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四川省成都七中2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版


2012-2013 学年高二数学上学期考试试题 理 新人教 A 版
考试时间:120 分钟 总分:150 分 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1.以下对于几何体的描述,错误的是( ) A.以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球. B. 一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转 180? 形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆 锥. C.用平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. D.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AB,DD1 中点,则异面直线 A1M D1 C1 与 C1N 所成的角是( ) A.0 B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

A1 N D M

B1

3.下列命题中,正确的是( ) A.经过两条相交直线,有且只有一个平面. B.经过一条直线和一点, A 有且只有一个平面. C.若平面 α 与平面 β 相交,则它们只有有限个公共点. D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 4.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,四面体 AB1CD1 的体积为( )

C B

D1 A1 B1

C1

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

5.若 a,b 是两条直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 a∥b,则 a 平行于经过 b 的任何平面. B.若 a∥α ,则 a 与 α 内任何 A 直线平行. C.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b. D.若 a∥b,a∥α ,b ? α ,则 b∥α . 6.若正方体的棱长为 2 , 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (
开始

D B

C



2 A. 6

B.

2 3

C.

3 3

2 D. 3

k=0,S=1 k=k+1

7.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) A.4 B.8 C.16 D.64 8. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是( ) A.三棱锥 B.球 C.圆柱 D.正方体


k<4 否 输出 S

S=S× 2

k

结束

9.如图,在直棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=2,∠ACB=90?,AA1=2 3 ,E,F 分别为 AB、CB 中点,过直线 EF 作棱柱的截面,若截面与平面 ABC 所成的二面角的大小为 60?,则截面的
用心 爱心 专心

1

面积为( ). A.3 或 1 B.1 C.4 或 1 D.3 或 4 10.用一个平面去截正方体,对于截面的边界,有以下图形: ①钝角三角形;②直角梯形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形。 则不可能的图形的选项为( ) A.③④⑤ B.①②⑤ C.①②④ D.②③④ 11.如图,平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,侧棱 B1 B 长为 3,底面是 边长为 2 的菱形, ?A1 AB ? 120?, ?A1 AD ? 60?, 点 E 在棱 B1 B 上, 则 AE ? C1E 的最小值为( A.
21
A1

C1

B1

A1

C E A

F

B

D1 B1 D

C1

E

) C. 2 5 D.7
A B

C

B. 5

12.三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC 是底面, PA ? PB, PA ? PC, PB ? PC, 且这四个顶点都 在半径为 2 的球面上, PA ? 2 PB, 则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为( A. 16 B. 4 70
5



C. 1 70
5

D.32

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 ) 13.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,AD=4,AA1=5,则直线 AC1 与平面 ABCD 所成角的大小 为 . 14.已知 n 次多项式 f n ( x) ? a0 x ? a1 x
n k n ?1

? ? ? a n ?1 x ? a n .秦九韶给出的一种算法中,

计算 x0 (k ? 2,3,4,?, n) 的值需要 k ? 1次算法, 计算 f 3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 f n ( x0 ) 的值共需要 15.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为_______. 16.正三棱锥 P—ABC 中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论: 次运算.

? ,π ) ; 3 ? ②若 MN⊥AM,则 PC 与平面 PAB 所成角的大小为 ; 2 ? ③过点 M 与异面直线 PA 和 BC 都成 的直线有 3 条; 4 2? ④若二面角 B—PA—C 大小为 , 则过点 N 与平面 PAC 和平面 PAB 都 3 ? 成 的直线有 3 条. 正确的序号是 . 6
①二面角 B—PA—C 大小的取值范围是(

P M C A N B

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.)
用心 爱心 专心

2

17.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为正方形 BCC1B1 的中心. D (1)求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值.
1

C1

A1

B1

F

D

C

A

E

B

18.如图,空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD, AB=AD,BC=DC. (1)求证: BD ?平面 EFGH; (2)求证:四边形 EFGH 是矩形.
B E

A

DA 的 中 点 , 且

H

G D C F

用心

爱心

专心

3

19.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 棱长为 8,E、F 分别为 AD1,CD1 中点,G、H 分别为棱 DA, DC 上动点,且 EH⊥FG. (1)求 GH 长的取值范围; (2)当 GH 取得最小值时,求证:EH 与 FG 共面;并求出此 时 EH 与 FG 的交点 P 到直线 B1 B 的距离.

20. 如图, 已知二面角 α —AB—β 的大小为 120?, PC⊥α 于 C, PD⊥β 于 D, PC=2, 且 PD=3. (1)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; P (2)求点 P 到直线 AB 的距离.

C α

B

D β A

用心

爱心

专心

4

21. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=4, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)过点 E 作截面 EFH ? 平面 A1CD ,分别交 CB 于 F, A1 B 于 H,求截面 EFH 的面积; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 600 的角?说明理由.
A

A1

D C

E B

D C

E B

图1

图2

用心

爱心

专心

5

22. 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? AC ? AA ? 5, BC ? 4 ,在 A1 在底面 ABC 的 1 投影是线段 BC 的中点 O 。 (1)求点 C 到平面 A1 ABB1 的距离; (2)求二面角 A ? BC1 ? B1 的余弦值; (3)若 M,N 分别为直线 AA1 , B1C 上动点,求 MN 的 A 最小值。

A1 B1

C1

C O B

用心

爱心

专心

6

2014 级半期考试数学(理科)试卷(参考答案) 考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:张世永 审题人:杜利超 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) CDAB DBDC ACAB 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 ) 13.
45
0

14.

1 n(n ? 3) 2

15. 57? 16. ① ② ④ 三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 17.解法一: (1)取 BC 中点 H,连结 FH,EH,设正方体棱长为 2. ∵F 为 BCC1B1 中心,E 为 AB 中点. ∴FH⊥平面 ABCD,FH=1,EH= 2 . ∴∠FEH 为直线 EF 与平面 ABCD 所成角,且 FH⊥EH. ∴tan∠FEH=

2 FH 1 = = .……6 分 EH 2 2

(2)取 A1C 中点 O,连接 OF,OA,则 OF∥AE,且 OF=AE. ∴四边形 AEFO 为平行四边形.∴AO∥EF. ∴∠AOA1 为异面直线 A1C 与 EF 所成角. ∵A1A=2,AO=A1O= 3 . ∴△AOA1 中,由余弦定理得 cos∠A1OA=

1 .……12 分 3

解法二:设正方体棱长为 2,以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,BB1 为 z 轴,建立空间 直角坐标系.则 B(0,0,0) 1(0,0,2) ,B ,E(0,1,0) ,F(1,0,1) , C(2,0,0) 1(0,2,2) ,A . (1) EF =(1,-1,1) BB1 =(0,0,2) , ,且 BB1 为平面 ABCD 的法向量. ∴cos< EF , BB1 >=

3 . 3

设直线 EF 与平面 ABCD 所成角大小为 θ . ∴sinθ =

3 2 ,从而 tanθ = .……6 分 3 2

(2)∵ A1C =(2,-2,-2) .∴cos< CA1 , EF >= ∴异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为

1 . 3

1 .……12 分 3

18.证明: (1)∵E,H 分别为 AB, DA 的中点. ∴EH∥BD,又 BD ? 平面 EFGH, EH ? 平面 EFGH,
用心 爱心 专心 7

? BD ? 平面 EFGH;……4 分
(2)取 BD 中点 O,连续 OA,OC. ∵ AB=AD,BC=DC.∴AO⊥BD,CO⊥BD, 又 AO∩CO=0.∴BD⊥平面 AOC. ∴BD⊥AC. ∵E,F,G,H 为 AB,BC,CD,DA 的中点. ∴EH∥BD,且 EH=

……7 分

1 1 BD;FG∥BD,且 FG= BD,EF∥AC. 2 2

∴EH∥FG,且 EH=FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形.……10 分 由(2)可知 AC⊥BD,又 EF∥AC,EH∥BD. ∴EF⊥EH. ∴四边形 EFGH 为矩形. ……12 分 19. 解: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 DG=a,DH=b,则 E(4,0,4) ,F(0,4,4) ,G(a,0,0) ,H(0,b,0) . ∴ EH =(-4,b,-4) FG =(a,-4,-4) , . ∵EH⊥FG. ∴ EH · FG =-4a-4b+16=0,则 a+b=4,即 b=4-a. 又 G1H 在棱 DA,DC 上,则 0≤a≤8,0≤b≤8,从而 0≤a≤4.
2 2 ∴GH= a ? b = a ? ( 4 ? a ) ?

2

2

2( a ? 2) 2 ? 8 .
……6 分

∴GH 取值范围是[2 2 ,4] . (2)当 GH=2 2 时,a=2,b=2.

∴ GH =(-2,2,0) EF =(-4,4,0) , ,即 EF =2 GH . ∴EF∥GH,即 EH 与 FG 共面. 所以 EF=2GH,EF∥GH,则 EP ?

2 8? ? 8 4 EH ? ? ? , , ? ?. 3 3? ? 3 3

设 P(x1,y1,z1) ,则 EP =(x1-4,y,z1-4) .

4 4 4 4 4 4 ,y1= ,z1= ,即 P( , , ) . 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 则 P( , , )在底面上 ABCD 上的射影为 M( , ,0).又 B(8,8,0) , 3 3 3 3 3 20 所以 MB ? ……12 分 2 为点 P 到直线 B1B 的距离. 3
∴x1= 20.解: (1)∵PC⊥α 于 C,PD⊥β 于 D. ∴PC⊥AB,PD⊥AB.又 PC∩PD=D.
C B P

用心

爱心

专心

α E β A D

8

∴AB⊥平面 PCD. ∴AB⊥CD,即异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 90?. (2)设平面 ACD 与直线 AB 交于点 E,连结 CE,DE,PE 由(1)可知,AB⊥平面 PCD. ∴AB⊥CE,AB⊥DE,AB⊥PE. ∴∠CED 为二面角 α —AB—β 的平面角,……8 分 从而∠CED=120?. ∵PC⊥α ,PD⊥β .∴PC⊥CE,PD⊥DE. ∴∠CPD=60?.又 PC=2,PD=3.
2

……6 分

∴由余弦定理,得 CD =4+9-12cos60?=7,从而 CD= 7 .……10 分 ∵PE 为四边形 PCED 的外接圆直径. ∴由正弦定理,得 PE=

CD 2 = 21 . sin 60? 3

……12 分

21. 解: (1)? CD ? DE , A1 D ? DE, ? DE ? 平面 A1CD . 又? A1C ? 平面 A1CD , ? A1C ? DE . 又 A1C ? CD , ? A1C ? 平面 BCDE ……4 分

(2) )过点 E 作 EF∥CD 交 BC 于 F, 过点 F 作 FH∥ A1C 交 A1 B 于 H,连结 EH. 则截面 EFH ? 平面 A1CD 。
1 3 因为四边形 EFCD 为矩形,所以 EF=CD=1,CF=DE=4,从而 FB=2,HF= A1C ? . 3 3
? A1C ? 平面 BCDE , FH∥ A1C ,?HF ? 平面 BCDE ,? HF ? FE.

? S? HFE ?

3 . 6

……8 分

(3) 假设线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 600 的角。 设 P 点坐标为 ? a,0, 0 ? ,则 a ? ? 0 , 6? .

如图建系 C ? xyz ,则 D ? 0, 1, 0 ? , A 0 , 0 ,

?

3 , B ? 6,0, 0 ? , E ? 4,1, 0 ? .
z A1 y D C E B x

?

??? ? ???? ∴ A1 B ? 6, 0, ? 3 , BE ? ? ?2 ,1, 0 ? .

?

?

? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y ,z ? ,
???? ? ? A1 B ? n ? 0 ? , 则 ? ??? ? ? ? BE ? n ? 0 ?

? ?6 x ? 3 z ? 0 ? z ? 2 3 x ? ? ∴? ,∴ n ? 1, 2, 2 3 , ? ??2 x ? y ? 0 ? y ? 2x ? ?

?

?

?? ? ???? ???? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,因为 A1 P ? a ,0 ? 3 , DP ? ? a, ? 1,0 ?

?

?

.

用心

爱心

专心

9

? ?? ? ?ax ? 3z1 ? 0 ? z1 ? 3 ax1 ? 则? 1 ∴? , ∴ n1 ? 3, 3a, 3a . 3 ?ax1 ? y1 ? 0 ? ? y ? ax ? 1 1

?

?

?? ? ? ?? ? ? n ?n 3a ? 12 1 ?? 1 ? ? ? 则 cos ? n1 , n ?? ? , ∴56 56a2 ? 96a ? 141 ? 0, , 2 | n1 | ? | n | 17 ? 12a ? 9 2

解得 a ?

24 ? 717 28

∵0?a?6

∴a ?

24 ? 717 28

所以存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 成 600 的角. ……12 分

22.解: 1) ( 连接 AO, 因为 A1O ? 平面 ABC,所以 AO ? BC ,因为 AB ? AC , OB ? OC , 1 得 AO ? BC , AO ?

AB 2 ? BO 2 ? 1, 在 ?AOA1 中, A1O ? 2,

在 ?BOA1 中, A1 B ? 2 2, 则 S ?A1 AB ? 设点 C 到平面 A1 ABB1 的距离为 h,

6. 又 S?C AB ? 2.

则由 VC ? A1 AB ? VA1 ? ABC 得, S?A1 AB ? h ?

1 3

1 2 S?C AB ? A1O. 从而 h ? 6. ……4 分 3 3

(2)如图所示,分别以 OA, OB, OA1 所在的直线 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0), B1 (?1, 2, 2) , C1 (?1, ?2, 2) 设平面 BCC1 B1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,
???? ??? ? 又 BB1 ? ? ?1 ,0, 2 ? , CB ? ? 0,4 , 0 ? .

.

?

z A1 B1 C1

? ???? ?n?BB1 ? 0 ?? x ? 2 z ? 0 ? 由 ? ? ??? ,得 ? , ? ?4 y ? 0 CB ? n? ? 0 ? ? 令 z ? 1,得 x ? 2, y ? 0 ,即 n ? (2, 0,1) 。

x A O y B

C

?? ??? ? ???? ? 设平面 ABC1 的法向量 m ? (a, b, c) , 又 AB ? ? ?1 , 2, 0 ? , AC1 ? ? -2,-2, 2 ? .

?? ??? ? ?? ?m?AB ? 0 ??a ? 2b ? 0 ? 由 ? ?? ???? ,得 ? ,令 b ? 1,得 a ? 2, c ? 3 ,即 m ? (2,1,3) 。 ? ??2a ? 2b ? 2c ? 0 ?m?AC1 ? 0 ? ?? ? ?? ? m?n 70 ?? ? ? 所以 cos ? m, n ?? ??? ,……7 分 | m | ? | n | 10
用心 爱心 专心 10

由图形观察可知,二面角 A ? BC1 ? B1 为钝角, 所以二面角 A ? BC1 ? B1 的余弦值是 ?

70 . ……9 分 10

(3)方法 1.在 ?AOA1 中,作 OE ? AA1 于点 E,因为 AA1 // BB1 ,得 OE ? BB1 . 因为 A1O ? 平面 ABC,所以 AO ? BC ,因为 AB ? AC , OB ? OC , 1 得 AO ? BC ,所以 BC ? 平面 AA1O ,所以 BC ? OE , 所以 OE ? 平面 BB1C1C .从而 OE ? B1C

2 5 为异面直线 AA1 , B1C 的距离,即为 MN 的最小值。……14 分 5 ? ? ???? ? ???? ? 方法 2.设向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,且 n1 ? AA1 , n1 ? B1C.
在 ?AOA1 中, OE ?
???? ???? ? ? AA1 ? ? ?1 ,0, 2 ? , B1C ? ?1 , ?4, ? 2 ? .

? ???? ? ?????? ? ? n1 ?AA1 ? ? x1 ? 2 z1 ? 0, n1 ?B1C ?x1 ? 4 y1 ? 2 z1 ? 0.
? ???? 令 z1 ? 1 ,得 x1 ? 2, y1 ? 0 ,即 n1 ? (2, 0,1) 。? AC ? ? -1,-2, 0 ? .

???? ?? AC ?n1 2 ??? ? 5, 即为 MN 的最小值。……14 分 所以异面直线 AA1 , B1C 的距离 d ? 5 | n1 |

用心

爱心

专心

11


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