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选择题12题和填空题15题详解


解法(一)显然 a ? 3 ? 3 log3 ? ? b ,下面主要比较 a和c 的大小,b 和 c 的大小; ln 3 c ? log? 3 ? ln 3 ? ? ? 3 , a 3 3 ln ? ln ? ? 由此构造函数 f ( x ) ? ln x c f (3) ,则 ? x a f (? ) f / ( x) ? 1 ? ln x ? 0? 0? x ? e, x2 所以函数 f ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减; ? f (? ) ? f (3) , 因为 ? ? 3 ? e, c f (3) ?? ?1? c ? a ; a f (? ) ? ln 3 ln 2 3 c ? log? 3 ? ln 2 3 ? ? ln ? ? ? 3 ; 3 ln ? 3 ln 2 ? ln 2 ? b 3 log3 ? ln 3 ? ln 2 x c g (3) 由此构造函数 g ( x) ? ,则 ? ; x b g (? ) g / ( x) ? ln x(2 ? ln x) ? 0 ? 1 ? x ? e 2 ,所以 g ( x) 在区间 (1, e 2 ) 上单调递增, 2 x 2 又 1 ? 3 ? ? ? e ,所以 g (3) ? g (? ) ,即 综上 a ? c ? b ,故此选 B. c g (3) ? <1 ? c ? b . b g (? ) 本题源自 2014 高考湖北卷第 22 题(2014· 湖北卷)π 为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的 底数. ln x (1)求函数 f(x)= 的单调区间; x ( 2)求 e3,3e,eπ,πe, ,3π,π3 这 6 个数中的最大数与最小数; (3)将 e3,3e,eπ,πe,3π,π3 这 6 个数按从小到大 的顺序排列,并证明你的结论. 解法(一)如图,因为 OA ? OB ,由椭圆及圆的轴对称性易知 ?AOM ? 450 ,所以 A(C,C) ,带入椭圆方程得 c2 c2 ? ? 1, a2 b2 化简得 c 2 (a 2 ? b 2 ) ? a 2 b 2 ⑴; c b2 因为离心率 e ? ? 1 ? 2 ,所以上述⑴式的转化 a a 一般有两个选择: 一是利用 b 2 ? a 2 ? c 2 将上述式子 转化成 c 4 ? 3a 2 c 2 ? a 4 ? 0 ? e 4 ? 3e 2 ? 1 ? 0 由求根公式得到 e 2 ? 3? 5 5 ?1 3? 5 ; ?e? ?e? 2 2 2 b b 二是利用 c 2 ? a 2 ? b 2 将上述式子转化成 b 4 ? a 2 b 2 ? a 4 ? 0 ? ( ) 4 ? ( ) 2 ? 1 ? 0 a a b ?1? 5 5 ?1 ?1? 5 3? 5 由求根公式得到 ( ) 2 ? ; ?e? ? e ? 1? ? a 2 2 2 2 解法(二)如图,A(C,C) ,四边形 AB F1F2 为矩形,所以 | AF 2 |? c , 1 |? 5c ,| AF 由椭圆定义可知 | AF 1 | ? | AF 2 |? 2a ? ( 5 ? 1)c ,所以 c 2 5 ?1 ; ? ? a 2 5 ?1 解法(三)由已知条件易知 | AF2 |? c ,又显然 | AF2 |? ?1? 5 2 b2 b2 ? ac ? b 2 ,所以 c ? a a ? ac ? a 2 ? c 2 ? e 2 ? e ? 1 ?

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