 ), 则? 1 ? x 0 ? e , k ? e 。所以 k ? e ?k ? g' (x 0 ) ? x 0 ?
(Ⅱ) 当 x > 0, > 0 时,曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公共点个数即方程 f ( x) ? mx m 根的个数。 由 f ( x) ? m x ? m ?
2

2

ex ex xe x ( x ? 2) , 令h( x) ? 2 ? h' ( x) ? , x2 x x2

则 h(x)在 (0,2)上单调递减,这时 h(x)? (h(2), ); ?? h(x) 在(2,??)上单调递增 这时h(x)? (h(2), ). h(2) ? , ??

e2 . 4

h(2) y ? h(x) 是 的极小值即最小值。
所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下:
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当 m ? (0,

e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ?) 2 个公共点; ? ,有 1 个公共点;当 m ? 有 4 4 4

(Ⅲ) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x 。

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( , ?)上单调递增,且 0?
g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 而g (0) ? 0, ,
所以在(0,??)上g ( x) ? 0 。

?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

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