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2014-2015学年高二数学寒假作业(四)


高二数学寒假作业(四)
一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1.公比为 2 的等比数列{an)的各项都是正数,且 A.1 B.2 C.4 D.8 ) =16,则 a6 等于

2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=(

3.一个有 11 项的等差数列,奇数项之和为 30,则它的中间项为( A.8 B.7 C.6

) D.5

? 4.在△ ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6 , B ? 60 ,则 sin A 的值为

A.

6 2

B.

3 2

C.

6 3


D.

3 3

5.在 ?ABC中,已知b ? 40, c ? 20, C ? 600 ,则此三角形的解为( A.有一解 B.有两解 C.无解

D.有解但解的个数不确定

6.若 n=(1,-2,2)是平面α 的一个法向量,则下列向量能作为平面α 法向量的是 A.(1,-2,0) B.(0,-2,2) C.(2,-4,4) D.(2,4, 4) ( D. )

7.已知点 A(?3,1, ?4) , B (3, ?5,10) 则线段 AB 的中点 M 的坐标为 A.

? 0, ?4, 6 ?

B.

? 0, ?2,3?

C.

? 0, 2,3?

? 0, ?2, 6 ?

y2 x2 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 b b 8.已知椭圆 a ( a > b > 0) 的离心率为 e1 ,准线为 l1 、 l 2 ;双曲线 3a

e1 l l e 离心率为 e2 ,准线为 3 、 l 4 ; ;若 l1 、 l 2 、 3 、 l 4 正好围成一个正方形,则 2 等于(
A.



3 3

B .

6 3
)

C.

2 2

D.

2

9.下列命题是真命题的为 ( A.若

1 1 ? ,则 x ? y x y

B.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? y ,则 x ?

y

2 2 D.若 x ? y ,则 x ? y

-1-

二、填空题 10.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q :

1 ? 1 ,则 ? p 是 q 的_____________________条件. x
.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 11.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 ?x ? 3 ?
12.设椭圆

x2 y 2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1 的公共焦点为 F1 , F2 ,P 是两曲线的一个交点, 6 2 3

?

cos ?F1 PF2 的值是

13.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________ . 三、计算题 14.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, S4 ? 20 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2 (n ? N * ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,求 Tn . n(12 ? an )

15.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数 列。 (1)若 b ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等比数列,试判断 ?ABC 的形状。 16.如图,四边形 ABCD 是矩形, BC ? 平面 ABEF ,四边形 ABEF 是梯形,

?EFA ? ?FAB ? 90 , EF ? FA ? AD ?1 , 点 M 是 DF 的中点,
?

CM ?

3 2 2 .

(1)求证: BF ∥平面 AMC ; (2)求二面角 B ? AC ? E 的余弦值.

-2-

-3-

高二数学寒假作业(四)参考答案 一、选择题 1~5 BCDDC 6~9CBAA 二、填空题 10. 充分不必要, 11 . -6 ,12. 三、计算题 14.解: (1)设

1 ,13.2 3
解得
1 ?8 {a d ??2

?an ? 的公差为 d ,由题意得 ?a1 ? d ? 6

? ?4a1 ? 6d ? 20

得: an ? 8 ? 2(n ?1) ? 10 ? 2n. (2)∵ bn ?

2 1 1 1 ? ? ? n(12 ? an ) n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 n Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? ? ? ?bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ( ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1
15.因为 A,B,C 成等差数列,所以 2 B ? A ? C 。 又 A+B+C= ? ,所以 B ?

?

3 b c ? (1)解法一:因为 b ? 2 3 , c ? 2 ,所以 由 正 弦 定 理 得 , 即 sin B sin C 1 3 ,得 sin C ? . 2 2

.

bs i C n ? cs i B n ,即 2 3 sin C ? 2 ?

因为 b ? c ,所以 B ? C ,即 C 为锐角,所以 C ? 所以 S △ ABC ?

?
6

,从而 A ?

?
2

.

1 bc ? 2 3 .……………………7 分 2
2 即 a ? 2a ? 8 ? 0 ,得 a ? 4 .

2 2 2 解法二:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

所以 S △ ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 4 ? 2 ? ? 2 3 .……………………7 分 2 2 2

2 (2)因为 sin A , sin B , sin C 成等比数列,所以 sin B ? sin A ? sin C . 2 由正弦定理得 b ? ac ; 2 2 2 2 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac .

2 2 所以 ac ? a ? c ? ac ,即 ?a ? c? ? 0 ,即 a ? c 。又因为 B ?

2

?
3

,所以△ABC 为等边三角

形.……14 分 16.(1)证明:连结 BD ,交 AC 于点 G ,∴点 G 是 BD 的中点.

-4-

∵点 M 是 DF 的中点,∴ MG 是△ BDF 的中位线.

∴ BF / / MG.

∵ MG ? 平面 AMC , BF ? 平面 AMC ,∴ BF / / 平面 AMC (2)? 四边形 ABEF 是梯形, ?EFA ? ?FAB ? 90? ,?AB ? AF 又四边形 ABCD 是矩形,?AD ? AB , 又 AD ? AF ? A ,? AB ? 面ADF 又 BC / / AD ,?CD ? 面ADF ? CD ? DF ,

在 Rt △ CDM 中,

DM ?

1 2 3 2 DF ? CM ? 2 2 , 2

2 2 2 由 CD ? DM ? CM 可求得 AB ? CD ? 2 … 7 分

以 A 为原点,以 AF 、 AB 、 AD 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系, ∴ A(0, 0, 0) , C (0 , 2 ,1) , E (1,1, 0) , F (1, 0 , 0) , ∴ AC ? (0, 2,1) , AE ? (1,1, 0) , AF ? (1, 0, 0) . 设平面 ACE 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,

??? ?

??? ?

??? ?

?

?2 y ? z ? 0, ? x ? y ? 0. ∴ n ? AC ? 0 , n ? AE ? 0 . ∴ ? ?

? ??? ?

? ??? ?

令 x ? 1 ,则 y ? ?1 , z ? 2 . ∴ 又 AF 是平面 ACB 的法向量,

n ? ?1, ?1, 2?

.

??? ?



cos n , AF ? ? ??? ? n ? AF ?

? ??? ?

n ? AF

? ??? ?
1 6 ?1 ?
6

6 6
.

.

如图所示,二面角 B ? AC ? E 为锐角.

∴二面角 B ? AC ? E 的余弦值是 6

-5-


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