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山东省日照市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题(2012年日照一模)


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绝密★ 绝密★启用前 型: A 山东省日照市 2012 届高三第一次模拟考试

试卷类



科 数 学 2012.03

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。教试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(共 60 分)
注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题 卡和试卷规定的位置。 2、第 I 卷共 2 页。答题时,考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。在试卷上作答无效。 参考公式: 锥体的体积公式: V锥体 =

1 Sh, 其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高; 3

圆柱的侧面公式: s圆锥侧面 = 2πRl , 其中 R 为圆柱的底面半径, l 为圆柱的母线。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M = x x ? 4 < 0}, N = x x = 2n + 1, n ∈ Z },则集合 M ∩ N 等于
2

{

{

(A) {-1,1} (2)函数 f ( x ) =

(B) {-1,0,1}

(C) {0,1}

(D) {-1,0}

2 ? x ? 1g ( x ? 1) 的定义域是
(B) (-∞,2) (C) (1,2) (D) (1,+∞)

(A) (2,+∞)

(3)已知定义在复数集 C 上的函数 f (x ) 满足 f ( x) =

{

1+ x x∈ R (1? i ) x x?R

f (1 + i ) 等于

(A)2 (B)0 (C) (1,2] (D) (2+ i ) (4)如图,在一个不规则多边形内随机撒入 200 粒芝麻(芝麻落到任何位置可能性相等) , 恰有 40 粒落入半径为 1 的圆内,则该多边形的面积约为 (A)4π (B)5π (C)6π (D)7π (5)曲线 f ( x ) = x1nx 在 x=e 处的切线方程为 (A)y=x (B)y=x-e (C)y=2x+e (D)y=2x-e

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Http://www.fhedu.cn (6)已知程序框图如右,则输出的 i = (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (7)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=
4 4 4 4

(A)3×4 +1

(B)3×4

(C)4

(D)4 +1

? x ≥ 1, ? (8)已知点 p(x,y)的坐标满足条件 ? y ≥ x, 那么点 P 到直线 3x-4y-9=0 的距离的最 ?x ? 2 y + 3 ≥ 0 ?
小值为 (A)2 (B)1 (C)

14 5

(D)

6 5

(9)设 a、β 、y 为平面,m、n、l 为直线,则 m ⊥ β 的一个充分条件是 (A) a ⊥ β , a ∩ β = 1, m ⊥ l (C) a ⊥ r , β ⊥ y , m ⊥ a (B) n ⊥ a, n ⊥ β , m ⊥ a (D) a ∩ y = m, a ⊥ y , β ⊥ y

x2 y 2 2 (10)已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y =16x 的焦 a b
点相同,则双曲线的渐近线方程为

(A)y=±

3 x 2

(B)y=±

3 x 2

(C)y=±

3 x 3

(D)y=± 3 x

(11)函数 y =

1og 2 x
的图象大致是

x

(12)定 义 在 R 上 奇 函 数 f (x ) 满 足 对 任 意 x 都 有 f ( x ? 1) = f ( 4 ? x) , 且

3 f ( x) = x, x ∈ (0, ) ,则 f (2012) ? f (2010) 等于 2
(A)-1 (B)0 (C)2 (D)1

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第 II 卷(共 90 分)
注意事项: 第 II 卷共 2 页。 考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上各题目的指定答题区域 内作答、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 14、 若直线 3x-ky+6=0 与直线 kx-y+1=0 平行,则实数 k= 。 14、 已知某实心几何体的三视图如图所示(单位:㎝) , 则该几何体的表面积为 。 14、 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶 机动车的行为分成“酒后驾车”和“醉酒驾车”两个档次,其检 测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位:毫 克/100 毫升) 。当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉 酒驾车,某市公安局交通管理部门于 2012 年 2 月某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次检查行动,共依法查出了 60 名饮酒后违 法驾驶机动车者,右图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出 的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之 内) 。则此次检查中醉酒驾车的人数是 。 14、 给出下列四个命题: ①命题 " ?x ∈ R, cos x > 0" 的否定是 " ?x ∈ R, cos x ≤ 0" ; ②若 0<a<1,则函数 f ( x ) = x 2 + a x ? 3 只有一个零点; ③函数 y = sin( 2 x ?

π

? π 5π ? ) 的一个单调增区间是 ?? , ? ; 3 ? 12 12 ?

④对于任意实数 x, f ( ? x) = f ( x ) , 有 且当 x>0 时, f ' ( x ) > 0 , 则当 x<0 时, f ' ( x ) < 0 。 其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上) 。 1、解答题:本题共 6 小题,共 74 分。 (17)(本小题满分 12 分) 已 知

f ( x ) = m ? n,





m = (sin ωx + cos ωx, 3 cos ωx), n = (cos ωx ? sin ωx,2 sin ωx)

(ω > 0) ,若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于 π 。
(I)求 ω 的取值范围; (II)在 ?ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, a =

7, S

?ABC

=

3 。当 2

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ω 取最大值时,f(A)=1,求 b,c 的值。
(18)(本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和 S 4 = 14, a3 是 a1,a7 的等比中项。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 Tn 为数列 ?

?

1 ? 1 * ? 的前 n 项和,若 Tn ≤ an+1 对一切 n ∈ N 恒成立,求实 λ ? an an+1 ?

数 λ 的最大值。 (19)(本小题满分 12 分) 某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动, 在所有参与调查的人中,持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所示: 有关系 40 岁以下 40 岁以上 (含 40 岁) 800 100 无关系 450 150 不知道 200 300

(I)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持“有关系”态 度的人中抽取 45 人,求 n 的值; (II)在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任选取 2 人,求至少一人在 40 岁以下的概率; (III)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出分数如下:9.4、8.6、9.2、9.6、 8.7、9.3、9.0、8.2,把这 8 个人打出的分数看做一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总 体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率。 (20)(本小题满分 12 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都是 2,D 是侧棱 CC1 上任 意一点,E 是 A1B1 的中点。 (I)求证:A1B1//平面 ABD; (II)求证:AB⊥CE; (III)求三棱锥 C-ABE 的体积。 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ax 2 + 1nx( a ∈ R ) 。 (I)当 a =

1 时,求 f (x ) 在区间[1,e]上的最大值和最小值; 2

(II)如果在公共定义域 D 上的函数 g(x), f1 ( x ), f 2 ( x ) 满足 f1 ( x ) < g ( x ) < f 2 ( x ) ,那 么 就 称 g(x) 为

f1 ( x)、f 2 ( x)

的 “ 活 动 函 数 ” , 已 知 函 数

1 1 f1 ( x) = (a ? ) x 2 + 2ax + (1 ? a 2 )1nx, f 2 ( x) = x 2 + 2ax , 若在区间 (1,+∞) 上, 函数 f ( x ) 2 2
是 f1 ( x )、f 2 ( x ) 的“活动函数” ,求实数 a 的取范围。
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Http://www.fhedu.cn (22)(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,离心率 a 2 b2

e=

1 ,在 x 轴负半轴上有一点 B,且 BF2 = 2BF1 。 2
(I)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线

l : x ? 3 y ? 3 = 0 相切,求椭圆 C 的方程;
(II)在(I)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l ' 与椭圆 C 交于 M、N 两点, 在 x 轴上是否存在点 p(m,0) ,使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,说明理由。

2012 届高三模拟考试 文科数学参考答案及评分标准
2012.03 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5 ACABD 6-10 CBAABD 11-12 CD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 2、 ± 3 (14) (96 + 8π )cm 2 (15)15 16.①③④

(17)解: (Ⅰ) f ( x ) = m.n = cos 2ωx + 3 sin 2ωx = 2 sin( 2ωx +

π
6

) ……………3 分

Q f (x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于π T π 1 ≥ π ,∴ ≥ π ,∴ω ∈ (0, ] …………6 分 2 2ω 2 1 π π (Ⅱ)当 ω = 时, f ( x ) = 2 sin( x + ),Q f ( A) = 2 sin( A + ) = 1 , 2 6 6 π 1 π π 7π 2π ∴ sin( A + ) = .Q 0 < A < π ,∴ < A + < ,∴ A = ……………3 分 6 2 6 6 6 3



由S

ABC

=

1 3 bc sin A = , 得bc = 2 .……………① 2 2

又 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = b 2 + c 2 + bc = 7, ……………②
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Http://www.fhedu.cn 由①②,得 b=1,c=2 或 b=2,c=1.……………12 分

4a1 + 6d = 14
(18)解: (Ⅰ)设公差为 d,由已知得

(a1 + 2d ) 2 = a1(a1 + 6d )

解得 d=1 或 d=0(舍去)

∴ a1 = 2, 故an = n + 1 …………………………………………………………………4 分
(Ⅱ)Q

1 1 1 1 ,……………………………6 分 = = ? anan + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1) (n + 2) 1 1 1 1 .... 1 1 1 1 n …………8 分 ? + ? + + ? = ? = 2 3 3 4 n + 1 n + 2 2 n + 2 2(n + 2) n 1 ≤ ( n + 2) , 2( n + 2) λ

∴ Tn = 1

Q Tn ≤

λ

an + 1,∴

即λ ≤ 又 2( n +

2( n + 2) 2 4 = 2(n + + 4) …………10 分 n n

4 + 4) ≥ 2 × (4 + 4) = 16 n

∴ λ的最大值为16. …………………………12 分
(19)解: (Ⅰ)由题意,得

800 + 100 800 + 450 + 200 + 100 + 150 + 300 = 45 n

∴n = 100 …………………………3 分
(Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人在 40 岁以下,则

200 m = ,解得 m=2. ……5 分 200 + 300 5 就是 40 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1, A2 ; B1, B 2 , B 3 , 则多中任取 2
的 所 有 基 本 事 件 为 共



( A1, B1), ( A1, B 2), ( A1, B 3), ( A2, B1), ( A2, B 2), ( A2, B 3), ( A1, A2 ), ( B1, B 2), ( B1, B 3), ( B 2, B 3)
10 个……………………………………………………………………………7 分 其中至少有 1 人在 40 岁以下的基本事件为

( A1, B1), ( A1, B 2), ( A1, B 3), ( A2, B1), ( A2, B 2), ( A2, B 3), ( A1, A2) 共 7 个
所以所求事件的概率 p =

7 …………………………………………10 分 10 1 (Ⅲ)总体的平均数为 x = (9.4 + 8.6 + 9.2 + 9.6 + 8.7 + 9.3 + 9.0 + 8.2) = 9 8
那么与总体平均数之差的绝对超过 0.6 的数只有 8.2,所以该数与总体平均数之差的绝对值

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1 超过 0.6 的概率为 .…………………………………………12 分 8 (23)解: (Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知 A1 B1 ∥AB,
因为 AB ? 平面ABD,A1 B1 ? 平面ABD , 所以 A1 B1 ∥平面 ABD.……………………………………4 分 (Ⅱ)设 AB 中点为 G,连结 GE,GC。

Q ?ABC为正三角形,且G为中心, AB ⊥ GC ∴
又 EG∥ AA1 , AA1 ⊥ AB,∴ AB ⊥ GE 又 CG ∩ GE = G , 所以AB ⊥ 平面GEC 而 CE ? 平面GEC,所以AB ⊥ CE ……………………………………8 分 (Ⅲ)由题意可知: Vc ? ABE = VE ? ABC =

1 × EG × S?ABC 3

1 1 3 2 3 = × 2× × 2× 2× = ……………………………12 分 3 2 2 3

1 1 1 x2 + 1 当a = 时,f ( x) = x 2 + 1nx, f `( x) = x + = ; (22)解: (Ⅰ) 2 2 x x 对于x ∈ [1, e], 有f `( x) > 0,∴ f ( x)在区间(,e)上为增函数, 1 ∴ f ( x) max = f (e) = 1 + e2 1 , f ( x) min = f (1) = …………………3 分 2 2

(Ⅱ)在区间 (1,+∞) 上,函数 f ( x) 是f 1( x)、f 2( x)的“活动函数”, 则 f 1( x ) < f ( x ) < f 2 ( x )

1 p ( x) = f ( x) ? f 2 x = (a ? ) x 2 ? 2ax + 1nx < 0对x ∈ (1,+∞)恒成立 2 1 且h( x) = f 1( x) ? f ( x) = ? x 2 + 2ax ? a 21nx < 0对x ∈ (1,+∞)恒成立 2 1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax + 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] 令Q p`( x ) = ( 2a ? 1) x ? 2a + = …………5 分 = x x x 1 1 , 令p`( x) = 0, 得极值点x1 = 1, x 2 = 2 2a ? 1 1 当 x 2 > x1 = 1, 即 <a<1 时,在 ( x 2,+∞) 上有 p`(x)>0. 2
1)若 a >
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Http://www.fhedu.cn 此时 p(x)在 ( x 2,+∞) 上是增函数,并且在该区间上有 p ( x ) ∈ ( p ( x 2),+∞) 不合题意。 当 x 2 ≤ x1 = 1 ,即a ≥ 1时,同理可知在(, ∞)上p ( x) ∈ ( p (1),+∞)也不合题意 .7 分 1+ 2)若 a ≤

1 , 则有2a ? 1 ≤ 0,此时在区间(, ∞)上恒有p`( x) p 0 1+ 2

从而p ( x)在区间(, ∞)上是减函数; 1+ 要使p ( x) < 0在此区间上恒成立,只须满足p (1) = ?a ? ∴? 1 1 ≤a≤ 2 2 1 1 ≤ 0,∴ a ≥ ? ………9 分 2 2

a 2 ? x 2 + 2ax ? a 2 = ? 0, x x 1 1 h( x)在(, ∞)上是减函数, h( x) < h(1) = ? + 2a ≤ 0,∴ a ≤ ………12 分 1+ ∴ 2 4 1 1 综合可知a的取值范围是[? , ] 2 4 又因为h`( x) = ? x + 2a ?
另解:先考虑h(x)h`( x) = -x + 2a a2 ( x ? a)2 =? <0, x x

1 1 从而h( x)在(, ∞)上递减,只要h(1) ≤ 0, 得 - + 2a ≤ 0, 解得a ≤ 1+ 2 4 ……8 分 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] 1 而p`( x) = 对x ∈ (1,+∞)且a ≤ 有p`( x) <0 x 4

1 1 只要p(x) 0, a ? ? 2a ≤ 0, 解得a ≥ ? ≤ 2 2 1 1 1 1 ∴ ? ≤ a ≤ 即a的取值范围是[? , ] ……………………………12 分 2 4 2 4

由题意

c 1 1 = , 得c = a, 所以 F 1 F 2 = a a 2 2 又 AF 1 = AF 2 = a,由于 BF 2 = 2 BF 2,则F 1为BF 2中点 所以 AF 1 = BF 1 = F 1 F 2 = a

1 所以?ABF 2的外接圆圆心为F(- a,0 , 半径r = F 1 A = a ……2 分 1 ) 2 1 ? a ?3 2 所以 = a, 解得a = 2 2 ∴ c = 1, b 2 = a 2 ? c 2 = 3
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所求椭圆方程为

x2 y 2 + = 1. ………………………………4 分 4 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2(1,0),设 l ' 的方程为:

y = k ( x ? 1), 将直线方程与椭圆方程联立,得

y = k ( x ? 1),
………………①②

x2 4

+

y2 = 1. 3

①代入②,得 (3 + 4k 2) x + 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0. ……………………………8 分 设交点为 M ( x1, y ), N ( x , y ),

1

2

因为 3 + 4k 2? 0, 则 x1 + x =

2

8k 2 , y1 + y = k ( x1 + x 2 ? 2) .……………………………10 分 3 + 4k 2

若存在点 P (m,0) ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形, 由于菱形对角线垂直,则 ( PM + PN ).MN = 0 . 又 PM + PN = ( x1 ? m, y1) + ( x 2 ? m, y 2) = ( x1 + x 2 ? 2m, y1 + y 2) , ∵ MN 的方向向量是 (1, k ) , 故 k ( y + y ) + x + x ? 2m = 0 .

1

2

1

2

k 2(

8k 2 8k 2 ? 2) + ? 2m = 0 .……………………………12 分 3 + 4k 2 3 + 4k 2

由已知条件知 k ≠ 0 且 k ∈ R ,

k2 1 1 ∴m = . ∴ 0? m ? 2= 3 3 + 4k 4 2+4 k
故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 (0, ) .………………………14 分

1 4

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