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2016年全国数学(Ⅲ卷)试卷评析及复习备考建议

2016 年全国数学(Ⅲ卷)试卷评析及复习备考建议
2016 年高考已落下帷幕,纵观今年新课程全国数学(Ⅲ卷)理科试卷。难度适中,不 偏不怪,注重基础,关注本质,提倡创新,强调应用。考题立足高中数学基础知识,遵循新 课程标准、考试说明和考试大纲,从多角度、多层次、全方位考查了考生的综合素养和应用 能力,既重视对双基的考查又兼顾试题的区分度,是高中数学新课程教学改革的正确导向。 下面就以 2016 年全国高考数学 (Ⅲ卷) 理科试卷的试卷设计, 试题特点进行分析, 并对 2017 年高考数学复习备考提供一些建议。 一 试题特点分析 1、 立足学科基础,平稳中出创新 2016 年全国Ⅲ卷考查的知识点都是高中数学学科的核心内容和主干知识,取材于构成 高中数学主体内容的函数与导数,立体几何,解析几何,概率与统计,三角函数和数列等试 题,其中主干知识分值达到 115 分。并严格遵循课程标准、考试说明和考试大纲,既考虑到 云南考生学习的实际情况, 又注重试题的选拔功能, 有效的检测了考生对中学数学知识和数 学思想方法的掌握与应用程度。 通过和 2015 年高考试题比较发现, 大部分考查的体型一致,
知识点 函数导数 解析几何 立体几何 三角函数 概率统计 几何证明 不等式选 讲 2015 分值 2016 分值 年 年 坐标系参 方

22 22

22 22

22 22

15 15

17 17

10 10

10 10

10 10

知识点

数列


集合 5 5

函数 5 5

程序框 图 5 5

线性规 划 5 5

向量 5 5

简易逻 辑

2015 分值 2016 分值

12 17



0

反映了高考数命题的导向, 也是 2017 年高考数学复习的参考。 虽然与 2015 年试题考查内容 高度吻合但在试题的新颖程度上也有所创新,如第 4 题是用雷达图来表达统计的题型,第 12 题是建立在新背景下定义一个“规范 01 数列”,第 18 题与生活中的垃圾无害化处理与归 回分析的应用。 都是看似有别与常规问题, 实则与高中所学的内容密切相关的一类创新型题 型,考查了学生对知识的理解和应用能力。 例 1(全国卷Ⅲ第 4 题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况, 绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中 A 点表 示十月的平均最高气温约为 15?C , B 点表示四月的平均最低气温约 为 5?C .下面叙述不正确的是 (A)各月的平均最低气温都在 0?C 以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同

(D)平均气温高于 20?C 的月份有 5 个 试题解析:由雷达图可知 0 均在虚线框内,所以各月的平均气温都在 0 以上,故 A 正确; 在七月的平均温差大于 7.5 C ,而一月的平均温差小于 7.5 C ,故七月的平均温度差比一月 的平均温度差大,故 B 正确;三月和十一月的平均最高气温都大约在 5 C ,基本相同, C 正确;平均最高气温高于 20 C 的月份有 2 个或 3 个,所以不正确,故选 D。 【点评】解答本题时需要对雷达图及其意义有所了解,若对图形中的线条认识不明确,不知 所措, 或者错误的数据认识都不能找不到解决问题的有效方法, 在估计平均温差时易出现错 误,错选 B. 2、 注重运算能力与数学表达能力,强化思维能力的考查。 做数学试卷都是需要读题审题,利用大量的计算,配合一定的数学方法和思维,得到完 美结果的过程。今年的数学试卷考查数形结合思想的有第 1 题、第 6 题、第 8 题,第 10 题、 第 11 题、第 16 题,考查转化与化归思想的有第 5 题、第 12 题。同时,第 12 题考查学生理 解问题与转化问题的能力,第 18 题考查学生对已知条件进行组合解决实际问题的能力,第 21 题将三角函数与导数进行结合,考查了学生的综合运用能力,整个试卷都体现了考查一 名考生所具有的基本数学素养和解决问题的能力。 数学是一门需要表达的学科, 特别体现在 书写上面,试题中的六个解答题,除了要求学生有一定的分析、解决问题的能力,更需要学 生能把思维与计算表达在答题卡上, 这就对学生思维的连贯与表达, 文字的组织和书写要求 颇高。 例 2. (全国卷Ⅲ第 20 题) 已知抛物线 C :y ? 2 x 的焦点为 F , 平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2
2
?
? ? ?

?

?

分别交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 试题解析: (Ⅰ)设出与 x 垂直的两条直线,得出 A, B, P, Q, R 的坐标,证明直线 AR 与直 线 FQ 的斜率相等即可.解题过程略。 (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2 1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 .设满足条件的 AB 的中 b ? a x1 ? ? 2 2 2
2 y ? ( x ? 1) . 而 a ? b x ?1

由题设可得

点 为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴 不 垂 直 时 , 由 k AB ? k DE 可 得

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) .当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合,所以,所求轨迹方 2
程为 y 2 ? x ?1 . 【点评】本题考查抛物线定义与几何性质;直线与抛物线位置关系;轨迹求法.将解析几何 中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明; 求轨迹的方 法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法) 。 例3 (全国卷Ⅲ第 21 题) 设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) , 其中 a ? 0 , 记 | f( )| x 的最大值为 A . (Ⅰ)求 f ?( x ) ; (Ⅱ)求 A ; (Ⅲ)证明 | f ?( x) |? 2 A .

试题解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x . (Ⅱ)当 a ? 1 时, | f ' ( x) |?| a sin 2 x ? (a ?1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0) 因此, A ? 3a ? 2 .当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x ) 变形为 f ( x) ? 2a cos2 x ? (a ?1)cos x ?1 . 令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ?1)t ?1 , 则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上 的 最 大 值 , g (?1) ? a ,

g (1) ? 3a ? 2 , 且 当 t ?

1? a 时 , g (t ) 取 得 极 小 值 , 极 小 值 为 4a

1? a 1 1 1? a (a ? 1)2 a 2 ? 6a ? 1 ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) g( )?? ?1 ? ? .令 ?1 ? ,a ? . 4a 3 5 4a 8a 8a
(1) 当 0 ? a ?

1 时, g ? t ? 在 ? ?1,1? 内无极值点, g ? ?1? ? a, g ?1? ? 2 ? 3a, 5

g ? ?1? ? g ?1? ,所以 A ? 2 ? 3a
(2) 当

1 ? 1? a ? ? a ? 1 时,由 g ? ?1? ? g ?1? ? 2 ?1 ? a ? ? 0 ,故 g ? ?1? ? g ?1? ? g ? ? 5 ? 4a ?

又 g?

?1 ? a ??1 ? 7a ? ? 0 ,所以 A ? g ? 1 ? a ? ? a2 ? 6a ? 1 ? 1? a ? ? g ? 1 ? ? ? ? ? ? 8a 8a ? 4a ? ? 4a ?

1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 , ? a ?1 综上: A ? ? 8 a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?
(Ⅲ)由(Ⅰ)得 | f ( x) |?| ?2a sin 2 x ? (a ?1)sin x |? 2a? | a ?1| .
'

当0 ? a ?

1 ' 时, | f ( x) |? 1 ? a ? 2 ? 4a ? 2(2 ? 3a) ? 2 A . 5



1 a 1 3 ? a ? 1 时, A ? ? ? ? 1 ,所以 | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 A . 5 8 8a 4

当 a ? 1 时, | f ' ( x) |? 3a ?1 ? 6a ? 4 ? 2 A ,所以 | f ' ( x) |? 2 A . 【点评】本题考查了:1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性. 求三角函数的最值通常分为两步: (1)利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式 将解析式化为形如 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式; (2)结合自变量 x 的取值范围,结合正弦 曲线与余弦曲线进行求解. 3、试题源于教材,取于生活,彰显数学魅力,提升教材价值 高考数学试题一直源于教材, 源于生活, 使数学返璞归真, 让学生在复习时能有的放矢, 知道应该从哪里去入手,从哪里去突破,从最根本的教材指导数学的理解与应用,品尝到数 学之美。 本试卷的大部分都取值于教材中的例题或习题内容, 其解题过程与课本保持高度一 致,起思想方法、解题技巧有高于教材。并利用数学知识解决实际问题,符合新课程标准中 倡导的“发展学生的数学应用意识”的理念。 例 3(全国卷Ⅲ第 18 题)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿 吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量。 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n



i

? y) 2

? ? ? 回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

试题解析 (1)由折线图中的数据和参考数据及公式可得

t ? 4, ? ti ? t
i ?1

7

?

?

2

? 28,

??
7 i ?1

yi ? y

?

2

? 0.55

? ? t ? t ?? y ? y ? ? 2.89
7 i ?1 i i

故r ?

2.89 ? 0.99 说明 y 与 t 的线性相关相当高, 故可以用线性回归模型来进行拟 0.55?2?2.646
7

合 y 与 t 的关系

9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (2)由 y ? 7

? (t
i ?1

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103, 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92 .所以, y 关于 t 的回归方程为: y ? ? 0.92 ? 0.10t . ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生 活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 【点评】生活实际中的问题利用研究 r 的值利用线性回归方程来进行拟合以说明相关关系。 二、教学启示与建议 1、求准——准确把握考纲要求,掌握命题方向 高中数学上千个知识点,高考数学只考 22 个题,不可能面面俱到。其实这也是课程改 革与考试命题的趋势与方向,新课程改革要破除题海战术,大力推广学生的探究能力、创新 能力, 思维能力。 这就要求教师要以考试要求为纲, 明确新课程改革的方向, 把握好哪些讲, 哪些不讲,哪些重点练,其本质是要为学生真正理解而教,以提升学生思维而教。 2、求真——重基础,归教材 立足教材,注重通性通法是高考数学命题的核心与不变的追求,同时也是给战斗在教学 第一线教师的启示,近几年高考题逐渐平稳,其考查的知识体系,方法技巧都可以在教材中 获取,如果考试是水那源头便是教材的核心知识,典型例题,蕴含的思想方法。正所谓“问 渠那得清如许,为有源头活水来” ,作为高考复习的参与者,都应该探究教材,充分挖掘数 学问题的本质才能引导学生进行高考复习与获得好成绩。 3、求实——把握教学规律,促进学生思考与整理 高三复习中,解题教学必不可少,需要教师加大备课,精选例题和习题,不可盲目练习, 不可搞题海战术,应以问题解决为载体,多角度,分层次进行教学活动。切不能为了做题而

做题,要“借题发挥,变题归纳,举一反三” ,充分让学生参与到课堂教学活动中来。但是 学生的学仍然是一个非常关键的过程, 如何能让学生突破思维难点?解题改用到哪些思想方 法?解题思路?试题为什么没有做出?是哪个地方卡住了?产生错误的原因是什么?如何 改正错误?能否通过训练类似的习题来巩固知识?教学是一步一步踏踏实实进行的过程, 学 生需要通过必要的训练来掌握基础知识, 基本技能, 但是在训练之下还应多给学生整理和消 化的时间和空间,切不可盲目浮躁,妄想以加大训练量的方式来提高成绩,正所谓“学而不 思则罔” ,整理与反思是学习的重要组成部分。


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