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2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案


2013-2014 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A 卷)答案

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某些标准正态分布的数值

京 交

0.675 0.75 1.16



1.74

大 学

1.96 0.975 2.33 0.99 2.58 0.995

2013~2014 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)

x
?? x ?

0.34 0.6631

0.53 0.7019

0.877

0.9591

其中 ?? x ? 是标准正态分布的分布函数. 一. (本题满分 8 分) 某人钥匙丢了,他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为 0 .4 、 0.35 和 0.25 ,而钥匙 在上述三个地方被找到的概率分别为 0.5 、 0.65 和 0.45 .如果钥匙最终被找到,求钥匙是在路上被找到 的概率. 解:

设 B ? “钥匙被找到” . , A2 ? “钥匙掉在教室里” , A3 ? “钥匙掉在路上” . A1 ? “钥匙掉在宿舍里” 由 Bayes 公式,得

P?A3 B ? ?

P? A3 ?P?B A3 ?

? P? A ?P?B A ?
3 i ?1 i i

?

0.25 ? 0.45 ? 0.2 0 8 . 3 0.4 ? 0.5 ? 0.35 ? 0.65 ? 0.25 ? 0.45

二. (本题满分 8 分) 抛掷 3 枚均匀的硬币,设事件

A ? ?至多出现一次正面?, B ? ?正面与反面都出现?
判断随机事件 A 与 B 是否相互独立(4 分)?如果抛掷 4 枚均匀的硬币,判断上述随机事件 A 与 B 是否 相互独立(4 分)? 解:

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⑴ 如果抛掷 3 枚硬币,则样本点总数为 23 ? 8 .
P ? A? ? 4 1 6 3 3 ? , P?B ? ? ? , P ? AB ? ? , 8 2 8 4 8 3 1 3 P? AB ? ? ? ? ? P? A?P?B ? ,因此此时随机事件 A 与 B 是相互独立的. 8 2 4

所以有

⑵ 如果抛掷 4 枚硬币,则样本点总数为 24 ? 16 .
P ? A? ? 5 14 7 4 1 ? , P ? AB ? ? ? , , P ?B ? ? 16 16 8 16 4 1 5 7 P? AB ? ? ? ? ? P? A?P?B ? ,因此此时随机事件 A 与 B 不是相互独立的. 4 16 8

所以有

三. (本题满分 8 分) 设随机变量 X 的密度函数为

?4?1 ? x ?3 0 ? x ? 1 f ?x ? ? ? . 其它 ?0
求:⑴ E? X ? (4 分) ;⑵ P?X ? E? X ??(4 分) . 解: ⑴ E?X ? ?
1 ??

??

? xf ?x ?dx ? ? x ? 4?1 ? x ? dx
3 0

1

3 1? 1 ?1 ? 4? x ? 3x 2 ? 3x3 ? x 4 dx ? 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 0.2 . 4 5? 5 ?2 0
⑵ P?X ? E ? X ?? ? P?X ? 0.2? ?
1

?

?

0.2

? 4?1 ? x ? dx
3
1

1

3 1 ? 256 ? ? 4 ? 1 ? 3x ? 3x ? x dx ? 4 ? ? x ? x 2 ? x3 ? x 4 ? ? ? 0.4096. 2 4 ? 0.2 625 ? 0.2
2 3

?

?

四. (本题满分 8 分) 某加油站每周补给一次汽油,如果该加油站每周汽油的销售量 X (单位:千升)是一随机变量,其 密度函数为
4 ?1 ? x ? ? 1? ? 0 ? x ? 100 f ?x ? ? ? 20 ? ? ? 100? ?0 其它 ?

试问该加油站每次的储油量需要多大,才能把一周内断油的概率控制在 2 % 以下? 解: 第 2 页 共 9 页

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设该加油站每次的储油量为 a .则由题意, a 应满足 0 ? a ? 100 ,而且

P? X ? a ? ? 0.02 .

P? X ? a ? ?
??

? f ?x ?dx ? ?
a a

100

1 ? x ? a ? ? f ?x ?dx ? ? f ?x ?dx ? ? ? ?1 ? ? dx ? ?1 ? ? . 20 ? 100 ? ? 100 ? 100 a

??

100

4

5

所以,应当有, 所以,得 因此有
1?

a ? ? ?1 ? ? ? 0.02 . ? 100?
1 ? 5 0.02 ? a , 100

5

a ? 5 0.02 ,即 100

a ? 55(千升) .因此可取 ,即可使一周内断油的概 a ? 100? 1 ? 5 0.02 ? 54.2 6 9 4 9 4 81

?

?

率控制在 5% 以下.
五. (本题满分 8 分) 设平面区域 D 是由双曲线 y ?

1 , ?x ? 0? 以及直线 y ? x , x ? 2 所围,二维随机变量 ? X , Y ? 服从 x
;⑵ 随机变量 Y y ? (4 分)

区域 D 上的均匀分布.求:⑴ 二维随机变量 ? X , Y ? 的联合密度函数 f ?x, 的边缘密度函数 fY ? y ? (4 分) . 解:

⑴ 区域 D 的面积为

1? ? A ? ? ? x ? ?dx ? 2 x2 ? ln x x? 1?

2

?

?

2

1

? 6 ? ln 2 ,

所以,二维随机变量 ? X , Y ? 的联合密度函数为
f ? x,
1 ? x ? 1 时, 2
??

? 1 ? y ? ? ? 6 ? ln 2 ? ?0

? x, ? x,

y ?? D y ?? D



⑵ 当

fY ? y ? ?

??

?

f ? x,

y ?dx ?

2 1 1 ? 1? ? dx ? 2? ? ; ? ? 6 ? ln 2 1 6 ? ln 2 ? y? ? y

当 1 ? x ? 2 时,
fY ? y ? ?
??

??

? f ? x,

1 1 ?2 ? y ? . y ?dx ? dx ? ? 6 ? ln 2 y 6 ? ln 2
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2

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所以,随机变量 Y 的边际密度函数为

? 1 ? 1? 1 ? 2? ? ? y ?1 ? ? y? ? 2 ? 6 ? ln 2 ? ? 1 ?2 ? y ? 1 ? y ? 2 . fY ? y ? ? ? ? 6 ? ln 2 ? ?0 其它 ?
六. (本题满分 8 分) 设随机变量 X 与 Y 满足:v a ? ? X , Y ? ? 1 ,再设随机变量 U ? 2 X ? 3Y , r Y ? ? 4 ,c o v rX ? ? 2 ,v a ?

V ? 3 X ? 2Y ,求二维随机变量 ?U , V ? 的相关系数 ?U ,V .
解:

var?U ? ? var?2 X ? 3Y ? ? 4 var? X ? ? 9 var?Y ? ? 12cov? X , Y ? ? 4 ? 2 ? 9 ? 4 ? 12 ? 32, var?V ? ? var?3 X ? 2Y ? ? 9 var? X ? ? 4 var?Y ? ? 12cov? X , Y ? ? 9 ? 2 ? 4 ? 4 ? 12 ? 22 , cov?U , V ? ? cov?2 X ? 3Y , 3 X ? 2Y ? ? 6 var? X ? ? 6 var? X ? ? 4 cov? X , Y ? ? 9 cov? X , Y ? ? 6 ? 2 ? 6 ? 4 ? 13?1 ? 23 .
所以,二维随机变量 ?U , V ? 的相关系数为

?U ,V ?

cov?U , V ? 23 23 . ? ? ? 0.8668451157 var?U ? var?V ? 32 22 8 11

七. (本题满分 8 分) 设 ? X1,

? X1 ? X 2 ? (不 X 2 ? 是取自正态总体 N 0, ? 中的一个样本.试求随机变量 Y ? ? ?X ?X ? ? 的分布. 2 ? ? 1

?

2

?

2

必求出 Y 的密度函数,只需指出 Y 是哪一种分布,以及分布中的参数即可. ) 解:

由于 X1 ~ N 0, ? 2 , X 2 ~ N 0, ? 2 ,而且 X 1 与 X 2 相互独立,所以

?

?

?

?

X1 ? X 2 ~ N 0, 2? 2 , X1 ? X 2 ~ N 0, 2? 2 .
由于

?

?

?

?

co? v X1 ? X 2 , X1 ? X 2 ? ? v a?rX1 ? ? v a?rX 2 ? ? 0 , X1 ? X 2 ? 服从二元正态分布,所以 X1 ? X 2 与 X1 ? X 2 相互独立.

而且 ? X1 ? X 2 ,

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2 2 2 2

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? X ? X2 ? ? X ? X2 ? ? X ? X2 ? ? X ? X2 ? 2 2 所以, ? 1 ? ~ ? ?1? , ? 1 ? ~ ? ?1? ;而且 ? 1 ? 与? 1 ? 相互独立. 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? ? ?

? X1 ? X 2 ? 所以, Y ? ? ?X ?X ? ? 2 ? ? 1
八. (本题满分 8 分)

2

? X1 ? X 2 ? ? ? 2? ? ? ? ~ F ?1, 1? . 2 ? X1 ? X 2 ? ? ? ? 2? ?

2

某射手射击,他打中 10 环的概率为 0.5 ,打中 9 环的概率为 0.3 ,打中 8 环的概率为 0.1 ,打中 7 环 的概率为 0.05 ,打中 6 环的概率为 0.05 .他射击 100 次,试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介 于 900 环与 930 环之间的概率. (附表:标准正态分布分布函数 ?? x ? 的部分数值表:

x
??x ?
解:

1.25

1.30

1.35

1.40

0.8944

0.90230

0.91149

0.91924

设 X k 表示该射手射击的第 k 发时所得的环数 ?k ? 1,

2, ?, 100? ,则 X k 的分布律为
8
7

Xk
P

10 0 .5

9
0 .3

6 0.05

0 .1

0.05

所以, E ? X k ? ? 10 ? 0.5 ? 9 ? 0.3 ? 8 ? 0.1 ? 7 ? 0.05 ? 6 ? 0.05 ? 9.15 ,

E?X k2 ? ? 102 ? 0.5 ? 92 ? 0.3 ? 82 ? 0.1 ? 72 ? 0.05 ? 62 ? 0.05 ? 84.95 ,
2 所以, D?X k ? ? E X k ? ?E?X k ?? ? 84.95? 9.152 ? 1.2275. 2

? ?

因此, X 1 ,

X 2 , ?, X 100 是独立同分布的随机变量,故

100 ? ? 900 ? ? E ? X ? k 100 ? ? ? k ?1 P? 900 ? ? X k ? 930? ? P? ? 100 k ?1 ? ? ? D? X k ? ? ? k ? 1 ?

? X ? ? E?X ?
k ?1 k k ?1 k

100

100

? D? X ?
k ?1 k

100

100 ? 930 ? ? E ? X k ? ? ? k ?1 ? ? 100 ? ? ? D X ? k ? k ?1 ?

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? ? 900? 100? 9.15 ? P? ? ? 100? 1.2275 ? ?
? ? ? P? ? 1.35388? ? ? ?

?X
k ?1

100

? ? 930? 100? 9.15 ? ? 100? 1.2275 100? 1.2275 ? ? ?
k

? 100? 9.15

?X
k ?1

100

? ? ?8 ? 1.3 5 3 8 ? 100 ? 1.2 2 7 5 ? ?
k

? 100? 9.15

. ? ??1.35? ? ??? 1.35? ? 2??1.35? ? 1 ? 2 ? 0.9 1 1 4?9 1 ? 0.8 2 2 8 9 九. (本题满分 9 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立而且同分布,其中随机变量 X 的分布列为

P?X ? 1? ? p ? 0, P?X ? 0? ? 1 ? p ? 0 ,
再设随机变量

?1 Z ?? ?0
⑴ 写出随机变量 ? X ,

X ? Y 为偶数 . X ? Y 为奇数

Z ? 的联合分布律以及 X 与 Z 各自的边缘分布律;⑵ 问 p 取什么值时,随机变量

X 与 Z 相互独立?
解:

⑴ X 与 Z 的联合分布列以及 X 与 Z 各自的边际分布列为
Z

X

0

1

pi ?
1? p
p

0
1

p?1 ? p ?
p?1 ? p ? 2 p?1 ? p?

?1 ? p ?2
p2
1 ? 2 p?1 ? p? ? 2 p2

p? j

Y ? 1? ? p?1 ? p? ; 其中 P?X ? 0, Z ? 0? ? P?X ? 0, Y ? 1? ? P?X ? 0?P?

P?X ? 0, Z ? 1? ? P?X ? 0, Y ? 0? ? P?X ? 0?P? Y ? 0? ? ?1 ? p? ;
2

P?X ? 1, Z ? 0? ? P?X ? 1, Y ? 0? ? P?X ? 1?P? Y ? 0? ? p?1 ? p? ;

P?X ? 1, Z ? 1? ? P?X ? 1, Y ? 1? ? P?X ? 1?P? Y ? 1? ? p2 ;

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⑵ 如果 X 与 Z 相互独立,则有

P?X ? 1, Z ? 0? ? p?1 ? p ? ? P?X ? 1?P?Z ? 0? ? p ? 2 p?1 ? p ?,
解方程

p?1 ? p ? ? p ? 2 p?1 ? p ? ,得 p ?
Z

1 1 .并且当 p ? 时,有 2 2
1

X

0

pi ?
1 2 1 2

0
1

p? j

1 4 1 4 1 2

1 4 1 4 1 2

可以验证,此时 X 与 Z 是相互独立的.
十. (本题满分 9 分) 两台相同型号的自动记录仪,每台无故障工作的时间分别为 X 和 Y ,假设 X 与 Y 相互独立,都服从 参数为 ? ? 5 的指数分布. X 的密度函数为

?5e?5 x f ?x ? ? ? ?0

x?0 . x?0

现首先开动其中一台,当其损坏停用时另一台自动开动,直至第二台记录仪损坏为止.令: T :从开始到 第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间,试求随机变量 T 的概率密度函数. 解:

?5e ?5 x X 的密度函数为 f X ?x ? ? ? ? 0
Y 的密度函数为 fY ? y ? ? ?

x?0 x?0 y?0 y?0



?5e ?5 y ? 0

由题意,知

T ? X ? Y ,设 T 的密度函数为 fT ?t ? ,则
??

fT ?t ? ?

??

?

f X ?x ? fY ?t ? x ?dx ? ? 5e ?5 x fY ?t ? x ?dx
0

??

作变换 u ? t ? x ,则 du ? ?dx , 当 x ? 0 时, u ? t ;当 x ? ?? 时, u ? ?? .代入上式,得

fT ?t ? ? ? ? 5e ?5?t ?u ? fY ?u ?du ? 5e ?5t ? e5u fY ?u ?du
t ??

??

t

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当 t ? 0 时,由 fY ? y ? ? 0 ,知 fT ?t ? ? 0 ; 当 t ? 0 时,

fT ?t ? ? 5e

?5t

??

?e

t

5u

? 5e?5u du ? 25te?5t

综上所述,可知随机变量 T 的密度函数为
?25te ?5t fT ?t ? ? ? ? 0 t?0 t?0



十一. (本题满分 9 分) 设总体 X 的密度函数为

f ?x ; ? ? ?
其中 ? ? 0 是未知参数. ? X1, ?, 解:

1 ?? e , ?? ? ? x ? ??? , 2?

x

X n ? 是从中抽取的一个样本.求 ? 的最大似然估计量.

? 的似然函数为
L?? ? ? ? f ?xi ; ? ? ?
i ?1 n

1 ? 1 n ? e x p? ? xi ? , ? n ?2? ? ? ? i ?1 ?

则有
ln L?? ? ? ?n ln?2? ? ? 1

?

?x
i ?1

n

i



对 ? 求导,得

d n 1 n ln L?? ? ? ? ? 2 ? xi , d? ? ? i ?1



d n 1 ln L ?? ? ? 0 ,即有 ? ? 2 d? ? ?

?
i ?1

n

xi ? 0 ,解似然方程,得 ? ?
n

1 n ? xi . n i ?1

?? 1 所以, ? 的最大似然估计量为 ? ? Xi . n i ?1
十二. (本题满分 9 分) 设总体 X 的密度函数为

?6x ? ?? ? x ? 0 ? x ? ? f ? x ? ? ?? 3 , ? 0 其它 ?
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其中 ? ? 0 是未知参数, ? X1, ?, X n ? 是从该总体中抽取的一个样本.

? (4 分) ⑴. 求未知参数 ? 的矩估计量 ?? (5 分) ;⑵. 求方差 var ? .
解:

??

⑴. E ? X ? ?

??

??

? ? xf ?x?dx ? ? ? ?? ? x?dx ? 2
6x2
3 0

?


1 n ? X i 来替换,得未知参数? 的矩估计为 n i ?1

所以, ? ? 2E? X ? ,将 E? X ? 用样本均值 X ?

? ? 2X ?
? ? var ?2 X ? ? 4 var ?X ? ? 4 var ? X ? ,而 ⑵. var ? n

??

D? X ? ? E X 2 ? ?E? X ??
?? 2

? ?

2

?

6x ? ? ?? ? x 2 f ? x ?dx ? ? ? ? ? 3 ?? ? x ?dx ? ? ? ? 4 20 ?2? ?? 0
3 2 2

?

? ? 所以, var ?

??

4 4 ?2 ?2 var? X ? ? ? ? n n 20 5n

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