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线面垂直、面面垂直性质上课用


直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质

温故知新

线面垂直则线线垂直。 线线垂直则线面垂直 垂直则线面垂直。 线面垂直则线线垂直。 线线垂直则线面垂直。 垂直则线线垂直

温故知新 直线与平面垂直定义 定义: 直线与平面垂直定义: 如果直线 l 与平面 α 内 任意一条直线都垂直 一条直线都垂直, 的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 α 互相垂直。 互相垂直。

直线与平面垂直判定定理: 直线与平面垂直判定定理: 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直, 两条相交线都垂直,则该 直线与此平面垂直. 直线与此平面垂直.

线面垂直则线线垂直。 线面垂直则线线垂直。 垂直则线线垂直

线线垂直则线面垂直。 线线垂直则线面垂直。 垂直则线面垂直

问题1 问题1:广场上 垂直于地面的 几根旗杆, 几根旗杆,它 们之间具有什 么位置关系? 么位置关系?

问题2: 问题 :把地面 抽象为平面 平面, 抽象为平面,旗 杆抽象为直线 直线, 杆抽象为直线, 实际问题能够转 化为一个什么样 数学问题? 的数学问题?

直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 于同一个平面的两条直线
符号语言: 符号语言:
a b

a ⊥ α , b ⊥ α ? a / /b

α

线面垂直关 系

线线平行关 系

平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质

温故知新 面面垂直的判定方法: 面面垂直的判定方法: 定义法: 1、定义法: 找二面角的平面角 2、判定定理: 判定定理: 要证两平面垂直, 在其中一个平面内找 要证两平面垂直, 在其中一个平面内找到 只要在其中一个平面内 两平面垂直 只要 另一个平面的一条垂线 一条垂线。 另一个平面的一条垂线。 说明该平面角是直角 说明该平面角是直角。 直角。

(线面垂直?面面垂直) 线面垂直?面面垂直)

知识探究: 知识探究:

思考1:如果平面α 平面β互相垂直, 思考1:如果平面α与平面β互相垂直, 1:如果平面 垂直 平面α 与平面β 直线l在平面α内,那么直线l与平面β 位置关系有哪几种可能 有哪几种可能? 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α l β β β

平行

相交

线在面内

知识探究: 知识探究:

思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 2: 在黑板上是否存在直线与地面垂直 直线与地面垂直? 直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线? 若存在,怎样画线?
α

β

证明问题: 证明问题: 求证: α CD ⊥ β 已知: 已知: ⊥ β,α I β = AB, CD ? α , 且CD ⊥ AB. 求证:

发展条件
α
C D β

转化结论

B
E

证明: 在 内过D 证明: 平面β内过D作直线 内过 DE ⊥AB

A

则 ∠ CDE 是二面角 α - AB ? β 的平面角

由α ⊥β 得CD ⊥ DE AB, 又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β 所以直线CD⊥平面β CD⊥平面

平面与平面垂直的性质定理: 平面与平面垂直的性质定理: 性质定理

两个平面垂直,则一个平面内 平面内垂直于交线 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。 的直线与另一个平面垂直。
符号语言: 符号语言:
β a l A α

α ⊥β ? ? α I β = l? ? ? a ⊥α a?β ?
a⊥l ? ?

作用: 面面垂直? 作用: 面面垂直?线面垂直

垂直体系
判定 判定

线线垂 直

线面垂直
定义 性质

面面垂直

α 问题1: 问题 :设平面α ⊥平面 β ,点C在平面

内,过点C作平面β 的垂线CD,直线CD 与平面α 具有什么位置关系?
α α D

C
B

B

β
A

D

β
A

c

直线CD在平面 直线 在平面 α 内

问题2 问题2 α ⊥ β , a ⊥ β , a ? α , 判断a与α 位置关系
α a l

a // α

问题3: 问题 : β 思考:已知平面 α,β ,直线 a, 且α ⊥ β , α I β = AB , a // α , a ⊥ AB , 试判断直线 a与平面 β 的位置关系。

α
A a

a⊥β
β

B

例3 α ⊥ β , a ⊥ β , a ? α , 判断a与α 位置关系
证明: 证明:设

α Iβ =l
b

α

a // α
a

内作直线b⊥ 在α内作直线 ⊥l 内作直线
β α ⊥β ? ? α I β = l? ? ?b⊥β ? b ?α ? 又a ⊥ β ? ? a // b ? ? ?

l

线面垂直 性质

b⊥l

? ?

b ? α ? ? a // α ? a ?α?

面面垂直性质

变式: 变式:

思考:已知平面 α,β ,直线 a , 且α ⊥ β , α I β = AB , a // α , a ⊥ AB , 试判断直线 a与平面 β 的位置关系。
α

a⊥β
b
B

a
β

证明:过a作平面γ交α于b, 作平面γ 证明: 因为直线a//α 所以a//b 直线a// 因为直线a//α,所以a//b 又因为a⊥AB,所以b⊥AB 又因为a⊥AB,所以b

γ A

又α⊥β,α∩β=AB 辅助线( 辅助线(面): 所以b 所以b⊥β 发展条件的使解题过 发展条件的使解题过 进而a⊥β 进而a⊥β 程获得突破的

【课后自测】4、如图,已知SA⊥平面ABC, 课后自测】 如图,已知SA⊥平面ABC, SA⊥平面ABC

平面SAB⊥平面SBC,求证: 平面SAB⊥平面SBC,求证:AB⊥BC SAB⊥平面SBC 证明:过点A作 ⊥ 于 , 证明:过点 作AD⊥SB于D, S 平面SAB⊥平面 ∵平面 ⊥平面SBC, , 平面SAB∩平面 平面SBC=SB, 平面 平面 , ∴AD⊥平面 ⊥平面SBC A 平面SBC ∵BC ? 平面SBC

C

∴AD⊥BC
平面ABC ∵SA⊥平面 ⊥平面ABC,BC ? 平面 , B ∴SA⊥BC ⊥ 从已知想性质, “从已知想性质,从求证 ∵SA∩AD=A, , 想判定” 想判定”这是证明几何问 ∴BC⊥平面 ⊥平面SAB 题的基本思维方法. 题的基本思维方法. 平面ABC ∴AB⊥BC ∵AB ? 平面 ⊥

课堂小结 从已知想性质, 从已知想性质,从求证想判定 1、证题原则: 证题原则: 2、会利用“转化思想”解决垂直问题 会利用“转化思想”
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行

注意辅助线的作用

空间问题平面化
面面垂直 线面垂直 线线垂直


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