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2018版高中数学苏教版必修5课件:1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二)


第1章 解三角形 § 1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二) 学习 目标 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和 几何计算有关的生活实际问题. 3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括 的能力. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1.公式 1 ah (1)三角形面积公式 S= 2 . (2)三角形面积公式的推广 1 1 1 bc sin A ab sin C S= 2 =2 =2casin B. 1 (3)S=2r( a+b+c )(r 为三角形内切圆半径). 答案 2.证明 (1)三角形的高的计算公式 在△ABC中,边BC,CA,AB对应的边长分别为a,b,c,边上的高分别 记为ha,hb,hc,则ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B =bsin A. 借助上述结论,如图,若已知△ABC中的边AC,AB,角A,那么AB边上 1 bc sin A 的高CD=bsin A,△ABC的面积S= 2 . 答案 (2)三角形的面积与内切圆 已知△ABC内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则△ABC的面积为S= 1 2r(a+b+c) . 如图,设△ABC内切圆圆心为O,连结OA,OB,OC, 1 1 1 1 则 S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=2cr+2br+2ar=2(a+b+c)r. 答案 思考 3 (1)已知△ABC 的面积为2,且 b=2,c= 3,则 A= 60°或120° . 解析 1 3 S=2bcsin A=2, 1 3 3 ∴2· 2· 3· sin A=2,∴sin A= 2 , 又∵A∈(0°,180°),∴A=60°或120°. 答案 3 (2)在△ABC中,A=30°,AB=2,BC=1,则△ABC的面积等于 2 . a c 解析 由正弦定理sin A=sin C, csin A 2· sin 30° ∴sin C= a = =1, 1 又∵C∈(0°,180°),∴C=90°, ∴b= c -a = 2 -1 = 3. 2 2 2 2 1 3 ∴S△ABC=2×1× 3= 2 . 答案 知识点二 多边形的面积 对于多边形的有关几何计算问题,可以利用“割补法”将多边形转化 为三角形,利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决. 返回 题型探究 重点突破 题型一 例1 三角形的面积公式及其应用 π 4 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B=3,cos A=5, b= 3. (1)求 sin C 的值; π 4 解 因为角 A,B,C 为△ABC 的内角,且 B=3,cos A=5, 2π 3 所以 C= 3 -A,sin A=5. 于是 sin ?2π ? ? C=sin? 3 -A? ?= ? ? 3+4 3 3 1 cos A + sin A = . 2 2 10 解析答案 (2)求△ABC的面积. 3+4 3 3 解 由(1)知 sin A=5,sin C= 10 , π 又因为 B=3,b= 3, bsin A 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 a= sin B =5. 3+4 3 36+9 3 1 1 6 于是△ABC 的

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