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2015届四川省泸州市高三上学期第一次诊断性考试文科数学


2015 届四川省泸州市高三上学期第一次诊断性考试文科数学
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

一、选择题(每小题 5 分,10 个小题共计 50 分) 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 A A、 {x | ?1 ? x ? 0}
x 2.函数 y ? ( ) ?

B?(



B、 {x | 0 ? x ? 3}

C、 {x | x ? 0} )
y

D、 {x | x ? 3}

1 2

1 的图象可能是( 2

y

y

1 x O 1

1 1

1
x

O 1

x

y

1 O 1

x

A、

B、

C、 )

D、

3.下列函数中,在 (0, ??) 上单调递减的是( A、 f ( x) ? ln x C、 f ( x) ? x
3

B、 f ( x) ? ( x ? 1) D、 f ( x ) ?

2

1 x ?1

4.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x ? x ,则下列说法中正确 的是( ) A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? (?q) 是真命题
3

B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? (?q) 是假命题

5. 设函数 f ( x) ? ax ? 3x , 其图象在点 (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直, 则直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( )

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A、 1 6.若

B、 3

C、 9 )

D、 12

cos 2?

sin(? ? ) 4
A、

?

?

1 ,则 sin 2? 的值为( 2
B、 ?

7 4 4 C、 ? D、 8 7 7 7 . 已 知 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 个 点 P , 满 足
,则 PA? PB ? PC

7 8

| PD | 的值为( | AD |
B、



A、

1 2

1 3

C、 1

D、 2

8.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A 、 B 两种菜可供选择。调查表明, 凡是在这星期一选 A 菜的,下星期一会有 20% 改选 B 菜;而选 B 菜的,下星期一会有

30% 改选 A 菜。用 an 表示第 n 个星期一选 A 的人数,如果 a1 ? 428 ,则 a4 的值为
( ) A、 324 B、 316 C、 304 D、 302 )

2 2 2 9.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b 的取值范围是(

A、 [?1,1] 10. 已知函数 f ( x) ? ?

B、 [ ? , 0]

1 3

C、 [0, ]

4 3

D、 [0, 2]

?2? | x ? 2 |, 0 ? x ? 4, , 若存在 x1 , x2 , 当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, x ?2 4? x?6 ? 2 ? 3,
) C 、 [1, 6] D、

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是(
A 、 [0,1) B 、 [1, 4]

[0,1] [3,8]

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第 II 卷(非选择题)

二、填空题(每小题 5 分,5 个小题共计 25 分) 11.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ____________。 12 . 已 知 点 A(1, 3 ) , B(4, ?1) , 则 与 向 量 AB 方 向 相 同 的 单 位 向 量 的 坐 标 为 ____________. 13.已知数列 {an } 为等差数列,a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,a1 、a2 、a5 成等比数列,则 a2014 的值为____________. 14.若函数 f ( x) ? ?

log a x, 0 ? x ?1 ? 在 (0, ??) 上是增函数,那么 a 的取值 x ?1 ?(a ? 2) x ? 3a ? 8,

范围是____________. 15.设非空集合 A ,若对 A 中任意两个元素 a , b ,通过某个法则“ ” ,使 A 中有唯 一确定的元素 c 与之对应,则称法则“ ”为集合 A 上的一个代数运算。若 A 上的代数 运算 “ ” 还满足: (1) 对 ?a, b, c ? A , 都有 (a b) c ? a (b c) ; ( 2) 对 ?a ? A , ?e, b ? A , 使得 e a ? a e ? a , a b ? b a ? e 。称 A 关于法则“ ”构成一个群。给出下列命题: ①实数的除法是实数集上的一个代数运算; ②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群; ③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群;
b ④正整数集关于法则 a b ? a 构成一个群。

其中正确命题的序号是____________。 (填上所有正确命题的序号) 。 三、解答题(6 个小题共计 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数 分别为 36, 24,12 ,现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学 习部活动现状”调查。 (1)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (2)若从抽取的 6 名干事中随机选 2 ,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率。 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若 。 3a c o sC ? c s i nA (1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2
?

18. (本小题满分 12 分) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, 且对任意 n ? N 时, 点 (an , Sn )
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都在函数 f ( x) ? ?

1 1 x ? 的图象上。 2 2

(1)求数列 {an } 的通项公式;

3 log 3 (1 ? 2 Sn ) ? 10 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。 2 1 1 ? . 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ?1 2
(2)设 bn ? (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2)若对于任意 x ? [2, 4] ,不等式 f ( 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , | ? |? 邻两对称轴间的距离为 称.

x ?1 m )? f( ) 恒成立,求正实数 m x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

?
2

)图象的相

? ? , 若将函数 f ( x ) 的图象向左平移 个单位后图象关于 y 轴对 2 6

1 成立的 x 的取值范围; 2 ? 1 1 (2)设 g ( x) ? ? g '( ) sin( ? x) ? 3 cos( ? x) ,其中 g '( x ) 是 g ( x) 的导函数,若 3 2 2 2 ? 2? g ( x ) ? ,且 ? x ? ,求 cos x 的值. 7 2 3 1 2 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a , g ( x) ? x ? ( a ? 1) x . 2
(1)求使 f ( x ) ? (1)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间; (2)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围并证明 增大而减小.

x2 随a的 x1

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由已知 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,所以 A A. 考点:集合的基本运算. 2.D 【解析】 试题分析:因为 x ? 1 时, y ? 0 ,所以图象过点 P(1, 0) ,选 D. 考点:函数的图象. 3.D 【解析】 试题分析:据题意, f ( x ) 在 (0, ??) 为减函数,只有 C.. 考点:函数的单调性. 4.C 【解析】 试题分析:命题 p 为真命题.对命题 q , 当x? 真命题.所以 C 正确. 考点:逻辑与命题. 5.B 【解析】 试 题 分 析 : f ?( x)? 3a x ?
2

B ? {x | ?1 ? x ? 0} ,选

1 1 1 时, x ? ? x ? ,故为假命题,? q 为 4 2 4

, 由 题 设 得 f ?(1) ? ?6,?3a ? 3 ? ?6, a ? ?3 . 所 以 3

f ( x)? ? 33x ? 3x , f ( 1 ?, ) 切线 0 l 的方程为 y ? 0 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 6 .所以直线 l
与坐标轴围成的三角形的面积为: S ?

1 ? 1? 6 ? 3 .选 B. 2

考点:1、导数的应用;2、三角形的面积. 6.A 【解析】 试题分析:由已知得:

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 2 ,再平方得 ? , cos ? ? sin ? ? 2 4 2 2 sin ? ? cos ? 2 2

1 7 1 ? 2 cos ? sin ? ? ,? sin 2? ? .所以选 A. 8 8
考点:三角恒等变换. 7.C 【解析】 试题分析:如图,四边形 PBAC 是平行四边形,D 为边 BC 的中点,所以 D 为边 PA 的中点,
答案第 1 页,总 10 页

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| PD | | AD |

的值为 1.

C D P
考点:向量加法的几何意义. 8.B 【解析】 试题分析:依题意有: an ? 即

A

B

4 3 1 an ?1 ? (500 ? an ?1 ) ? an ?1 ? 150(n ≥ 2, n ? N* ) , 5 10 2 1 1 an ? 300 ? (an ?1 ? 300)(n ≥ 2, n ? N* ) an ? 128 ? ( )n ?1 ? 300 , . 2 2





1 a4 ? 128 ? ( )3 ? 300 ? 316 . 2
考点:递推数列,等比数列. 9.C 【解析】 试题分析:由 ?

?a ? b ? c ? 1
2 2 2

?a ? b ? 1? c ?a ? b ? 1 ? c 得: ? 2 ,所以 a,b 是一元二 2 2 2 ,即 ? ?a ? b ? c ? 1 ?ab ? c ?c ?a ? b ? 1 ? c







x2 ? (1 ? c) x ? c 2 ? c ? 0















1 4 4 (1 ? c)2 ? 4(c2 ? c) ? 0,?? ? c ? 1,0 ? 1 ? c ? , ,所以 a ? b 的取值范围是 [0, ] . 3 3 3
考点:函数与方程. 10.B 【解析】 试 题 分 析 : 当 0 ≤ x1 ? 4 ≤ x2 ≤ 6 时 , 因 为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 , 得 到 x1 的 取 值 范 围 是 [1, 3] , 所 以
?x 2 , 1 ≤ x ? 2, ? x1 ? f ( x ) ? ? x ?21 )?? 1 2 1 即 x1 ? f ( x2 ) 的范围是 [1, 4] . 2 x ? f ( x1 ) ? x (2 1 ? x ? 4 x , 2 ≤ x ? 3. ? ? 1 1

考点:1、分段函数;2、不等关系. 11. ?1? i 【解析】 试题分析: z ?

2i 2i (1 ? i ) ? ? ?1 ? i . 1? i 1?1

考点:复数的基本运算.
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12. ( , ? ) 【解析】 试 题 分 析 : AB ? (3, ?4) , 所 以 与 向 量 AB 方 向 相 同 的 单 位 向 量

3 5

4 5

n?

(3, ?4) (3, ?4) 3 4 ? ? ( ,? ). 5 5 5 9 ? 16

考点:向量的基本概念及运算. 13. 4027 【解析】
2 试题分析:由已知得 a2 ? a1a5 ,?(1 ? d )2 ? 1? 4d , d ? 2,?a2014 ? 1? 2013? 2 ? 4027 .

考点:等差数列与等比数列. 14. (2,3] 【解析】

?a ? 1 ? ? 2 ? a ? 3. 试题分析:据题意得: ? a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3a ? 8 ? 0 ?
考点:分段函数的单调性. 15.②③ 【解析】 试题分析:① 因为 a ? 0 没有意义,故命题错误; ② 自然数的加法是一个代数运算,加法满足结合律(1) 、 (2)有单位元 0、但不满足使

a ? b ? 0 ,故命题正确;
③有理数集的乘法是一个代数运算,满足(1) 、 (2) ,有单位元 1、存在逆元使 a ? 故命题正确; ④ 是代数运算,运算不满足(1).如 (2 1) 2 ? 2 成群. 考点:1、新定义;2、数学运算. 16. (1)应从 M,N,S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1; (2) P( A) ? 【解析】 试题分析: (1)分层抽样就是按比例抽样,据题意得抽样比为:
6 1 ? ,由此可得 36 ? 24 ? 12 12 4 . 15
1

1 ? 1, a

2 ? 4, 2 (1 2) ? 2 12 ? 2 ,所以不构

从 M,N,S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1; (2)首先将抽到的 6 名干事编 号,来自高校 M 的 3 名分别记为 1、2、3,来自高校 N 的 2 名分别记为 a、b,来自高校 S 的 1 名记为 c.再将选出 2 名干事的所有可能结果一一列举出来.设 A={所选 2 名干事来自同 一高校},数出事件 A 的所有可能结果,由古典概型的概率公式即可得所求概率.

答案第 3 页,总 10 页

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试题解析: (1)抽样比为:

6 1 ? , 1分 36 ? 24 ? 12 12

故应从 M,N,S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1; 4 分 (2)在抽取到的 6 名干事中,来自高校 M 的 3 名分别记为 1、2、3, 来自高校 N 的 2 名分别记为 a、b,来自高校 S 的 1 名记为 c, 5 分 则选出 2 名干事的所有可能结果为: {1,2},{1,3},{1, a },{1, b },{1,c}, {2,3},{2,a}, {2,b},{2,c}, {3,a},{3,b },{3,c }, { a,b },{ a , c }, { b ,c}共 15 种 . 8 分 设 A={所选 2 名干事来自同一高校}, 事件 A 的所有可能结果为{1,2},{1,3}, {2,3},{a,b},共 4 种, 10 分 所以 P( A) ?
4 . 12 分 15

考点:1、古典概型;2、超几何分布的分布列及期望. 17. (1) C ? 【解析】 试题分析: (1) 根据正弦定理: 3a cos C ? c sin A 可化为 3 sin A cos C ? sin C sin A , 约掉 sin A ? ? 得 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 ,从而得 C ? ; (2)因为 a ? 3 , C ? , △ ABC 的面积
3 3

?
3

; (2)-1.



3 3 , 2
1 ? 3 3 ? 3b s i n ? , 由 此 得 b?2 , 再 由 余 弦 定 理 可 得 c? 7 , 从 而 求 得 2 3 2
22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ? 7 , 14

所以

cos A ?

7 ) ? ?1 . 14 试题解析: (1)∵ 3a cos C ? c sin A ,

所以 CA AB ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , 2 分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , 3 分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , 5 分 ? 又 0 ? C ? ? ,∴ C ? ; 6 分
3

(2)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为 ∴ ? 3b sin
1 2

3 3 , 2

?
3

?

3 3 , 7分 2

∴b ? 2 , 8 分
c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos

?
3

? 7 ,即 c ? 7 , 9 分

答案第 4 页,总 10 页

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cos A ?

22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7

?

7 , 10 分 14

∴ CA AB ? bc cos(? ? A) 11 分
7 ) ? ?1 . 12 分 14 考点:解三角形. ? 2 ? 7 ? (?

1 57 an ? ( ) n T6 ? ?b ? 3 ; 2 . 18. (1) (2)数列 n 的前 n 项和的最大值为
【解析】
1 1 1 1 f ( x) ? ? x ? Sn ? ? an ? 2 2得 2 2 ,当 n ≥ 2 时, 试题分析: (1)将点 的坐标代入函数 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ?1 ? ? an ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? ? an ?1 ? ? ? an ? an ?1 2 2 , 将两等式相减得: 2 2 2 2 2 2 ,即
(an , Sn )

1 1 1 an ? an ?1 3 ,这是一个公比为 3 ,首项为 3 的等比数列,由等比数列的通项公式得其通项公
1 1 (1 ? n ) 3 ? 1 (1 ? 1 ) Sn ? 3 1 3 3 2 3n 1? bn ? log3 (1 ? 2Sn ) ? 10 ? ? n ? 10 3 2 2 式.(2)据(1)可得 ,从而得 ,

?b ? 显然数列 n 是以
项相加即为和

17 3 ? 2 为首项,公差为 2 的等差数列,且单调递减,所以将前面为正的所有

Tn 的最大值.

1 1 试题解析: (1)因为点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ? x ? 的图象上. 2 2 1 1 Sn ? ? an ? 2 2 , 1分 所以
1 1 1 S1 ? a1 ? a1 ? S1 ? a1 ? 3, 2分 2 2, 当 n ? 1 时, 1 1 Sn ?1 ? ? an ?1 ? n ≥ 2 2 2, 3分 当 时,

1 1 1 1 1 1 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? ? an ?1 ? ? ? an ? an ?1 2 2 2 2 2 2 所以 , 4分 1 ? an ? an ?1 3 ,

? ? an ?

1 1 是公比为 3 ,首项为 3 的等比数列,

1 ? an ? ( )n 3 ; 5分

?a ? (2)因为 n 是公比为 3 ,首项为 3 的等比数列,
答案第 5 页,总 10 页

1

1

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1 1 (1 ? n ) 3 ? 1 (1 ? 1 ) Sn ? 3 1 2 3n 1? 3 所以 , 7分

3 3 bn ? log3 (1 ? 2Sn ) ? 10 ? ? n ? 10 2 2 ∴ , 8分 3 bn ?1 ? bn ? ? 2, ∵

?b ? ∴数列 n 是以

?bn ≥ 0 ? ?bn ?1 < 0

17 3 ? 2 为首项,公差为 2 的等差数列,且单调递减 9 分

,

? 3 ? n ? 10 ≥ 0 ? ? 2 ? 1 2 ?? 3 (n ? 1) ? 10 ? 0 5 ?n?6 ? 3 , 10 分 所以 ? 2 ,即 3 ∴ n ? 6 , 11 分

T6 ? ( ?b ? 2 2 数列 n 的前 n 项和的最大值为

1 17

? 1) ? 6 ?

57 2 . 12 分

考点:1、等差数列与等比数列;2、最值问题. 19. (1)f (x)在定义域上是奇函数; (2) m 的取值范围是 (0,15) . 【解析】 试题分析: (1)判断奇偶性,首先求定义域,看定义域是否关于原点对称.然后再看是满足
f ? ? x ? ? ? f ( x) 还是 f ? ? x ? ? f ( x) .若满足 f ? ? x ? ? ? f ( x) , 则是奇函数; 若满足 f ? ? x ? ? f ( x) ,

则为偶函数.(2)对不等式 f (

x ?1 m )? f( ) ,应根据函数 f ( x) 的单调性转化 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)
2 x ln 2 ,当 x ? (?? ,0) (2 x ? 1) 2

为普通不等式.所以首先利用导数判断 f ( x) 的单调性.由于 f ? ? x ? ? ? 或 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? ?

2 x ln 2 ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 (??,0),(0, ??) 上是减函数,因 (2 x ? 1)2

为 x ∈ [2,4] 且 m>0 , 所 以

x ?1 m x ?1 m ?0, ? 0, 由 f ( )? f ( x ?1 x ?1 ( x ? 1 2) (? 7x ) ( x ? 1 2) (? 7x

) 得 )

x ?1 m ? ,即 m<(x+1) (x-1) (7-x)在 x ? [2, 4] 恒成立.设 g(x)=(x+1) x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

(x-1) (7-x) , x ? [2, 4] ,这样 m ? g ( x)min 即可. 试题解析: (1)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? R 且 x ? 0 , ∴函数的定义域为 (??, 0) (0, ??) , 1 分 当 x ? (??, 0) (0, ??) 时, f ? x ? ?
f ??x? ? 1 1 2x ? 1 ? ? , 2分 2 x ? 1 2 2(2 x ? 1)

2? x ? 1 1 ? 2x ? , 3分 2(2? x ? 1) 2(1 ? 2 x )

答案第 6 页,总 10 页

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所以 f ? ? x ? ? ? f ( x) , 4 分 ∴f (x)在定义域上是奇函数; 5 分 (2)由于 f ? ? x ? ? ?
2 x ln 2 , (2 x ? 1) 2 2 x ln 2 ? 0 恒成立, (2 x ? 1) 2

当 x ? (??,0) 或 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? ?

所以 f ? x ? 在 (??,0),(0, ??) 上是减函数, 6 分 因为 x∈[2,4]且 m>0,所以 由 f( 所以
x ?1 m ? 0, ? 0, 7 分 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x )

x ?1 m )? f( ) 及 f ? x ? 在 (0, ??) 上是减函数, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) x ?1 m ? , 8分 x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

因为 x∈[2,4],所以 m<(x+1) (x-1) (7-x)在 x ? [2, 4] 恒成立. 9 分 3 2 x 设 g(x)=(x+1) (x-1) (7-x) , ? [2, 4] ,则 g(x)=-x +7x +x-7, 10 分
7 ? 2 52 ? 2 所以 g′(x)=-3x +14x+1=-3 ? x ? ? + , 3? 3 ? 所以当 x ? [2, 4] 时,g′(x)>0 . 所以 y=g(x)在 [2, 4] 上是增函数,g(x)min=g(2)=15 . 11 分 综上知符合条件的 m 的取值范围是 (0,15) . 12 分

考点:1、函数的奇偶性;2、导数的应用.
3 3 ? 20. (1) x 的取值范围是 [k? ,k? ? ](k ? Z) ; (2) cos x ? ? . 3 14 【解析】

? 试题分析: (1)函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 图象的相邻两对称轴间的距离为半个周 2
期,所以可求得周期 T ? ? ,从而可求得 ? ? 向左平移
2?

?

? 2 ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) .将 f ( x) 的图象

? ? ? 个单位后得到的函数为 y ? sin(2x ? ? ? ) ,因为 y ? sin(2 x ? ? ?) 图象关于 y 轴 3 3 6

对称,所以

?
3

? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z) ,又 ? ?

?
2

,所以 ? ?

?

1 ? ,即 f (x) ?sin(2 x ? ) .由 f ( x) ≥ 2 6 6

? 1 ? ? 5? 得: sin(2 x ? ) ≥ ,即 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? (k ? Z) ,从而可得 x 的取值范围; (2)
6 2 6 6 6

? ? 1 1 首 先 想 法 求 出 g ?( ) , 为 此 将 函 数 g ( x) ? ? g ?( )sin( ? x) ? 3 cos( ? x) 求 导 得
3 3 2 2 g ?( x) ? ? g ?( )cos x ? 3 sin x .令 x ? 得 g ?( ) ? ? g ?( )cos ? 3 sin ,解得 g ?( ) ? ?1 ,这 3 3 3 3 3 3 3

?

?

?

?

?

?

?

? 样便可得 g ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) .
3

由于 g ( x) ?

2 ? 1 ? ? ,所以 sin( x ? ) ? ,利用 cos x ? cos[( x ? ) ? ] ,展开便可求得 cos x 的值. 3 7 3 3 7

答案第 7 页,总 10 页

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? ? 试题解析: (1) 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 图象的相邻两对称轴间的距离 , 2 2
∴函数的周期 T ? ? , ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 将 f ( x) 的图象向左平移 ∵ y ? sin(2x ? ∴
? ? 个单位后得到的函数为 y ? sin(2x ? ? ? ) , 2 分 3 6
2?

?

?2, 1分

?
3

? ? ) 图象关于 y 轴对称,

?
3

? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z) ,又 ? ?

?
2

, 3分

∴? ?

?
6

? ,即 f ( x) ? sin(2 x ? ) , 4 分
6

1 ? 1 ? ? 5? 由 f ( x) ≥ 得: sin(2 x ? ) ≥ ,即 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? (k ? Z) , 5 分 2 6 2 6 6 6 1 ? ∴使 f ( x) ≥ 的 x 的取值范围是 [k? ,k? ? ](k ? Z) ; 6 分 2 3

? 1 1 (2)∵ g ( x) ? ? g ?( )sin( ? x) ? 3 cos( ? x) ,
3 2 2

? ∴ g ?( x) ? ? g ?( )cos x ? 3 sin x , 7 分
3

令x?

?
3

? ? ? ? 得 g ?( ) ? ? g ?( )cos ? 3 sin , 9 分
3 3 3 3

? ? 解得 g ?( ) ? ?1 ,所以 g ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , 10 分
3 3

∵ g ( x) ? ∵

2 ? 1 ,∴ sin( x ? ) ? , 3 7 7 2? 5? ? ,∴ ? x ? ? ? , 11 分 3 6 3
3 7

?
2

?x?

? 4 3 ∴ cos( x ? ) ? ? , 12 分

∴ cos x ? cos( x ?

?
3

? 4 3 1 1 3 3 3 ? )?? ? ? ? ?? . 13 分 3 7 2 7 2 14
a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ), ( , ??) ; (2) a 的取值范围是 (0,e?1 ) . 2 2

考点:1、三角函数的性质;2、三角恒等变换.
h( x) 的单调递增区间为 (0, 21. (1)

证明详见解析. 【解析】
1 试题分析: (1) 导数大于 0, 则为增函数, 导数小于 0 则为减函数.将 h( x) ? ln x ? x2 ? ax ? ln a 2

1 1 1 a 4?a 求导得 h?( x) ? ? x ? a ? ( x2 ? ax ? 1) ? [( x ? )2 ? ) ,当 0 ? a ≤ 4 时, h?( x) ≥ 0 对 x ? 0 x x x 2 4

2

答案第 8 页,总 10 页

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恒成立, h( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ;当 a ? 4 时,由 h?( x) ? 0 得: x ?
x?

a ? a2 ? 4 ,或 2

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ),( , ??) ; , 所 以 h( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, (2) 2 2 2

f ?? x? ?

1 1? x ,得 x ? 1 .显然 x ? 1 是 f ? x ? 的极大值点,要使得 f ? x ? 有两个零点,必须 ?1 ? x x

f ?1? >0, 即 ln a ? 1 ,从而得 a 的取值范围是 (0,e?1 ) . x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,所以
ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 , 则a ?

x x1 x x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? .设 F ? x ? ? x , , a ? x22 , e e e x1

则 F ?? x? ?

1? x , 所 以 F ? x ? 在 (0,1) 上 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 上 单 调 递 减 . 对 于 任 意 的 ex

a ? (0, e?1 ) ,方程 a ?

x 都有两个解,这两个解就是 x1 , x2 .如下图: ex

y
1 1/e a O

–1

x1

1

2 x2

3

x

?1 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a2 , 设 a–1 设 a1 ? a2 , 则必有 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a1 , 其中 0 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ; 1 , a2 ? ? 0, e ? ,

其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 .因为 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 故由 a1 ? a2 , 即 F ??1 ? ? F ??1 ? , 可得 ?1 ? ?1 ; 类似可得 ?2 ? ?2 ,由 ?1 ,?1 ? 0 ,则
? ? x 1 1 ? ,所以 2 ? 2 .这说明 2 随着 a 的增大而减小. ? 1 ?1 ?1 ?1 x1

1 试题解析: (1) ∵ h( x) ? ln x ? x2 ? ax ? ln a ,所以定义域为 (0, ??) 且 a ? 0 , 1 分 2

1 1 1 a 4?a 因为 h?( x) ? ? x ? a ? ( x2 ? ax ? 1) ? [( x ? )2 ? ), x x x 2 4

2

(1)当 4 ? a 2 ≥ 0 ,又 a ? 0 ,即 0 ? a ≤ 4 时, h?( x) ≥ 0 对 x ? 0 恒成立, ∴ h( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; 2 分 (2)当 4 ? a 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,即 a ? 4 时, 由 h?( x) ? 0 得: x ?
a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,或 x ? , 3分 2 2 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ) ,( , ??) ; 4 分 2 2

所以 h( x) 的单调递增区间为 (0,
1 x

(2)当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? ? 1 ?

1? x ,得 x ? 1 . x

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

答案第 9 页,总 10 页

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x

? 0,1?
+ ↗

1 0
? ln a ? 1

(1, ??)

f ?? x? f ? x?

- ↘

这时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . 5 分 当 x 大于 0 且无限趋近于 0 时, f ? x ? 的值无限趋近于 ?? ; 当 x 无限趋近于 0 时 ?? , f ? x ? 的值无限趋近于 ?? , 6 分 所以 f ? x ? 有两个零点,须满足 f ?1? >0,即 ln a ? 1 , 7 分 所以 a 的取值范围是 (0,e?1 ) . 8 分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 , 则a ?
x x1 , a ? x2 , 9 分 x1 e2 e

因为 f ?1? ? ?1 ? ln a 且 a ? (0, e?1 ) ,则得 x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? . 设 F ? x? ?
x 1? x ,则 F ? ? x ? ? x , ex e

所以 F ? x ? 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. 10 分 对于任意的 a1 , a2 ? ? 0, e?1 ? ,设 a1 ? a2 , 故 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a1 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ;
F ??1 ? ? F ??2 ? ? a2 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 . 11 分

因为 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 F ??1 ? ? F ??1 ? , 可得 ?1 ? ?1 ;类似可得 ?2 ? ?2 , 12 分 由 ?1 ,?1 ? 0 ,则 所以,
1

?1

?

1

?1

,所以

?2 ?2 ? . 13 分 ?1 ?1

x2 随着 a 的增大而减小. x1

考点:导数与不等式.

答案第 10 页,总 10 页


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