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2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案1.doc


第一章 第一节 [考情展望]

集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算

1.给定集合,直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、

不等式等知识相结合,考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果, 考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体,考查对新情境的应变能力.

一、集合的基本概念 1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为∈和?. 3.常见数集的符号表示: 集合 表示 自然数集 N 正整数集 N+(N*) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4.集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法.

描述法的一般形式的结构特征 在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I 是 x 的 范围,“p(x)”是集合中元素 x 的共同特征,竖线不可省略. 二、集合间的基本关系 1.子集:若对?x∈A,都有 x∈B,则 A?B 或 B?A. 2.真子集:若 A?B,但?x∈B,且 x?A,则 A?B 或 B?A. 3.相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 4.空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

子集与真子集的快速求解法

一个含有 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空 真子集. 三、集合的基本运算 并集 符号 表示 图形 表示 意义 {x|x∈A, 或 x∈B} {x|x∈A, 且 x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A} A∪B 交集 A∩B 补集 若全集为 U, 则集合 A 的补 集为?UA

1.集合间的两个等价转换关系 (1)A∩B=A?A?B; (2)A∪B=A?B?A. 2.集合间运算的两个常用结论: (1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); (2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

1.已知集合 A={0,1},则下列式子错误的是( A.0∈A C.??A 【解析】 【答案】 B.{1}∈A D.{0,1}?A

)

∵{1}?A,∴{1}∈A 错误,其余均正确. B )

2.已知集合 A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则 A∩B=( A.{x|-1<x<2} C.{x|-1<x<1} B.{x|x>-1} D.{x|1<x<2}

【解析】

∵A={x|x>1},B={x|-1<x<2},

∴如图所示,A∩B={x|1<x<2}.

【答案】

D )

3.已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( A.M?N C.M∩N={2,3} 【解析】 B.N=M D.M∪N=(1,4)

∵N={x∈Z|1<x<4}={2,3},

∴M∩N={2,3}. 【答案】 C )

4. 集合 A={0,2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0,1,2,4,16}, 则 a 的值为( A.0 【解析】 B.1 C.2 D.4

∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},

2 ?a =16, ∴? ∴a=4,故选 D. ?a=4.

【答案】

D

5.(2013· 山东高考)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪ B)={4},B={1,2},则 A∩(?UB)=( A.{3} C.{3,4} 【解析】 ) B.{4} D.? ∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4},

∴A∪B={1,2,3}. 又∵B={1,2},∴{3}?A?{1,2,3}. 又?UB={3,4},∴A∩(?UB)={3}. 【答案】 A

6.(2013· 江苏高考)集合{-1,0,1}共有________个子集. 【解析】 【答案】 由于集合中有 3 个元素,故该集合有 23=8(个)子集. 8

考向一 [001]

集合的基本概念

(1)(2013· 山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y ∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 ) C.5 D.9

(2)(2014· 柳州模拟)已知集合 A={m+2,2m2+m,-3},若 3∈A,则 m 的值 为________. 【思路点拨】 (1)用列举法把集合 B 中的元素一一列举出来.

(2)先由 m+2=3 或 2m2+m=3 求得 m 的值, 再检验集合中的元素是否满足 互异性. 【尝试解答】 (1)方法一:

当 x=0,y=0 时,x-y=0; 当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2; 当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0; 当 x=1,y=2 时,x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2; 当 x=2,y=1 时,x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,- 1,-2,1,2,共 5 个. 方法二:如下表所示: x y 0 1 2 0 0 -1 -2 1 1 0 -1 2 2 1 0

∴x-y 的值只有-2,-1,0,1,2,共 5 个.

3 (2)∵3∈A,∴m+2=3 或 2m2+m=3,解得 m=1 或 m=-2. 3 当 m=1 时,m+2=2m2+m=3,不满足集合元素的互异性,当 m=-2时,
? ? 1 3 A=?-3,2,3?满足题意.故 m=-2. ? ?

【答案】 规律方法 1

(1)C

3 (2)-2

1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再

看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其它的集合. 2.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满 足互异性. 对点训练 (1)(2014· 深圳模拟)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y )

∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 C.8 D.10

(2) 已知集合 A = {x|ax2 - 3x + 2 = 0} ,若 A = ? ,则实数 a 的取值范围为 ________. 【解析】 (1)因为 A={1,2,3,4,5},所以集合 A 中的元素都为正数,若 x-y ∈A,则必有 x-y>0,即 x>y. 当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,共有 4 个数; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,共有 3 个数; 当 y=3 时,x 可取 4,5,共有 2 个数; 当 y=4 时,x 只能取 5,共有 1 个数; 当 y=5 时,x 不能取任何值. 综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为 4+3+2+1=10,即集合 B 中的元 素共有 10 个,故选 D. (2)∵A=?,∴方程 ax2-3x+2=0 无实根, 2 当 a=0 时,x=3不合题意, 9 当 a≠0 时,Δ=9-8a<0,∴a>8. 【答案】 (1)D ?9 ? (2)?8,+∞? ? ?

考向二 [002]

集合间的基本关系
014

? ? b (1)已知 a∈R,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 a2 ? ?

+b2

014

=________. (2)已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若 A∪B=A, 则实数 m 的取值范围是________. 【思路点拨】 从而 a,b 可求. (2)A∪B=A?B?A,分 B=?和 B≠?两种情况求解. 【尝试解答】 b (1)由已知得a=0 及 a≠0,所以 b=0,
? ? b (1)0∈?a,a,1?,则 b=0,1∈{a2,a,0},则 a2=1,a≠1, ? ?

于是 a2=1, 即 a=1 或 a=-1.又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去, 因此 a=-1, 故 a2 014+b2 014=(-1)2 014=1. (2)A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 又 A∪B=A,所以 B?A. ①若 B=?,则 2m-1<m+1,此时 m<2.

?2m-1≥m+1, ②若 B≠?,则?m+1≥-2, ?2m-1≤5.
【答案】 规律方法 2 (1)1 (2)(-∞,3]

解得 2≤m≤3.

由①、②可得,符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.

1.解答本例?2?时应注意两点:一是 A∪B=A?B?A;二是 B?

A 时,应分 B=?和 B≠?两种情况讨论. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区 间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、 Venn 图化抽象为直观. 对点训练 (1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N}, ) D.4

则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 B.2 C.3

(2)若集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},且 M∩N=N,则 实数 a 的取值集合是________. 【解析】 (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,

∴A={1,2}. 由题意知 B = {1,2,3,4} ,∴满足条件的 C 可为 {1,2} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,3,4}. (2)因为 M∩N=N,所以 N?M.又 M={-3,2}, 若 N=?,则 a=0. 若 N≠?,则 N={-3}或 N={2}. 2 所以-3a+2=0 或 2a+2=0,解得 a=3或 a=-1.
? 2? 所以 a 的取值集合是?-1,0,3?. ? ?

【答案】

(1)D

? 2? (2)?-1,0,3? ? ?

考向三 [003]

集合的基本运算

(1)(2014· 湖南师大附中模拟 ) 设集合 A = {1,2,3,5,7} , B = {x ∈ Z|1 < x≤6},全集 U=A∪B,则 A∩(?UB)等于( A.{1,4,6,7} C.{1,7} (2)(2014· 烟台模拟)设全 )

B.{2,3,7} D.{1}

图 1-1-1 集 U=R,M={x|x2+3x<0},N={x|x<-1},则图 1-1-1 中阴影部分表 示的集合为( ) B.{x|-3<x<0} D.{x|-1≤x<0} (1)求 B→求 A∪B→求?UB→求 A∩(?UB).

A.{x|x≥-1} C.{x|x≤-3} 【思路点拨】

(2)求 M→分析阴影区域表示的集合→借助数轴求该集合. 【尝试解答】 (1)∵B={x∈Z|1<x≤6}={2,3,4,5,6}.

又 A={1,2,3,5,7} . ∴A∪B={1,2,3,4,5,6,7}. ∴?UB={1,7}.∴A∩(?UB)={1,7}. (2)∵M={x|x2+3x<0}={x|-3<x<0},N={x|x<-1} ∴?UN={x|x≥-1}. 又由 Venn 图可知,该阴影部分表示的集合为 M∩(?UN). 所以 M∩(?UN)={x|-1≤x<0}. 【答案】 规律方法 3 (1)C (2)D

1.求解本例?2?的关键是明确阴影区域元素的属性.

2.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一 般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表 示时要注意端点值的取舍. 对点训练 则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] (1)(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2}, T={x|x2+3x-4≤0}, ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

图 1-1-2 (2)如图 1-1-2,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={2,3,4,5,6,8},B = {1,3,4,5,7} , C = {2,4,5,7,8,9} ,用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ________. 【解析】 (1) 因为 S = {x|x >- 2} ,所以 ? RS = {x|x≤ - 2} .而 T = {x| -

4≤x≤1},所以(?RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. (2)由图可知,该阴影部分表示的集合为 A∩C∩(?UB). 又 A∩C={2,4,5,8},?UB={2,6,8,9,10}, 故 A∩C∩(?UB)={2,8}.

【答案】

(1)C

(2){2,8}

思想方法之一

数形结合思想在集合中的妙用

数形结合思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象 思维与形象思维相结合,使问题化难为易、化抽象为具体. 数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面: (1)利用 Venn 图,直观地判断集合的包含或相等关系. (2)利用 Venn 图,求解有限集合的交、并、补运算. (3)借助数轴,分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运 算结果及所含参变量的取值范围问题. ———— [1 个示范例] ———— [1 个对点练] ————

(2012· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈ R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 【解析】 ∵A={x|-5<x<1},B={x|(x-m)(x-2)<0},

且 A∩B={x|-1<x<n}. 如图所示

由图可知 A∩B={x|-1<x<1}, 故 n=1, m=-1.,

设 A={x|-2<x<-1,

或 x>1},B={x|x2+ax+b≤0}.已知 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3}, 则 a=________,b=________. 【解析】 如图所示.

设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当 B 覆盖住集合{x|- 1≤x≤3}时符合题意. 根据一元二次不等式与一元二次方程的关系,可知-1 与 3 是方程 x2+ax+ b=0 的两根, ∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.

【答案】

-2

-3


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