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江苏省吴江市汾湖高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


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高一下学期期中考试数学试题
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题 卷相 .. .. 应的位置上 ..... 1、 sin 120 =
?



.

2、不等式 x( x ? 1) ? 0 的解集为



.

3、已知 ? ? (0, ? ) , cos ? ? ?

4 ? ,则 sin(? ? ) ? 5 3



.

4、数列 ?an ? 中, a1 ? 5, an ?1 ? an ? 2, n ? N * ,那么此数列的前 10 项和 S10 =



5、在 ?ABC 中,∠ A ,∠ B ,∠ C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? 1 , b ? 3 , ?C ? 30? ,则

?ABC 的面积是



. ▲ .

6、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C ?

? 2x ? y ? 3 ?x ? y ? 3 ? 0 ? 7、已知实数 x , y 满足条件 ? ,则 x ? 3 y 的最大值为 x ? 0 ? ? y?0 ?
8、若 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) ? 9、在 ?ABC 中,已知 sin A ? 2sin B cos C ,则 ?ABC 的形状为



.



.



. ▲ .

10、已知等差数列前 10 项的和为 10 ,前 20 项的和为 30 ,则前 40 项的和为

11、已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y



.

12、函数 y ? 3sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 5cos 2 x 的值域为 13、数列 1 ,3 ,5 , 7



.

1 2

1 4

1 8

1 , ??? 的前 n 项和 S n ? 16



.

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14、如图,互不相同的点 A1, A2 ..., An ,...和 B1, B2 ...,Bn ,... 分别在角 O 的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积均相等.设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列

?an ? 的通项公式是



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题卷的指定区域内。 15、 (本题满分 14 分) 已知 ? 是第一象限角,且 cos ? ? (1)求 sin 2? 的值

5 13

) 4 (2)求 的值 cos( 2? ? 4? )

sin(? ?

?

16、 (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (1)求△ABC 的面积; (2)若 c=1,求 a 的值.

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 2 5

17、 (本题满分 15 分) 在等比数列 {an } 中

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(1) 已知 a3 ? 20 , a6 ? 160,求 an (2) 已知 S 3 ?

7 63 , S6 ? ,求 an 2 2

(3) 已知 a1 ?a n ? 66 , a2 a n?1 ? 128, Sn ? 126,求 n 和 q 18、 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 (1)若对于 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x ? [1,3] , f ( x) ? 5 ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19、 (本题满分 16 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定.大桥上 的车距 d ( m) 与车速 v(km / h) 和车身长 l (m) 的关系满足: d ? kv l ?
2

1 l ( k 为正的常数) , 2

假定车身长为 4(m) ,当车速为 60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长. (1) 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2) 应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

20、 (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) (1)求证: {an ? 2} 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项 an (3) 若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

1 3 bn } 的前 n 项和, 求证 ? Tn ? 2 2 an ? 2

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2013-2014 学年第二学期汾湖高级中学期中考试试卷 高一数学(答案)
2014.4

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤 15、解: (1)因为 ? 是第一象限角,所以 sin a ? 1 ? cos ? ?
2

12 -----------3 分 13

所以 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? (2)

5 12 120 ? ? -----------6 分 13 13 169

2 2 2 (cos? ? sin ? ) (cos? ? sin ? ) 13 2 4 ? 2 2 ? 2 2 ? ?? 2 cos(2? ? 4? ) cos 2? cos? ? sin ? 14 cos ? ? sin ? sin(? ? )
--------------------------------14 分 A 2 5 16、解:(1)∵cos = , 2 5 A 3 ∴cos A=2cos2 -1= -------------------2 分 2 5 4 ∴sin A= .--------------------4 分 5 又由 AB · AC =3,得 bccos A=3,∴bc=5.------------------6 分 1 ∴S△ABC= bcsin A=2.---------------------------------8 分 2 (2)由(1)知,bc=5,又 c=1,∴b=5.---------------------10 分 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=20,-------------------12 分 所以 a=2 5.-------------------------------14 分 17、解: (1)设等比数列的 q ,那么 ?

?

? a1q 2 ? 20 ------------------2 分 5 ?a1q ? 160
所以 an ? 5 ? 2
n ?1

解得 ?

?a1 ? 5 ------------------3 分 ?q ? 2

------------------4 分

(2)若 q ? 1 ,则 S6 ? 2S 3 ,这与已知 S 3 ?

7 63 , S6 ? 是矛盾的,所以 q ? 1 , 2 2

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--------------------------------------5 分 从而 S3 ?

a1 (1 ? q3 ) 7 a (1 ? q6 ) 63 , S6 ? 1 --------------------------7 分 ? ? 1? q 2 1? q 2

将上面两个等式的两边分别相除,得

1 ? q3 ? 9 ,所以 q ? 2 ,由此可得 a1 ?
因此 an ? (3)因为 ?

1 ,--------------------------8 分 2

1 n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 --------------------------9 分 2

a1 ? an ? 66 ?a1 ? 64 ? a1 ? 2 ,所以 ? 或? --------------------------11 分 ?a2 an?1 ? a1an ? 128 ? an ? 2 ?an ? 64 ?

当?

?a1 ? 64 1 1 64 ? 2q ? 126,所以 q ? ,又 2 ? 64 ? ( ) n ?1 ,所以 n ? 6 时, S n ? 2 2 1? q ? an ? 2 ? a1 ? 2 2 ? 64q ? 126,所以 q ? 2 ,又 2 ? 64 ? 2n ?1 ,所以 n ? 6 时, S n ? 1? q ?an ? 64

-------------------------------------------------------------13 分 当?

-------------------------------------------------------------15 分

? x2 ? x ? 1 ? 0
∴m ?

6 对于 x ? [1,3] 恒成立---------------------10 分 x ? x ?1
2

记 g ( x) ?

6 , x ? [1,3] x ? x ?1
2

记 h( x) ? x ? x ? 1, h( x) 在 x ? [1,3] 上为增函数.
2

则 g ( x) 在 [1,3] 上为减函数, ∴ [ g ( x) min ? g (3) ? 6 ∴m< . 7

6 ------------------------13 分 7

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6? ? 所以 m 的取值范围为?-∞, ?.--------------------15 分 7? ?

1 2.66l ? l 2 ? 21.6 ? 0.0006-----4 19、解: (1)因为当 v ? 60 时, d ? 2.66l ,所以 k ? 2 60 l 602


? d ? 0.0024 v 2 ? 2 -----------------------6 分
(2)设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000 v 1000 v ,即 Q ? ? 2 d ?4 0.0024 v ?6

1000 0.0024? 6 v

----------------------10 分

? 0.0024 v?

1000 12500 6 6 ? , ? 2 0.0024? ? 0.24 ? Q ? 0.24 3 v v 6 12500 ,即当 v ? 50 时, Q 取最大值 ----------15 分 v 3

----------------------13 分 当且仅当 0.0024 v ?

答:当车速为 60 km / h 时,大桥每小时通过的车辆最多----------16 分 20、 (1)证明:当 n ? N 时, Sn ? 2an ? 2n ,则当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ?1 ? 2(n ? 1)
*

两式相减得 an ? 2an ? 2an ?1 ? 2 ,即 an ? 2an ?1 ? 2 --------3 分

? an ? 2 ? 2(an ?1 ? 2) ,?

an ? 2 ? 2 ,---------4 分 an ?1 ? 2

当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 ,则 a1 ? 2

?{an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列---------7 分
(2)解:由(1)可知, an ? 2 ? 4 ? 2 (3)证明: bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2 则 Tn ?
n ?1

,? an ? 2

n ?1

? 2 ---------7 分

n ?1

? n ? 1 ,?

bn n ?1 ? n ?1 ---------8 分 an ? 2 2

2 3 n ?1 ? 3 ? ... ? n ?1 ① 2 2 2 2

1 2 3 n n ?1 Tn ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2

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