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5、2018年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)--答案2018.5.11


潮阳一中明光学校 2017~2018 学年

文科数学

周四一测 整理者:廖光月 (6)C (12)B

周四一测 5 参考答案与试题解析
本卷为 2013 届深圳一模(文科) 一、选择题 (1)A (7)D 二.填空题 (13) 30 (14) (2)C (8)C (3)C (9)A (4)D (10)B (15) 1009 (5)B (11)D

16π 3

(16) 222

(12)解析一:原不等式可转化为, x ln x ? ?ex 2 ? 2 x ? a ,易知, 当x?

1 1 1 时 f ( x) ? x ln x 取到最小值为 ? ,且当 x ? 时函数 e e e

g ( x) ? ?ex2 ? 2x ? a 取 到 最 大 值
1 1 2 ? ? +a ,即 a ? ? . e e e

1 +a , 利 用 图 形 可 知 , e

解 析 二 : 原 不 等 式 可 转 化 为 , a ? x ln x ? (e x2 ? 2x) , 令 f ( x) ? x l n x, g ( x) ? ex2 ? 2 x , 令

h( x)? f ( x? ) g( x ) x? ,当

1 1 2 2 时, f ( x ) 与 g ( x) 同时取到最小值,? h( x) min ? h( ) ? ? ,? a ? ? . e e e e

(16)解析:设 ?PBA ? ? ,则 PA ? 20sin ? , PB ? 20 cos ? , PQ ? 20 ? 20sin ? cos ? ,总造价函 数 y ? 6 ? (20sin ? ? 20cos ? ) ? 5 ? (20 ? 20sin ? cos ? ) ? 20 ?[6(sin ? ? cos ? ) ? 5(1 ? sin ? cos ? )] , 令 t ? sin ? ? cos ? ,则 y ? 10(?5t 2 ? 12t ? 15) ,易知 t ?[1, 2] ,当 t ?

6 时, ymax ? 222 . 5

三、解答题: 17、解: (1)由正弦定理可知: sin A cos B+sin 2 B ? sin C . ∵ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B , ∴ sin 2 B= cos A sin B . ∵ B ? ? 0, ? , sin B ? 0 , ………………3 分 ………………1 分

? ?

π? 2?

∴ sin B = cos A , 即 c o s? ∵ A ? ? 0,π ? ,

?π ? ? B? ? cos A. ?2 ?

……4 分

π ? π? ? B ? ? 0, ? , 2 ? 2?
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STCYYZMGXX LGY

潮阳一中明光学校 2017~2018 学年 ∴

文科数学

周四一测

π π ? B =A , 即 A+B = . 2 2 π . 2
π π , ?ACB = , 3 2
………………6 分

∴C=

(2)设 BD ? x , CB ? a . ∵ ?ABC ?

∴ AC = 3a , AB =2a , AD ? 2a +x . ∴ S ?ACD ?

1 1 1 3 AC ? AD ? sin A ? ? 3a ? ? 2a ? x ? ? ? 3, 2 2 2 4
……① ………………8 分

即 a ? 2a ? x ? ? 3 .

在 ?BCD 中,由余弦定理可得 CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? BD cos ?DBC , 即 x 2 ? a 2 ? ax ? 3 . ……② … … … … … … 10 分

联 立 ① ② 可 解 得 x ? a ? 1. 即 BD =1 .

… … … … … … 12 分

18、解 : ( 1 ) 经 计 算 : x ? 5 , y ? 0.48 ,

………………1 分 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分

? ? 0.88 可得, b ? ? ?0.08 . 由 0.48 ? 5b
? ? ?0 . 0 8? 8? 0 8.8 ?0 . 2 4 当 x ? 8时, y ,
所以当海水浓度为 8‰ 时,该品种的亩产量为 0.24 吨.

? ? ?0 . 0 8 x ? 0 .8 8 , 从而有 ( 2) ( i) 由 ( 1) 知 y
浓 度 ( 千 分 之 ) xi 亩 产 量 yi ( 吨 ) 3 0.62 -0.02 4 0.58 0.02 5 0.49 0.01 6 0.4 0 7 0.31 -0.01

?i 残差 e

………………8 分
2 ( ii ) R ? 1 ?

0.0004 ? 0.0004 ? 0.0001 ? 0 ? 0.0001 , 0.142 ? 0.12 ? 0.012 ? (?0.08) 2 ? 0.17 2
… … … … … … 11 分 … … … … … … 12 分

? 1?

0.001 64 = ? 0.9846 . 0.065 65

所以亩产量的变化有 98.46% 是由海水浓度引起的.
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潮阳一中明光学校 2017~2018 学年 文科数学 19、 (1)证明:(法一)取 PD 的中点 E ,连接 AE,ME .

周四一测

1 1 CD , AN / / CD , AN = CD , 2 2 ∴ ME / / AN , ME =AN ,即四边形 AEMN 为平行四边形. ∴ MN / / AE . ………………2 分 ∵ PA ? AD , E 是 PD 的中点, ∴ AE ? PD . ………………3 分 ∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ PA ? CD . ∵ AD ? CD,AD PA ? A , ∴ CD ? 平面 PAD , ∴ CD ? AE . ………………4 分 ∵ CD PD ? D , ∴ AE ? 平面 PCD , 即 MN ? 平面 PCD . ………………5 分
∵ ME / / CD , ME = (法二) 连接 PN,CN ,易证 PN =CN = 5 . ∵ M 是 PC 的中点, ∴ MN ? PC . 易证 CD ? 平面 PAD , ∴ CD ? PD , ∴ DM ? ………………2 分

1 PC ? 3 . 2



DN ? AD2 ? AN 2 ? 5 , MN ? PN 2 ? PM 2 ? 2 ,
∴ MN ? DM , ∴ MN ? 平面 PCD . ………………4 分 ………………5 分

∴ DM 2 ? MN 2 ? DN 2 , ∵ DM

PC ? M ,

(2)解: (i) Q 为 PB 的中点. ∵ DN / / CB , CB ? ? , DN ? ? , ∵ BC ? 平面 PBC ,平面 PBC ∴ BC / / MQ . ∵ M 是 PC 的中点 ,∴ Q 是 PB 的中点. (ii) (法一)由(1)知, MN ? DM , ∴ S?DMN ?

………………6 分 ∴ BC / /? .

平面 ? = MQ ,

………………7 分

1 1 6 . DM ? MN ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2

∵ MQ / / BC / / DN , MQ =

1 1 BC ? DN , 2 2

∴ S?QMN ?

1 6 . S?DMN ? 2 4

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潮阳一中明光学校 2017~2018 学年 ∴ 梯形 DMQN 的面积为 S ?DMN +S ?QMN ?

文科数学

周四一测 ……………… 9 分

3 6. 4

设点 P 到平面 DMQN 的距离为 d ,则由 VP?DMN ? VN ?PDM 可得 S ?DMN ? d ?

1 3

1 S ?PDM ? MN 3

即 ?

1 3

2 6 1 6. ? d ? ? 2 ? 2 ,故 d ? 3 2 3

… … … … … … 11 分

∴ VP ? DMQN ?

1 1 3 2 S梯形DMQN ? d ? ? 6? 6=1. 3 3 4 3

… … … … … … 12 分

(法二)

1 1 2 VP ? MND =VN ? PMD ? S?PMD ? NM ? ? 2 ? 2 ? . … … … … … … 9 分 3 3 3 1 VP ? MNQ ? VM ? PNQ ? S ?PNQ ? d M , 3
其中, S?PNQ =

1 1 ?1 ? S?PNB ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 1 , 2 2 ?2 ?
1 DN, 2

∵ MQ / / DN,MQ =

∴ 点 M 到平面 PNQ 的距离等于点 D 到平面 PNQ 的距离的一半,等于 1.

1 1 1 S ?PNQ ? d M = ? 1? 1= . 3 3 3 2 1 ∴ VP ? DMQN ? VP ? MND ? VP ? MNQ = + =1 . 3 3 (法三)连接 BM .
∴ VP ? MNQ ? VM ? PNQ ?

… … … … … … 11 分 … … … … … … 12 分

VP?DMQN ? VP?BCDN ?VM ?BCDN ?VM ?BNQ .
1 1 8 S平行四边形BCDN ? PA ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? . … … … … … … 8 分 3 3 3 ∵ M 是 PC 的中点, PA ? 底面 ABCD , 1 ∴ M 到平面 BCDN 的距离 d1 ? PA ? 1 , 2
其中 VP ? BCDN = ∴ VM ? BCDN =

1 1 4 S平行四边形BCDN ? d1 ? ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? . 3 3 3

……………… 9 分

∵ Q 是 PB 的中点, ∴ 在 ?BNQ 中, Q 到底边 BN 的距离 d Q ? ∴ S ?BNQ ?
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1 PA ? 1 . 2

1 BN ? d Q ? 1 . 2
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潮阳一中明光学校 2017~2018 学年 ∵ MQ / / DN,MQ =

文科数学

周四一测

1 DN, AD ? 平面 PAB , 2 1 ∴ M 到平面 BNQ 的距离 d 2 ? AD ? 1 . 2
∴ VM ? BNQ = S ?BNQ ? d 2 ?

1 3

1 1 ? 1? 1 ? . 3 3

… … … … … … 11 分

∴ VP ? DMQN ? VP ? BCDN ? VM ? BCDN ? VM ? BNQ =

8 4 1 ? ? ? 1 .… … … … … … 12 分 3 3 3

20、

解: (1)不妨设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? ,其中 y1 =

x12 x2 ,y2 = 2 . 4 4

由导数知识可知,抛物线 C 在 A 点处的切线 l1 的斜率 k1 ?

x1 , 2

则切线 l1 的方程为 y ? y1 ? ∵ F ? 0,1? , ∴ 直线 MF 的斜率 ∵ k1 ? kMF ? ?1 , ∴ AM ? MF . (2)由(1)可知 S1 ?

x1 x ( x ? x1 ) ,令 y =0 ,可得 M ( 1 ,0) .… … … … … … 2 分 2 2

kMF ?

1? 0 2 ?? x x1 . 0? 1 2

………………4 分

………………5 分

1 AM ? MF , 2
x1 ? 2 ? ? y1 ? 2?
2

其中 AM = ? x1 ?
2

? ?

x12 ? y12 ? 4

y1 ? y12 ?

y1 1 ? y1 ,

?x ? MF = ? 1 ? ? 1 ? ?2?
∴ S1 ?

y1 ? 1 ,

1 1 AM ? MF ? ( y1 ? 1) y1 . 2 2 1 ( y2 ? 1) y2 . 2

………………7 分

同理可得 S 2 ?

………………8 分

∴ S1 ? S 2 ?

1 1 ( y1 ? 1)( y2 ? 1) y1 y2 ? ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1? y1 y2 . … … … … … … 9 分 4 4
第 5 页 /共 8 页

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潮阳一中明光学校 2017~2018 学年 设直线 l 的方程为 y ? kx +1 ,联立方程 ? ∴ x1 ? x2 ? ?4 . ∴ y ?y ?? 1 2

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周四一测

? y ? kx +1 可得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 ? x ? 4y

x1 x2 ? =1 . 16
2

… … … … … … 10 分

∴ S1 ? S 2 ?

1 1 ? y1 ? y2 ? 2 ? ? 2 y1 y2 ? 2 =1 ,当且仅当 y1 =y2 时,等号成立. 4 4
… … … … … … 12 分

?

?

∴ S1 ? S2 的最小值为 1. 21、解: (1)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? ex?1 ? ln x( x ? 0) ,

? f ?( x) ?

xe x ?1 ? 1 ( x ? 0) . x

………………2 分

令 t ( x) ? xe x?1 ?1( x ? 0) ,则 t ?( x) ? ( x ? 1)ex?1 ( x ? 0) . 当 x ? 0 时, t ?( x) ? 0 ,即 t ( x) 单调递增. 又 t (1) ? 0 , ………………3 分

? 当 x ? (0,1) 时, t ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,
当 x ? (1, ??) 时, t ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增.

? f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .
(2)由 f ( x) ? ex?1 ? a ln x( x ? 0) 可知, f ?( x) ?

………………5 分

xe x ?1 ? a ( x ? 0) , x

当 a ? 0 时, f ( x) ? e x?1 ,显然 f ( x ) 没有零点; 当 0 ? a ? e 时,由(1)可知函数 g ( x) ? xe x?1 ? a 在 (0, ??) 单调递增, 且 g (0) ? 0 , g (e) ? 0 .

? 存在唯一的 x0 ? (0,e) 使得 f ?( x0 ) ? 0 ,即 x0ex0 ?1 ? a ①,
当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, 当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,

………………7 分

? f ( x) 的最小值为 f ( x0 ) ? ex0 ?1 ? a ln x0 ②,
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………………8 分

潮阳一中明光学校 2017~2018 学年 (法一)由①可知, a ? x0e
x ?1
x0 ?1

文科数学 ,
x ?1 x ?1

周四一测

∴ f ? x ?min ? f ( x0 ) ? e 0 ? x0e 0 ln x0 ? e 0 由题, 0 ? x0e
x0 ?1

?1? x0 ln x0 ? .

………………9 分

? e,
… … … … … … 10 分
0 0

∴ ln x0 ? x0 ?1 ? 1 ,即 ln x0 ? 2 ? x0 . ∴ f ? x ?min ? f ( x0 ) ? e
x0 ?1

x ?1 ?1 ? x0 ln x0 ? ? e x ?1 ? ?1 ? x0 ? 2 ? x0 ? ? ? =e ? x0 ? 1?

2

? 0,

上式中两个等号不同时成立. 综上所述,函数 f ( x ) 无零点. (法二)由①可知, e
x0 ?1

故 f ? x ?min ? f ( x0 ) ? 0 , … … … … … … 12 分

?

a ,且 ln x0 ? ln a ? x0 ? 1 ,代入②式可得, x0
………………9 分

f ( x0 ) ? a(

1 ? x0 ? ln a ? 1) ③, x0

x0 ? (0,e) ,

? x0 ?

1 ? 2 ,当且仅当 x0 ? 1 ,即 a ? 1 时取等号, x0

? f ( x0 ) ? a ? a ln a ,
令 h( x) ? x ? x ln x(0 ? x ? e) ,则 h?( x) ? ? ln x , 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, 当 x ? (1, e) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, 当 x ? (0,1) 时, ln x ? 0 ,则 x ln x ? 0 ,即 x ? x ln x ? 0 , 又 h(e) ? 0 , … … … … … … 10 分

? 当 x ? (0, e] 时, h( x) ? 0 恒成立,当且仅当 x ? e 时取等号,
0 ? a ? e ,? h(a) ? a ? a ln a ? 0 ,
由于 f ( x0 ) ? a ? a ln a ,当且仅当 a ? 1 时取等号, … … … … … … 11 分

h(a) ? a ? a ln a ? 0 ,当且仅当 a ? e 时取等号,两个等号不能同时成立,
? f ( x0 ) ? 0 ,

? f ( x) ? 0 恒成立,
… … … … … … 12 分
第 7 页 /共 8 页

综上所述,函数 f ( x ) 无零点.
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文科数学

周四一测

22、解: (1)由题意可知,圆 C1 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,

? 极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,

………………2 分

由题意可知,圆 C2 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ,即 x2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,

? 极坐标方程为 ? ? 8sin ? .
(2)直线 l 的极坐标方程为 ? ?

………………4 分

π ( ? ? R) , 6

直线 l 与圆 C1 , C2 交于不同于原点的点 A , B ,

? ? A ? 2 cos

?
6

? 3 , ? B ? 8sin

?
6

? 4,

………………6 分

? AB ? ? A ? ?B ? 4 ? 3 ,
又点 C2 (0, 4) 到直线 AB 的距离为 2 3 , ………………8 分

? S ?C2 AB ?

1 ? (4 ? 3) ? 2 3 ? 4 3 ? 3 , 2
… … … … … … 10 分
2

??C2 AB 的面积为 4 3 ? 3 .
23、解: (1)由题意可知, x ? 1 ? x ?1 ? x ? x ,

………………1 分

①当 x ? 1 时,原式可化为 x 2 ? 3x ? 0 ,即 x ? 0 或 x ? 3 ,? x ? 3 ; … … … … … … 2 分 ②当 ?1 ? x ? 1 时,原式可化为 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 2 ,? x 无解; ………3 分

③当 x ? ?1 时,原式可化为 x 2 ? x ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 0 ,? x ? ?1 ; … … … … … … 4 分 综上所述,x ? (??, ?1) (2)由题意可知,

(3, ??) .

………………5 分

f ( x) ? x ?1 ? x ?1 ? ( x ?1) ? ( x ?1) ? 2 ,当 ?1 ? x ? 1 时,等号成立,… … … … … … 6 分
2 又 g ( x) ? x ? x ? ?

1 1 ,当且仅当 x ? 时,等号成立, 4 2

………………7 分

令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 x ?

1 1 7 时, h( x) 取到最小值为 h ( ) ? .… … … … … 9 分 2 2 4
… … … … … … 10 分

由题意可知 a ?

7 7 ? ?, ) . , 故a?( 4 4
第 8 页 /共 8 页

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