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高中数学专题1.4生活中的优化问题举例练习(含解析)2_2

生活中的优化问题举例 (时间:25 分,满分 50 分) 班级 姓名 得分 ) 1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为( 3 A. V 3 3 3 B. 2V C. 4V D.2 V 【答案】 C 2 .方底无盖水箱的容积为 256,则最省材料时,它的高为( A.4 B.6 C.4.5 D.8 【答案】 A ) 256 2 【解析】 设底面边长为 x,高为 h,则 V(x)=x ·h=256,∴h= 2 , x ∴S(x)=x +4xh=x +4x· 2 2 256 2 4×256 , 2 =x + x x 4×256 256 ∴S′(x)=2x- .令 S′(x)=0,解得 x=8,∴h= 2 =4. 2 x 8 3.内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( ) R 3 A. 和 R 2 2 4 7 C. R 和 R 5 5 【答案】 B B. 5 4 5 R和 R 5 5 D.以上都不对 【解析】 设矩形一边的长为 x,则另一边长为 2 R -x , 则 l=2x+4 R -x (0<x<R), 2 2 2 2 l′=2- 4x R -x 2 2 ,令 l′=0,解得 x1= 5 5 R,x2=- R(舍去). 5 5 当 0<x< 5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5 1 所以当 x= 4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. C. 3 cm 3 16 3 cm 3 B. D. 10 3 cm 3 20 3 cm 3 ) 【答案】 D 5.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ( A. ) 3 2 3 cm 2 2 B.4 cm 2 C.3 2 cm D.2 3 cm 2 【答案】 D 【解析】 设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面 积之和为 S= 3 2 3 3 x + (4-x)2= [(x-2)2+4]≥2 3(cm2),故选 D. 4 4 2 6.在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直 径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,其梯形的 上底为( A. C. ) B. 3 r 2 r 2 3 r 3 D.r 【答案】 D 【解析】 如下图所示,为圆及其内接梯形,设∠COB=θ ,则 CD=2rcosθ ,h=rsinθ , 2r(1+cosθ ) 2 ∴S= ·rsinθ =r sinθ (1+cosθ ) 2 ∴S′=r [cosθ (1+cosθ )-sin θ ]=r (2cos θ +cosθ -1) 2 2 2 2 2 1 令 S′=0 得 cosθ =-1(舍去)或 cosθ = . 2 1 即当 cosθ = 时,梯形面积最大,此时上底 CD=2rcosθ =r.故应选 D. 2 7.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为________. 【答案】 3 8.如图(1),将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无 盖的正六棱柱容器(图(2)).当这个正六棱柱容器的底面边长为________时,其容积最大. 【答案】 2 3 【解析】 设四边形较短边为 x,则较长边为 3x,正六棱柱底面边长为 1-2x,高为 3x, 1 9 2 2 ∴V=6× ×sin60°×(1-2x) × 3x= x(1-2x) . 2 2 V′= (1-2x)(1-6x),令 V′=0,得 x= 或 x= (舍去). 1 1 1 当 0<x< 时,V′>0;当 <x< 时,V′< 0. 6 6 2 1 1 2 因此当 x= 时,V 有最大值,此时底面边长为 1-2× = . 6 6 3 9.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位: 万元) 与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万 3x+5 元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 9 2 1 6 1 2 k 3 40 800 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20 C(x)+C1(x)=20× + 6x = + 3x+5 3x+5 6x(0≤x≤10). 2400 (2)f ′(x)=6- 2, (3x+5) 2400 25 令 f ′(x)=0,即 (舍去). 2=6,解得 x=5,x=- (3x+5) 3 当 0<x<5 时,f ′(x)<0,当 5<x<10 时,f ′(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)= 800 6×5+ =70. 15+5 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 10.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为 80π 半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已 3 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造 费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求

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