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北师大版数学必修1课件:3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较


§6

指数函数、幂函数、

对数函数增长的比较

1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质. 2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢, 了解这三种函数增速的差别.(重点) 3. 体会数形结合思想在研究函数中的应用.(难点)

复习引入
1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数

1.幂函数: 如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量 ? , 即

y ? x?
1 2

这样的函数称为幂函数.

如y = x,y = x2 ,y = x3 ,y = x-1 ,y = x

你能在同一坐标系中作出

y ? x, y ? x 2 , y ? x3 , y ? x ?1 , y ? x
的图像吗?

1 2

(-2,4)

4

y=x3

幂函数 的图像
(-1,1)
-6 -4 -2

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

1 y ? x2

2

1

(1,1)
2

y=x-1
4 6

(-1,-1)

-1

-2

-3

-4

2.指数函数 y ? a 的图像与性质
x
a>1 0<a<1


2

2



定义域:R 值域: (0,+∞) 性 质 过点(0,1) 当 x>0 时 y>1 当 x<0 时 0<y<1 是 R 上的增函数 当 x>0 时 0<y<1 当 x<0 时 y>1 是 R 上的减函数

3.对数函数 y=logax
3 2.5 2

a>1
3 2.5 2

0<a<1
1.5

(a>0,且
a≠1)

图 像

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞)

值域: (??,??)

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0
x ? (1,??) ?y ?0

x ? (0,1) ? y ? 0
在(0,+∞)上是 增 函数

x ? (0,1) ? y ? 0
x ? (1,??) ? y ? 0

在(0,+∞)上是 减 函数

4.指数函数与对数函数的联系与区别
解析式 y=ax(a>0且a≠1)

y=logax(a>0,且a≠1)

图像

定义域 值域 单调性 奇偶性

R (0,+∞) 0<a<1时,在(-∞,+∞)上 递减,a>1时,在(-∞, +∞)上递增 非奇非偶

(0,+∞) R 0<a<1时,在(0,+∞)上递 减,a>1时,在(0,+∞)上 递增 非奇非偶

问题提出:

我们知道:
当a>1时,指数函数是增函数, 当a逐渐增大时, 函数值增加得越来越快; 当0 <a<1时,对数函数是减函数, 当a逐渐增大时, 函数值减少得越来越快;

当x>0时,幂函数y=xn (n>1)在(0,+∞)上单 调递增; 且当x>1,n逐渐增大时,函数值增大得越来越快。 那么,对于这三种增加的函数,它们的函数值的增

加快慢有何差别呢?
我们通过三个具体的函数y=2x,y=x100(x>0), y=㏒2x的函数值(取近似值)的比较,来体会它们增长 的快慢。

动手实践

结论:在这三个函数中,指数函数增长最快,人们常 称这种现象为“指数爆炸”。

1. (2012·太原高一检测)当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度 最快的是 A. y ? 100 x C. y ? x
100



) B. y ? log100 x D. y ? 100
x

【解析】选 D.由于指数函数的增长为爆炸式增长,则 y ? 100 增长速度最快.

x

2.(2012·南阳高一检测)

已知幂函数 f (x) ? x

?2m 2 ? m ? 3

(m ? Z) 为偶函数,且在

(0, ??) 上是增函数.求 f (x) 的解析式;

解析: ? f (x) ? x

?2m 2 ? m ? 3

在 (0, ?? ) 上是增函数,

? ?2m 2 ? m ? 3 ? 0 ,

3 ∴ ?1 ? m ? . 2 又 m ? Z , m ? 0或m ? 1 ,
而 f (x) 为偶函数,? m ? 1, f (x) ? x
2

1.幂函数、指数函数、对数函数的图像; 2. 三种函数增速的差别.

人要学会走路,也得学会摔跤,
而且只有经过摔跤才能学会走路。

——马克思


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