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高中数学常用的解题方法与技巧1


高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言

构造法

反证法

数学归纳法

课外思考一 课外思考二课外思考三

高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学,通 常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中, 经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证 法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原 理……) ,同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说: “竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学 技巧的技巧, 又是创造数学技巧的技巧, 更确切点说, 这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平 的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ”

构造法: 它的基本形式是:以已知条件为原料、以所 求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得 问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形, 构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例, 构造抽屉,构造算法等.

前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造 法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但 怎样“构造”,却没有通用的构造法则.下面通过 实例说明.
思考1,2 思考3 思考4,5 思考6

思考 1: (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a, b, c 满足
2 ? a ? ? bc ? 8a ? 7 ? 0 D) , 那么 的取值范围是 ( a ? 2 2 b ? c ? bc ? 6a ? 6 ? 0 ? ? (A) (??, ??) (B) ? ??,1? ? ?9, ??? (C) (0, 7) (D) ?1,9?

思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x , y ? R ,且满足
2003 ? ?( x ? 1) ? 2002( x ? 1) ? ?1 3 x ? y ? _____ . , 则 ? 2003 ( y ? 2) ? 2002( y ? 2) ? 1 ? ?

思考 3: 若 a ? 1, b ? 1, c ? 1 , a, b, c 为实数, 求证: ab ? bc ? ac ? ?1

构造一次函数 f ( x ) ? (b ? c ) x ? bc ? 1

还有没有其他方法

思考 4: 1 1 1 4 2 已知 2 ? ? 3 ? 0, n ? n ? 3 且 ? n2 , m m m 4 2 mn ? n 3 构造一元二次方程 . 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x , y , z 为正数 且 xyz( x ? y ? z ) ? 1 , 求表达 式 ( x ? y )( y ? z ) 的最小值. 构造三角形的面积.

2

思考 6: 将数字 1,2,3,…,n 填入 n 个方格里 ,每格一个数字 , 则标号与所填数字均不相同的填法有多少种 ? 令 an 符合条件的填法数,增加数 n ? 1 和标号为 n ? 1 的方格.
对于 an 中每一个填法 , 我们将第 k 格的数移到第 n ? 1 格,而将 n ? 1 填入第 k 格 ,得符合条件的填法 nan 种; 对于 n 个数时 , 仅有第 k 格填入的数是 k (1 ≤ k ≤ n) , 其他 n ? 1 个数填法符合条件为 an?1 , 我们也将第 k 格的数移 到第 n ? 1 格, 而将 n ? 1 填入第 k 格,得符合条件的填法 nan ?1 种,于是,共有 an?1 ? nan ? nan?1 , 易知 a1 ? 0, a2 ? 1 . … … …n i 1

an ? n ! ? ( ?1)
i ?1

( n ≥ 2) 为所求. i! 课外思考一

反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时 ,于是 就要改变思维方向 ,从结论入手 ,反面思考。这种从 “正面难解决, 就从反面思考 ”的思维方式就是我们 通常所说的 ——反证法 ,是间接证法的一种 ,它是数 学证明的大法 ,历史上许多著名的命题 ,例如“ 2 为 无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的 . 反证 法被人们誉为 “数学家最 精良的武器之 一. ”,是证明数学命题的一种重要方法,对于那些 含有否定词的命题, “至少”型命题、唯一性命题, 尤为适宜.
思考1 思考2 思考3

什么是反证法?
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理, 最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命 题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假设 出发 ,经过正确的推理 , ..

归谬

导出矛盾;

推理过程中一定要用到才 行 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 结论

3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 命题的结论正确 .
思考1 思考2 思考3

思考 1: 设 a1 , a2 ,?, a7 是1, 2,?,7 的一个排列, 求证: (a1 ? 1)(a2 ? 2)?(a7 ? 7) 必是偶数 .

构造: a1 ? 1 ? a2 ? 2 ? ? ? a7 ? 7 是偶数

思考 2: 求证: 在四面体 ABCD 中 ,必有某个顶点 ,从它发出 的三条棱作为三边可以构成一个三角形.

从最大棱的角度来分析突破

思考 3:(1997 年全国高中联赛题) 设双曲线 xy ? 1 的两支为 C1、C2 , 如图 , 正三角形 P QR 三顶点位于此双曲线上. ⑴求证: P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上. ⑵ 设 P (?1, ?1) 在 C2 上 , Q、R 在 C1 上 , 求顶点 Q、R 的 坐标.

⑴用反证法 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ) 不妨设 0 ? x1 ? x2 ? x3 则 y1 ? y2 ? y3 ? 0

y

?Q

y? x

?P

C ?R 1 x

⑵关键证明 Q与R 关于直线 y ? x 对称

课外思考二

C2

数学归纳法(知识点见教程第 138 页) : 形式 1(第一数学归纳法): ⑴验证 p(n0 ) 成立; ⑵假设 p( k ) ( k ≥ n0 )成立 ,那么可推出 p( k ? 1) 也成立. 形式 2(第二数学归纳法): ⑴已知命题 P(n0 ) 成立; ⑵若当 n0 ≤ n ≤ k 时命题 P ( n) 都成立,则 P ( k ? 1) 成立; 由(1) (2)可知命题 P ( n) 都成立. 还有其他形式 (如跳跃数学归纳法): ⑴验证 p(n0 )、p(n0 ? 1)、p(n0 ? 2)、 ?、p(n0 ? r ? 1) ; ⑵假设 p( k ) ( k ≥ n0 )成立, 那么可推出 p( k ? r ) 也成立.

下面通过练习来品味其中的思维.
思考1 思考2 思考3

思考 1: 设 a、 b 为正整数, n 为正整数, n n a ?b a?b n ≥( ) 试证: 2 2

注: 运用归纳假设证明递推性是数学归纳法 证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思.

思考 2(教程第 159 页练习 3): 设 p 为不小于 3 的正整数,并记方程

x ? ( p ? 1) x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,
2

证明 : 对任何 n ? N , x ? x2 都是不能
*

n 1

n

被 p 整除的正整数 .
先用数学归纳法证明是正整数, 然后再用数学归纳法证明不能整除. 这一步要巧用“第二数学归纳法”形式.

思考 3: 平面内有 n 个两两相交的圆,并且任意 三个圆不经过同一点,试问:这 n 个圆把平 面分成多少个区域? 2

n ?n? 2

先猜后证,这数学发现的方法.
关于n的命题证明可考虑用数学归纳法 尝试,这是数学思维的一个重要策略.

课外思考三

课外思考一:

a b c ? ? 1.设 a、b、c 为三角形的三边,求证: . 1? a 1? b 1? c 2.若 ?、? 、? 为锐角, 且 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? ? , 3 2 2 2 求证: cot ? ? cot ? ? cot ? ≥ . 2 3.某中学准备组建一个 18 人的足球队,这 18 人由高一年 级 10 个班的学生组成,每个班级至少一个,名额分配方案 共有____种 . C 9 ? 24310
17

构造一个隔板模型,取 18 个相同的小球排成一列,用 9 块隔板将 18 个小球分隔成 10 个空间,第 i (1 ≤ i ≤ 10) 个空 间的小球对应第 i 个班级的学生的名额,因此,名额分配方 案的种数与隔板的插入数相等.

课外思考二: 构造 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 1.设 abc 是十进制中的素数,求证: b2 ? 4ac 不是完全平方数 2.( 第 19 届 IMO 试题(1977 年))在一个有限的实数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意 11 个连续项之和都是正数 试问:这样的数列最多有多少项?

16

如 6,6,-15,6,6,6,-16,6,6,-15,6,6,6,-16,6,6

3.( 第 29 届俄罗斯数学奥林匹克题)称自然数为“完全数” , 如果它等于自己的所有的不包括自身的正约数之和,例如 6 ? 1 ? 2 ? 3 ,如果大于 28 的“完全数”可被 7 整除,证明 它必可被 49 整除. 7n 的所有正约数可以分为形如 d 与7d 的“数对” 4.(1988(第 29 届)年 IMO 试题第 6 题)已知正整数 a 和 b ,使 2 2 a ? b ab ? 1 整除 a 2 ? b 2 ,求证: 是某个正整数的平方. ab ? 1 运用无穷递降法

课外思考三: 1.(教程 P139 例 2)设 a0 , a1 , a2 ,? 是一个正数数列,对一切 n ? 0,1, 2,?
1 都有 a ≤ an ? an?1 ,求证:对一切 n ? 1, 2,? ,都有 an ? . n?1 2.(教程 P151 例 2)证明:对一切正整数 n ,不定方程 x 2 ? y 2 ? z n 都有正整数解. 3.若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,都是大于 1 的实数,
2 n

证明: (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )(1 ? a4 )(1 ? a5 ) ? 16(a1a2a3a4a5 ? 1)

2 4.(2002 年全国卷)设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1 ,当 n ? 1,2,3,?

(Ⅰ)当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 , 并由此猜想出 an 的一个通项公式 ; (Ⅱ)当 a1 ≥ 3 时,求证对所有 n ≥ 1 ,有 ⑴ an ≥ 2 ;

1 1 1 1 ? ??? ≤ ⑵ 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

课外思考题: 1.对于自然数 n ( n ≥ 3 ) ,求证: nn?1 ? (n ? 1)n . 1 2.在数列 ?an ? 中 , a1 ? 2 ,求证 : 2 ? an ? 2 ? . n 1 1 1 * 3.设 n ? N ,求证 : 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 3 n

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平凡,我的家族过于强大,我的一生已经被定死,使我没有任何动力去想象属于我自己的生活,因为我必须活在责任与情义当 中。姐姐深知我将来的路会变成这样一条险路,假如我不做出改变的话。于是就要我学会做人、学会负责,学会走自己的人生 之路;于是我来到了姐姐的单位实习;于是我要每晚做公务员的真题;于是对了,我们家的灯烧坏了。想到这,我猛地惊了一 番,“啊,痛,好强的光。”心想,这屋里的灯有这么强吗?不对,这不是灯光,是带有自然气息的太阳光。“哥哥,你没事 吧?”一陌生的声音在耳边响起。我顿时心头一惊,这是谁的声音,听起来就是个十来岁的小伙的声音,奇怪这声音怎么这么 优美。我正想要睁开眼睛,却发现强光过于刺眼,我没能成功。而且身体也像是在沉睡一样,动不了。这时的我,隐约感受到 背部有一种软软的感觉,也断续闻到有一股带有草原气息的气味,难道我这是躺在内蒙古的广阔的草原上吗?又蓦地,我被自 己的想法惊了一下,我这不是昏过去躺在我姐姐的出租屋里的冷冰冰的地板上的吗?“哥哥,你不打紧吧?要不我去找你来帮 你吧?”又来了,这小正太究竟是谁啊?过了这么一段时间,眼睛稍微适应了强光,于是我就努力试着睁开眼睛,因为不这样 做的话就根本没办法行动,心中就会担心自己继续待下去会遇到什么危险,因为我已经感觉到了,这根本不是出租屋;我这个 人对于一些未知的领域,总会自动有一种想逃跑的危机感,也许是我那胆小怕事的性格衍生出来的吧。对了,从前试过睡觉睡 到脑瓜子醒了但是身子却动不了的情况,是俗话说的鬼压身吧?其实我知道那是大脑醒了身体还在休息的一种生理现象罢了。 好,我试试用尽全身的力去唤醒我的身体吧!“哥哥”那小男孩貌似对我不离不弃;很好,等我醒过来好好表扬你一番这关爱 陌生人的情操吧!我集中了所有精力,用尽全身能感受到的力气去努力“扒开”眼皮,终于我能稍稍地睁开了眼睛;蓦地,映 入眼帘的是一张俊俏的小脸蛋;不行,还是受不了这突如其来的强光,难道我还是个怕光的软蛋,头很痛,我又一次昏了过去。 等我真正醒来的时候,我震惊了。这哪是什么姐姐的破出租屋啊,这是一间破旧的木屋,怎么看都像是我们家族在山区老家那 祖屋啊!托着沉重而稍带晕眩的脑瓜,我仔细打量了一下这木屋。它的格局确实不像我那老祖屋,而且一些房屋建造的关键之 处甚是薄弱,明显不是专业木匠搭建起来的,而且我有一种直觉,那就是这里缺少我们现代所有的气息,难道,我穿越了?正 想着这不可思议的问题,门外蹦进了一个小男孩,他冲着我叫到:“哥哥,你醒啦?”这声音有点熟耶,对了,是那个我做梦 时在与鬼压身战斗时所听到的小正太的声音。我还


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