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高中数学专题1.4生活中的优化问题举例练习(含解析)2_2


生活中的优化问题举例 (时间:25 分,满分 50 分) 班级 姓名 得分 ) 1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为( 3 A. V 3 3 3 B. 2V C. 4V D.2 V 【答案】 C 2 .方底无盖水箱的容积为 256,则最省材料时,它的高为( A.4 B.6 C.4.5 D.8 【答案】 A ) 256 2 【解析】 设底面边长为 x,高为 h,则 V(x)=x ·h=256,∴h= 2 , x ∴S(x)=x +4xh=x +4x· 2 2 256 2 4×256 , 2 =x + x x 4×256 256 ∴S′(x)=2x- .令 S′(x)=0,解得 x=8,∴h= 2 =4. 2 x 8 3.内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( ) R 3 A. 和 R 2 2 4 7 C. R 和 R 5 5 【答案】 B B. 5 4 5 R和 R 5 5 D.以上都不对 【解析】 设矩形一边的长为 x,则另一边长为 2 R -x , 则 l=2x+4 R -x (0<x<R), 2 2 2 2 l′=2- 4x R -x 2 2 ,令 l′=0,解得 x1= 5 5 R,x2=- R(舍去). 5 5 当 0<x< 5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5 1 所以当 x= 4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. C. 3 cm 3 16 3 cm 3 B. D. 10 3 cm 3 20 3 cm 3 ) 【答案】 D 5.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ( A. ) 3 2 3 cm 2 2 B.4 cm 2 C.3 2 cm D.2 3 cm 2 【答案】 D 【解析】 设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面 积之和为 S= 3 2 3 3 x + (4-x)2= [(x-2)2+4]≥2 3(cm2),故选 D. 4 4 2 6.在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直 径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,其梯形的 上底为( A. C. ) B. 3 r 2 r 2 3 r 3 D.r 【答案】 D 【解析】 如下图所示,为圆及其内接梯形,设∠COB=θ ,则 CD=2rcosθ ,h=rsinθ , 2r(1+cosθ ) 2 ∴S= ·rsinθ =r sinθ (1+cosθ ) 2 ∴S′=r [cosθ (1+cosθ )-sin θ ]=r (2cos θ +cosθ -1) 2 2 2 2 2 1 令 S′=0 得 cosθ =-1(舍去)或 cosθ = . 2 1 即当 cosθ = 时,梯形面积最大,此时上底 CD=2rcosθ =r.故应选 D. 2 7.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为________. 【答案】 3 8.如图(1),将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无 盖的正六棱柱容器(图(2)).当这个正六棱柱容器的底面边长为________时,其容积最大. 【

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