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1.3.1利用导数判断函数单调性


学习案 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】 (1)理解掌握函数单调性与导数的关系; (2)能够利用导数求函数的单调区间; (3)结合导数在函数单调性中的应用,根据函数单调性求参数的取 值范围 重点:结合几何直观,探索函数单调性与导数的关系. 难点:结合导数在函数单调性中的应用. 【学习探究】 【知识梳理】 : 导数与函数的单调性的联系:设函数 y ? f ( x) 如果在 x 的某个开区间内,总有 间上是增函数; 如果如果在 x 的某个开区间内,总有 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x ) 在这个 区间上是 ; . 说明:若 f ( x ) 为某区间上的增(减)函数,则在该区间上 ,那么 f ( x ) 在这个区 思考与讨论: 1.利用导数求函数单调区间的步骤:

2.由 f

'

? x? ? 0 ,我们可以得到 f ( x) 在某区间上单调递增,

反之,是否仍然成立?若不成立,能否举一反例? 结合 y ? x3 在实数集单调递增,但有 f
'

? x? ? 0

f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 ) 不 一 定 成 立 . 即 如 果 在 某 区 间 上 f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )是 f ( x) 在该区间上是增(减)函数的
充分不必要条件. 【典例示范】 : 例 1.求出下列单调区间:

如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x ) 为该区间上的 上述结论可以用下图来直观理解:

(1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4;
页例 2、例 3)

(2) f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? x ? 1. ( 课 本 94

【归纳小结】 例 2.确定函数 f ( x) ? x ? 减函数。

4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是 x
【当堂检测】 1、设 f?(x)是函数 f(x)的导函数,y=f?(x)的图象如图所示,则 y= f(x)的图象最有可能是( )

说明:如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,单调区间 不能用

?

,只能用“和” “, ”连接.

变式:确定函数 f ( x) ? x ? 是减函数.

p 在哪个区间内是增函数,哪个区间内 x

2.函数 f(x)的导函数 y= f ? (x)的图象如下图,则函数 f(x)的 单调递增区间为________.

y

-1 O

2

x

3.确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在哪些区间内是增函数.

4.确定函数 f ( x) ? sin x , x ? [0, 2? ] 的单调减区间.


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