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高中数学直线与圆的位置关系课件新人教A版必修


情境导入
一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心 为圆心,半径为30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮 船正西80km处,港口位于小岛中心正北40km处,如果 轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?

思考1:你 能用初中所 学的平面几 何知识来解 决这一问题 吗?

40km

轮船不改变航线, 那么它是否会有触 礁危险?

小岛
30km

80 km

情境导入
方法1:画图

港口(B)

方法2:运用勾股定理

AB ? OA2 ? OB 2 ? 40 5, 圆心O到AB的距离 d 为:
40km

d
80km

o

OA ? OB d? ? 16 5. AB

轮船(A)

因为 16

5 ? 30

所以:轮船不改变航线,不会有触礁危险.

情境导入
思考2:你能用刚学的坐标法来解决这个问题吗? ? 为解决这个问题,我们以暗礁中心为原点 O,东 西方向为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系,其 中取 10km 为单位长度. ?问题归结于航线所在的直线与暗礁影响区域所形 成的圆的位置关系.
y
4

轮船航线所在的直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 受暗礁影响的圆形区域对应的
2 2 圆的方程 x ? y ? 9

O

8

x

学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆 的位置关系. 2.会根据直线与圆的位置关系解决简单问题, 进一步体验用代数法处理几何问题的思想.

探究新知

思考3:你能归纳出直线与圆的位置关系吗?
动画

思考4:建立平面坐标系后你有哪些方法来判 定直线与圆的位置关系呢?
动画

归纳小结

直线与圆的位置关系及其判定方法
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离

图形
公共点的个数

.O
d

r

.O
d

.O
r
d

r

2个

1个

0个

判 别 方 法

代数法:联立方程组, 消元,判断解 的个 数。

??0 d ?r

??0
d ?r

??0
d ?r

几何法:圆心到直线 的距离 d 与半径 的 大小关系。

r

应用举例

例:已知直线l : x ? y ? 1 ? 0 和圆 C : x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 试判断直线与圆的位置关系,若相交,试求出交点坐标.
2 2

(Ⅰ)解法一:由直线和圆的方程可得:

y

? ?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 x ? 2 ? ( y ? 1) ?4 ? ? ? ?
( x ? 2)2 ? ( x ? 1 ?1)2 ? 4, 消去 y 得到:

A

B o

C x

即: x ? 2 x ? 0.
2

由 ? ? (?2)2 ? 4 ?1? 0 ? 4 ? 0 所以:直线 l 和圆 C 相交,有两个公共点.

应用举例
2 x ? 2 ? ( y ? 1) ? 4, ? ? 解法二:圆 C : x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 可化为

2

2

2

(2,1) ,半径 r ? 2 , 其圆心 C 的坐标为:

则点C 到直线 l的距离

d?

2 ?1?1 1 ? (?1)
2 2

? 2?r?2
y A d B o C x

所以:直线l 和圆 C 相交,有两个公共点. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)解法一有 x ? 2 x ? 0
2

解得:x1 ? 0, x2 ? 2, 代入直线方程,得到 y1 ? 1, y2 ? 3 所以直线与圆的交点坐标为 A(2,3), B(0,1)

课堂练习
1.直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的位置关系是( C ) A.相离 B.相切 C.过圆心 D.相交但不过圆心

2.直线过点 (0, a ) ,其斜率为1 ,且与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切, 则 a的值是( C )

A. ? 4

B. ?2 2

C.

?2

D.

? 2

3. 直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的垂直平分线的方程是 3x-2y-3=0 .

课堂小结
? 1.直线与圆的位置关系有哪些?
? 2.如何判断直线与圆的位置关系? ? 3.本节课你体会到了什么数学思想?

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.O
d

.O
r .A
L d

r .D
L

.B
H

.
C

.E

d

.O r
.N
Q

.F
L

d>r

相离

d=r

相切

d<r

相交

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