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青胜蓝数学刘樟平——江苏省徐州市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题及答案

徐州市 2013—2014 学年度高一第一学期期末考试数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题纸相应位置上 . ............... 1.设 M ? {1,2,3}, N ? {2,3,4}, 求 M ? N ? ▲ . ? 2.函数 y ? sin( . 2 x ? ) 最小正周期为 ▲ 6 3. sin150? 的值为 ▲ . 4.设 U ? R, A ? { x x ? 1}, B ? { x x ? 2}, 则 (CU A) ? B ? 5.圆心角为

▲ .

.

? 弧度,半径为 6 的扇形的面积为 3
▲ .



6.函数 y ? 2 x ? 4 的定义域为

7.已知向量 a ? (2 ? k ,4), b ? (2, k ? 3), 若 a ? b, 则 b ?
?3 x 2 ? 4, x ? 0, 8.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (0)) ? ?1, x ? 0,

▲ ▲ . . .

.

9.已知 sin( 125? ? ? ) ?

1 的值为 55? ? ?) , 则 sin( 3
x

▲ ▲

10.已知 f ( x ) ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调增区间为 11.若函数 f ( x ) ?

y
. ▲ ▲ . .
A

k?2 在其定义域上为奇函数,则实数 k ? ▲ 1 ? k ? 2x 1 ? ax 12.若存在 x ? [2,??) ,使不等式 ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x

O
?2

2

x

13.如图,在 ?ABC 中, AD ? AB, BC ? 2BD, AD ? 1, 则 AC ? AD 的值为

14.给出下列四个命题: ? ? ①函数 y ? si n ( 2 x ? ) 的图象可以由 y ? sin2 x 的图象向右平移 个单位长度得 3 6 到; ②函数 y ? 3 ? 2 x 的图象可以由函数 y ? 2 x 的图象向左或向右平移得到; ③设函数 f ( x ) ? lg x ? sinx 的零点个数为 n, 则 n ? 6;
B

D

C

第 13 题图

④已知函数 f ( x ) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3), g( x ) ? e x ? e(e 是自然对数的底数),如果对于任意 x ? R, 总有 f ( x ) ? 0 或 g( x ) ? 0, 且存在 x ? (??,?6), 使得 f ( x ) g( x ) ? 0, 则实数 m 的取值范围是 (?4,?3) . 则其中所有正确命题的序号是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 ......... 算步骤. 15.(本题满分 14 分)设 A, B, C , D 为平面内的四点,且 A(1,3), B(2,?2),C (4,1). (1)若 AB ? CD, 求 D 点的坐标; (2)设向量 a ? AB, b ? BC , 若 ka ? b 与 a ? 3b 平行,求实数 k 的值.

16. (本题满分 14 分)已知 tan? ? 2.

? 3? cos( ? ? ? ) cos( ? ? ) sin( ?? ) 3 sin? ? 2 cos? 2 2 的值;(3)若 ? 是第三象限角,求 cos? 的值. (1)求 的值;(2)求 sin( 3? ? ? ) sin( ? ? ? ) cos( ? ??) sin? ? cos?

17. (本题满分 14 分)设向量 a , b 满足 a ? b ? 1, 3a ? b ? 5 . (1)求 a ? 3b 的值;(2)求 3a ? b 与 a ? 3b 夹角的正弦值.

18. (本题满分 16 分)某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不 高于 800 元/件 .经试销调查,发现销售量 y (件)与销售单价 x (元/件)可近似看作一次函数 y ? kx ? b 的关系(如图 所示). (1)根据图象,求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价—成本总价)为 S 元. 试用销售单价 x 表示毛利润 S , 并求销售单价定为 多少时,该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
y

400 300 200 100 200 400 600 700
x

第 18 题

19. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? A sin( ?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的图象的一个最高点为 ( ?

?
12

,2), 与之相邻的

? 与 x 轴的一个交点为 ( ,0). 6 (1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x ) 的单调减区间和函数图象的对称轴方程; (3)用“五点法”作出函数 y ? f ( x ) 在长度为一个周期区间上的图象.

20. (本题满分 16 分)函数 f ( x ) 定义在区间 (0,??), y ? R, 都有 f ( x y ) ? yf ( x ), 且 f ( x ) 不恒为零. (1)求 f (1) 的值; (2)若 a ? b ? c ? 1, 且 b 2 ? ac, 求证: f (a ) f (c ) ? [ f (b)]2 ; 1 (3)若 f ( ) ? 0, 求证: f ( x ) 在 (0,??) 上是增函数. 2

徐州市 2013—2014 学年度高一第一学期期末考试数学试题答案
一、填空题: 1. {1,2,3,4} 11. ?1 2.? 3. 13. 2

1 2

4. ?x |1≤ x ? 2? 14.①②③④

5.6?

6. [2, +?)

7. 5

8.?1

1 9. 3

10. ? 3, +? ?

12.

7 2

二、解答题: 15.⑴设 D ? x, y ? . 由 AB ? CD ,得 ? 2, ?2? ? ?1,3? ? ? x, y ? ? ? 4, ?1? ,则 ?1, ?5? ? ? x ? 4, y + 1? ,…………3 分 所以

4 ? 1, 解得 x ? 5, ………………………………………………………………5 分 ?xy ? ?y ? ?6. + 1 ? ?5,

所以点 D 的坐标为 ? 5, ?6 ? .…………………………………………………………………6 分 ⑵因为 a ? AB ? ? 2, ?2 ? ? ?1,3? ? ?1, ?5? , b ? BC ? ? 4, ?1? ? ? 2, ?2 ? ? ? 2,1? ,……………8 分 所以 ka ? b ? k ?1, ?5? ? ? 2,1? ? ? k ? 2, ?5k ? 1? , a + 3b ? ?1, ?5? + 3? 2,1? ? ? 7, ?2 ? .……10 分 由 ka ? b 与 a + 3b 平行,得 ? k ? 2? ? ? ?2? ? ? ?5k ? 1? ? 7 ? 0 ,…………………………12 分

1 所以 k ? ? .………………………………………………………………………………14 分 3 3sin ? + 2cos ? 3tan ? + 2 16.⑴ ………………………………………………………2 分 ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 3? 2 + 2 ? ? 8 .…………………………………………………………………………3 分 2 ?1 ? ?? cos ? ? ? ? ? cos( + ? )sin(? ? ) 2 2 ? ? ? cos ? ?? ? sin ? ?? cos ? ? ……………………9 分 ⑵ sin ? 3? + ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? + ? ? ? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ? cos ? ?
cos ? 1 1 ?? ? ? .…………………………………………………………………10 分 sin ? tan ? 2 sin ? ⑶解法 1:由 ? tan ? ? 2 ,得 sin ? ? 2cos? , cos ? 1 又 sin 2 ? + cos2 ? ? 1 ,故 4cos2 ? + cos2 ? ? 1 ,即 cos 2 ? ? ,………………………12 分 5 5 因为 ? 是第三象限角, cos? ? 0 ,所以 cos ? ? ? .…………………………………14 分 5 cos2 ? 1 1 1 解法 2: cos2 ? ? ? ? ? , …………………………12 分 2 2 2 2 cos ? + sin ? 1 + tan ? 1 + 2 5 5 因为 ? 是第三象限角, cos? ? 0 ,所以 cos ? ? ? .…………………………………14 分 5 2 17.⑴由 3a ? b ? 5 ,得 ? 3a ? b ? ? 5 ,所以 9a 2 ? 6a b ? b2 ? 5 ,…………………2 分 ??
因为 a 2 ? b2 ? 1 ,所以 a b ?
2 2

5 .……………………………………………………………4 分 6
2

因此 ? a ? 3b ? ? a ? 6a b ? 9b ? 15 ,所以 a ? 3b ? 15 .…………………………8 分 ⑵设 3a ? b 与 a + 3b 的夹角为 ? , 因为 ? 3a ? b ? ? a + 3b ? ? 3a 2 + 8a b ? 3b 2 ?

20 ,…………………………………………10 分 3

? 3a ? b ? ? a + 3b ? ? 则 cos? ?
3a ? b a + 3b

20 3 ? 4 3 ,………………………………………………12 分 9 5 3
4 3 2 33 , ) ? 9 9

因为 0? ≤? ≤180? ,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (

33 .…………………………………………14 分 9 18.⑴由图象知,当 x ? 600 时, y ? 400 ;当 x ? 700 时, y ? 300 , 分别代入 y ? kx + b ,解得 k ? ?1 , b ? 1000 , 所以 y ? ? x + 1000(500 ≤ x ≤ 800) .……………………………………………………6 分 ⑵销售总价 ? 销售单价 ? 销售量 ? xy ,成本总价 ? 成本单价 ? 销售量 ? 500 y , 代入求毛利润的公式,得 S ? xy ? 500 y ? x(? x + 1000) ? 500(? x + 1000) ? ? x2 + 1500 x ? 500000 ………………10 分
所以 3a ? b 与 a + 3b 的夹角的正弦值为

? ?( x ? 750)2 + 62500(500 ≤ x ≤ 800) , 当 x ? 750 时, Smax ? 62500 ,此时 y ? 250 .……………………………………………14 分 答:当销售单价为 750 元/件时,可获得最大毛利润为 62500 元,此时销售量为 250 件.…………16 分
T ? ? ?? ? 2? ? ? ? ? ? ? ,所以 T ? ? ,所以 ? ? , ? ? 2 .…2 分 4 6 ? 12 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 所以 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,将 ? ? , 2 ? 代入,得 sin ? ? ? ? ? ? 1 , 12 6 ? ? ? ? ?? 因为 ? ? ? ,所以 ? ? ,…………………………………………………………………4 分 3 ?? ? ? 所求函数解析式为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? .………………………………………………5 分 3 ? ? ? ?? 3? ? 5? ⑵由 ? 2k ? ≤ 2 x ? ≤ ? 2k ? ? k ? Z ? ,得 ? ? k ? ≤ x ≤ ? k ? , 2 3 2 12 12 5? ? ? ? 所以函数的单调减区间是 ? ? ? k ?, ? k ?? ? k ? Z ? .…………………………………7 分 12 ? 12 ? ?? ? ? k? 由 2x ? , ? ? k ? ? k ? Z ? ( k ? Z),得 x ? ? ? 3 2 12 2 ? k? 所以函数图象的对称轴方程为 x ? ? ? ? k ? Z ? .……………………………………9 分 12 2 ⑶ 1)列表
19.⑴由题意, A ? 2 ,

x
2x ? 2? 3

?

? 3

?

0 0

? 12 ? 2

? 6

?
?2

?? 12 ?? 2

?? 3

??

…………13 分

y
2) 描 y
2 1

2

0

2 点画图

……………………………………16 分
? ? 3 ? ? O 12 ?1 ? 6 ?? 12
?? 3

x

20.⑴令 x ? 1, y ? 1 , f ?1? ? yf ?1? , f ?1??1 ? y ? ? 0 , 因为 y ? 1 ,所以 f ?1? ? 0 .…………………………………………………………………3 分 ⑵设 x y ? ac ,则 y ? log x ac ,所以

?2

f ? ac ? ? f ? x y ? ? yf ? x ? ? ? log x ac ? f ? x ? ? ? log x a + log x c ? f ? x ?

? ? log x a ? f ? x ? + ? log x c ? f ? x ? ? f xlog x a + f xlog x c ? f ? a ? + f ? c ? ,……………5 分
因为 b2 ? ac ,所以 f b2 ? f ? ac ? ,所以 2 f ? b ? ? f ? a ? + f ? c ? , f ? b ? ?
2 2 2

?

?

?

?

? ?

f ? a? + f ?c? 2



? f ? a? + f ?c? ? ? f ? a ? ? f ?c ? ? ? ? ? f ? a ? f ?c ? ? ? ? ≥ 0 .…………8 分 ? f ? b ?? ? ? f ? a? f ?c? ? ? 2 2 ? ? ? ? 下面证明当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 .
假设存在 x0 ? 1 , f ? x0 ? ? 0 ,则对于任意 x ? 1 ,

f ? x ? ? f x0

?

log x0 x

? ? ? log x ? f ? x ? ? 0 ,不合题意.所以,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 .
x0 0

因为 a ? c ? 1 ,所以存在 m ? 1 ,

f ? a ? ? f ? c ? ? f mlogm a ? f mlogm c ? ? logm a ? log m c ? f ? m ? ? 0 ,
2

?

?

?

?

所以 f ? a ? ? f ? c ? ,所以 f ? a ? f ? c ? ? ? ? f ? b ?? ? .…………………………………………10 分
x0 ?? 1 ?log 1 ? ? ? ?1? 2 ⑶设 x0 ? ? 0,1? ,则 f ? x0 ? ? f ?? ? ? ? ? log 1 x0 ? f ? ? ? 0 ,………………………12 分 ? ? ?? 2 ? ? ? 2 ? ? 2? x 设 x1 , x2 为区间 ? 0, +? ? 内的任意两个值,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 1 ? 1 ,由⑵的证明知, x2

?x ? ?x ? ?x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? 1 x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? 1 ? + f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? 1 ? ? 0 , ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以 f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上是增函数.………………………………16 分


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