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第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《正弦、余弦函数的周期性》说课(广东彭科)


正弦、余弦函数的周期性(说课稿) 正弦、余弦函数的周期性(说课稿)
授课教师:广东省东莞中学松山湖学校 彭科

教材:普通高中课程标准实验教科书人教版 A 版必修四

一、教材分析 1、教材的地位和作用 、
《正弦、 余弦函数的周期性》 是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二 节课,其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.本节课是学生学习了诱导 公式和正弦、余弦函数的图象之后,对三角函数又一深入探讨.正弦、余弦函数的周期性是 三角函数的一个重要性质,是研究三角函数的其它性质的基础,是函数性质的重要补充.通 过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、 推理论证能力, 分析问题和解决问题 的能力, 而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去, 为以后研究三角函数的其它 性质打下基础.所以本课既是前期知识的发展,又是后续有关知识研究的前驱,起着承前启 后的作用.

2、教学重点和难点 、
重点:周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 难点:周期函数定义及运用定义求函数的周期.

二、目标分析
学情分析: 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法;在能力上 已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力; 在思想方法上已经具有一定的数形结合、 类比、 特殊到一般等数学思想. 本课的教学目标: (一)知识与技能 1.理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性. 2.会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景的分析与 y=sinx 图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数 y=sinx 的 周期性,通过类比研究余弦函数 y=cosx 的周期性. (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活,体会从感性到理性的思维过程,体会数形结合思想;让学 生亲身经历数学研究的过程,享受成功的喜悦,感受数学的魅力.

三、教法分析 1.教学方法:引导发现法、探索讨论法
为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着 力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的 积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程. 2.学法指导 问题探究法 学法指导: 学法指导 根据课程标准“倡导积极主动,勇于探索的学习方式”理念,教材内容的特点以及学生

的知识、能力、情感等因素,本节课宜采用问题探究法.

3.教学手段:借助多媒体辅助教学,增强课堂教学的生动性与直观性. 教学手段: 教学手段 四、教学过程

教学程序
创 设 问 题 情 境

教学内容

设计意图 设计意图
从实际问题引入,使学生了 解数学来源于生活. 问题的提出为学生的思 维提供强大动力, 激发学生的探 究欲望.

生活中有哪些周而复始现象 ? 学生举例

复 习 回 顾

引导学生回顾: 1.诱导公式(一) 2.正弦线 3.利用正弦线画正弦函数图象(动画演示) 由动画演示观察可得: 正弦函数图象具有周而复始的变化规律 问题:图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来 表达? 正弦函数 y=sinx 图象 y
y

引导学生回顾旧知为新课做 准备. 通过动画演示让学生直观感 知周而复始的变化规律.

x
?2π 0

O

π
2



5π 2



通过对正弦函数 y=sinx 图 象观察、分析,结合诱导公式,

构 建 周 期 函 数 定 义

观察正弦函数 y=sinx 图象特征可知: 在区间 [ 0, 2π ] 、 [ 2π , 4π ] 、 [ 4π , 6π ] …内重复. 由三角函数图象和诱导公式可得:sin(2π+x)=sinx, 问: 对于 sin(2π+x)=sinx,若记 f(x)=sinx,则对于任意 x∈R, 都有 f( )=f( ) 若记 f(x)=sinx,则对于任意 x∈R,都有 f(x+2π)=f(x) 周期函数及周期的定义 周期函数定义如下:一般地,对于函数 f(x),如

由生活中的周期现象到数学中 的周期现象, 由具体到抽象, 构 建出周期函数的定义, 这样设计 主要是立足于从学生的最近思 维区入手, 着力于知识建构, 培 养学生观察、 分析和抽象概括能 力,并进一步渗透数形结合思想 方法.

果存在一个非零的常数 T, 使得定义域内的每一个 x 值, 都满足 f(x+T)=f(x), 那么函数 f (x) 就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期.

设计意图 设计意图

教学程序

教学内容
让学生理解最小正周期的 定义,培养学生的数形结合能 力.

函数 y=sinx 的周期: 2π 、 4π 、 6π 、…… 2kπ(k∈Z 且 k≠0). 正弦函数的周 期和最小正周 最小正周期的概念. 最小正周期的概念 期的定义. 期的定义 对于一个函数 f(x),如果它所有的周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数叫 f(x)的最小正周期. 上面的函数 y=sinx 的最小正周期为 2π .

判断题: 1.因为 sin( π + π ) = sin π ,所以 π 是 y = sin x 的周期. 4 2 4 2 2.周期函数的周期唯一. 3.函数 f(x)=5 是周期函数. (分四人一组进行讨论,再由学生发表看法) 设计判断题让学生去讨论 主要是为了帮助学生正确理解 周期函数概念, 防止学生以偏概 全,让学生学会怎样学习概念; 培养学生透过现象看本质的能 力, 使学生养成细致、 全面地考 虑问题的思维品质. 让学生在自主探索、 自由想 象和充分交流的过程中, 不断完 善自己的认知结构, 充分感受成 功与失败的情感体验.

理 解 周 期 函 数 定 义

体会: 体会:
1. 周期的定义是对定义域中的每一个 x 值来说的,只有 个别的 x 值满足: f ( x + T ) = f ( x) ,不能说 T 是 y = f ( x) 的周期. 2.周期函数的周期不唯一. 3.周期函数不一定存在最小正周期. 说明:今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期.

探 究 余 弦 函 数 的 周 期

通过对定义的理解、 余弦函 数图象, 类比正弦函数, 可以得 余弦函数 y=cosx 是周期函数吗?即能否找到非零常数 T, 到余弦函数是周期函数, 这样使 培养学 使 cos(T+x)= cosx 成立?若是,请找出它的周期,若不是, 学生加深对定义的理解, 生类比思想和数形结合能力. 请说明理由. 问题: 问题:

教学程序

教学内容

设计意图 设计意图



例 1.求下列函数的最小正周期 T. . (1) f ( x ) = 3 sin x , x ∈ R ; (2) f ( x ) = sin 2 x , x ∈ R ; (3) f ( x ) = 2 sin( x + 设计例 1 使学生加深对定 义的理解, 培养学生的数形结合 能力.



1 2

π

4

) , x∈R;
②周期函数定义

方法: 方法:①函数图象观察得到周期

课 堂 反 馈

1.等式 sin(300 + 1200 ) = sin 300 是否成立?如果这个等式 成 立 , 能 否 说

1200 是 正 弦 函 数 y = sin x

的一个周期? 2.求下列函数的周期:

通过课堂反馈能准确、 及时 地了解学生对本节课的掌握情 况,做到及时反馈、 评价,及时查 漏补缺,达到堂堂清.

(1) y = cos 4 x, x ∈ R 1 (2) y = cos x, x ∈ R 2

回 顾 反 思

1.周期函数、周期概念. 2.函数 y=sinx 和函数 y=cosx 是周期函数,且周期均为 2π. 3.周期的求法: ①图象法 ②定义法 4.探索问题的思想方法

引导学生对所学知识进行 小结,有利于学生对已有的知识 结构进行编码处理,加强记忆.

课外作业: 课外作业: 求下列函数的周期: 课 外 作 业 与 课 外 思 考 (1) y = 3sin

(3) y = cos(2 x + ) 3 课外思考: 课外思考:

x π , x ∈ R ;(2) y = sin( x + ) , x ∈ R ; 4 10 1 π π , x ∈ R (4) , x∈R
y = 3 sin( x ? ) 2 4

1.求函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) 和 f ( x) = A cos(ω x + ? ) (其中 A, ω , ? 为常数,且 A ≠ 0, ω > 0 )的周期. 2.求下列函数的周期: (1) y =| sin x | , x ∈ R ; (2) y =| cos 2 x | , x ∈ R

课外作业的布置是为了进 一步巩固课堂所学知识; 课外思考题的布置是让学 生把课堂探索拓展到课外探索, 进一步激发学生探究欲望, 进一 步培养学生创造性思维.

附:板书设计 课题:正弦、 课题:正弦、余弦函数的周期性 1. 周期函数定义 2. 正弦函数 y=sinx 的周期为 2π 余弦函数 y=cosx 的周期为 2π . 3. 例 1 版演及学生演示区 为了使学生全 面系统地了解本节 内容的知识结构, 达到突出重点,简 洁明了的目的. 设计意图

五.评价分析: 评价分析: 1. 个别学生建构周期函数概念时有困难, 特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际 上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来 帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训 练以后要加强. 2. 部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难, 课后要及时对他们加强 辅导. 3. 学生运用定义求函数周期掌握得不是很好. 上黑板板演的学生都出现了不同程度的 错误.在以后的教学中还需进一步加强.


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