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高二数学,几何概型(教师版)

几何概型
一、兴趣导入(Topic-in):
有一天我同学问我 “你知道什么动物最爱问为什么吗?” 我老早就知道了,但是我还是配合了,我说:“不知道,是什么?” 同学:“是猪啊。” 我:“哦。” ??沉默了一会后?? 同学:“你不想知道为什么吗?” 我:“不想。” 同学:“为什么?” ??自作孽不可活

二、学前测试(Testing):
1.(人教 A 版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为( ). 1 A.2 1 B.3 1 C.4 D.1

1 解析 点坐标小于 1 的区间长度为 1,故所求其概率为3. 答案 B 2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某 人到达路口时看见的是红灯的概率是( ). 1 A.5 2 B.5 3 C.5 4 D.5

30 2 解析 以时间的长短进行度量,故 P=75=5. 答案 B 3.(2012· 衡阳模拟)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在 阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( ).

3 2 2 1 解析 P(A)=8,P(B)=8,P(C)=6,P(D)=3, ∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B).
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答案 A 4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界), 则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( ).

π A.3 3 C. 4

3 3 B. 4π D.以上全错

3 2 3 解析 设正三角形边长为 a,则外接圆半径 r= 2 a×3= 3 a, 3 2 4a 3 3 ∴所求概率 P= = 4π . ? 3 ? π? a?2 ?3 ? 答案 B 5.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. |CD| 1 解析 如图,这是一个长度型的几何概型题,所求概率 P= |AB| =3. 1 答案 3

三、知识讲解(Teaching):
1.几何概型 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A, A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、 面积或体积) 成正比,而与 A 的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型. 2.几何概型中,事件 A 的概率计算公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.
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一条规律 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置 无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法. 两种类型 (1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时. (2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把两个变量分别作为一个点 的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决.

四、强化练习(Training)
考向一 与长度有关的几何概型 【例 1】 ?点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点. 若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 AB 的 长度小于 1 的概率为________. [审题视点] 用劣弧 AB 的长度与圆周长的比值. 解析

如右图,设 A、M、N 为圆周的三等分点,当 B 点取在优弧 MAN 上时,对劣弧 AB 来说,其 2 长度小于 1,故其概率为3. 2 答案 3 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被 取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中 的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

【训练 1】 一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形 的三个顶点的距离均超过 1 的概率为________.

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解析 如图,该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的长度为:1+2+3=6,故所求概 6 1 率为 P=12=2. 1 答案 2 考向二 与面积有关的几何概型 【例 2】?(2012· 华东师大附中模拟)设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方 程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概 率. [审题视点] (1)为古典概型,利用列举法求概率. (2)建立 ab 平面直角坐标系,将问题转化为与面积有关的几何概型. 解 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本 9 3 事件,事件 A 发生的概率为 P(A)=12=4. (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a , b)|0≤a≤3,0≤b≤2} ,构成事件 A 的区域为 {(a , 1 3×2-2×22 2 b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},所以所求的概率为 P(A)= =3. 3×2 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形 准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式, 在图形中画出事件 A 发生的区域,利用公式可求.

【训练 2】 (2011· 福建)如图,

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矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ ABE 内部的概率等于( 1 A.4 1 1 B.3 C.2 2 D.3 ).

1 解析 S△ABE=2|AB|· |AD|,S 矩形 ABCD=|AB||AD|. 故所求概率 P= 答案 C 考向三 与角度、体积有关的几何概型 【例 3】?在 Rt△ABC 中,∠A=30° ,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,求使|AM| >|AC|的概率. [审题视点] 如图所示, S△ABE S矩形ABCD 1 =2.

因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB 内作射线 CM 看做是等可能的,基本事件是 射线 CM 落在∠ACB 内任一处, 使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关, 这符合几何概 型的条件. 解 设事件 D 为“作射线 CM, 使|AM|>|AC|”. 在 AB 上取点 C′使|AC′|=|AC|, 因为△ACC′ 是等腰三角形,所以∠ACC′= μA=90-75=15,μΩ=90, 15 1 所以 P(D)=90=6. 几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线 CM 落在∠ ACB 内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的,因为 M 在 AB 上的落点 不是等可能的. 【训练 3】 (2011· 长沙模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中
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180° -30° =75° , 2

心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 解析 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球外.记点 P 到点 O 1 4π 23-2× 3 ×13 π 的距离大于 1 为事件 A,则 P(A)= =1-12. 23 π 答案 1-12 规范解答 21——如何解决概率与函数的综合问题 【问题研究】 所谓概率,就是某种事件发生的可能性的大小,而“事件”可以是日常生活中 常见的例子,也可以是有关的数学问题,如以函数的基本性质?定义域、值域、单调性、奇偶 性、周期性?为背景,设置概型,提出问题,考查考生综合分析问题、解决问题的能力. 【解决方案】 首先认真阅读题目,把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化,实现知识 的迁移,然后再利用概率的知识去解决. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011· 潍坊模拟)已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求 函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0, (2)设点(a,b)是区域?x>0, ?y>0

内的一点,

求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率. 本题以“二次函数的单调性”为背景,首先写出事件发生所满足的条件,在第 (1) 问中,给出了有限个数据,从而判断是古典概型问题,利用列举法写出事件发生的总数以及 满足条件的事件发生的个数,再利用公式求之;第(2)问中,a 和 b 有无限个数据,所以是几 何概型问题,首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度,再利用公式求 之. 2b [解答示范] (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为直线 x= a ,要使 f(x)=ax2-4bx+ 2b 1 在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 a>0 且 a ≤1,即 2b≤a.(2 分) 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1 或 1; 若 a=3,则 b=-1 或 1. ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5.(5 分)
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5 1 ∴所求事件的概率为15=3.(6 分) (2)由(1),知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,(8 分) 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为

? ??a+b-8≤0, ? ?a>0, ??a,b?? ? ? ??b>0 ?
a+b-8=0, ? ? 由? a b= , ? ? 2

? ? ?,构成所求事件的区域为三角形部分. ? ?

?16 8? 得交点坐标为? 3 ,3?,(10 分) ? ?

1 8 2 ×8×3 1 ∴所求事件的概率为 P= 1 =3.(12 分) × 8 × 8 2 本题中先将 f(x)在[1,+∞)上为增函数转化为满足条件 2b≤a 且 a>0,然后再联系 已知条件,将问题转化为几何概型,实现了知识的逐步迁移,这种转化迁移的思想值得考生 注意,另外,对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在某一区间[m,+∞)上单调递增的充要 条件是 a>0, ? ? ? b - ≤m, ? ? 2a

切勿漏掉 a>0.

【试一试】 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若 a,b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率. [尝试解答] (1)基本事件(a,b)共有 36 个,方程有正根等价于 a-2>0,16-b2>0,Δ≥0, 即 a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 设“方程有两个正根”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3),共 4 个, 4 1 故所求的概率为 P(A)=36=9. (2)试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4}, 其面积为 S(Ω)=16,
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设“方程无实根”为事件 B,则构成事件 B 的区域为 B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16}, 1 其面积为 S(B)=4×π×42=4π, 4π π 故所求的概率为 P(B)=16=4

五、训练辅导(Tutor):
π π 1 1 1.(2012·北京模拟)在区间?- , ?上随机取一个 x,sin x 的值介于- 与 之间的概率为( 2 2 ? 2 2? 1 A. 3 1 C. 2 2 B. π 2 D. 3 )

π π 1 1 解析:选 A 由- <sin x< ,x∈?- , ?, 2 2 ? 2 2? π ? π? - - 6 ? 6? 1 π π 得- <x< .所求概率为 = . 6 6 π ? π? 3 - - 2 ? 2? 2.(2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的 长,则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为( 1 A. 6 2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5 )

解析: 选 C 设 AC=x cm, CB=(12-x)cm,0<x<12, 所以矩形面积小于 32 cm2 即为 x(12-x)<32? 0<x<4 8 2 或 8<x<12,故所求概率为 = . 12 3 3.(2013·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零点的概率为( 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 1 D. 4 )

解析:选 C 要使该函数无零点,只需 a2-4b2<0, 即(a+2b)(a-2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0, ∴a-2b<0. 0≤a≤1, ? ? 作出?0≤b≤1, ? ?a-2b<0 1 1 1- ×1× 2 2 3 的可行域,易得该函数无零点的概率 P= = . 4 1×1
8

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4.(2012·北京西城二模)已知函数 f(x)=kx+1,其中实数 k 随机选自区间[-2,1].? x∈[0,1],f(x)≥0 的 概率是( 1 A. 3 2 C. 3 ) 1 B. 2 3 D. 4

? ?f?0?≥0, 1-?-1? 2 解析:选 C 由? x∈[0,1],f(x)≥0 得? 有-1≤k≤1,所以所求概率为 = . 1 -?-2? 3 ?f?1?≥0, ?

5.(2012·盐城摸底)在水平放置的长为 5 米的木杆上挂一盏灯,则悬挂点与木杆两端的距离都大于 2 米的 概率为( 1 A. 5 3 C. 5 ) 2 B. 5 1 D. 2

解析:选 A 如图,线段 AB 长为 5 米,线段 AC、BD 长均为 2 米,线段 CD 长为 1 米,满足题意的 1 悬挂点 E 在线段 CD 上,故所求事件的概率 P= . 5 6.(2012·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为 6,8,10 的三角形区域内随机爬行,则其到三角形任一顶点 的距离小于 2 的概率为( π A. 12 π C. 6 ) π B. 10 π D. 24

解析:选 A 记昆虫所在三角形区域为△ABC,且 AB=6,BC=8,CA=10,则有 AB2+BC2=CA2, 1 AB⊥BC,该三角形是一个直角三角形,其面积等于 ×6×8=24.在该三角形区域内,到三角形任一顶点的 2 A+B+C π 2π π 距离小于 2 的区域的面积等于 ×π ×22= ×22=2π ,因此所求的概率等于 = . 2 24 12 2π

y≤x, ? ? 7.(2012·郑州模拟)若不等式组?y≥-x, ? ?2x-y-3≤0

表示的平面区域为 M,x2+y2≤1 所表示的平面区域为 N,

现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________. π 4 π π 解析:∵y=x 与 y=-x 互相垂直,∴M 的面积为 3,而 N 的面积为 ,所以概率为 = . 4 3 12 π 答案: 12
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8.(2012·孝感统考)如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向图 2 中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概 1 率是 ,则此长方体的体积是________. 4

解析:设题图 1 长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内 2+4h 1 1 的概率 P= = ,解得 h=3 或 h=- (舍去), 2 ?2h+2??2h+1? 4 故长方体的体积为 1×1×3=3. 答案:3 1 9.(2012·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为 1 米的四方板构成,并将此板分成四个边长为 米的小方 2 块.试验是向板中投镖,事件 A 表示投中阴影部分,则事件 A 发生的概率为________. 解析:∵事件 A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应,事件组中每一个基本事件与大正方

形区域中的每一个点一一对应.∴由几何概型的概率公式得 P(A)= 1 答案: 4

?1?2 ?2? 1
12

= . 4

10. 已知|x|≤2, |y|≤2, 点 P 的坐标为(x, y), 求当 x, y∈R 时, P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率. 解: 如图, 点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界), 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径的圆面(含边界). 1 π ×22 4 π 故所求的概率 P1= = . 16 4×4

11.已知集合 A=[-2,2],B=[-1,1],设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合 M 内随机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 内的概率; (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于 2 的概率. 2
10

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解:(1)集合 M 内的点形成的区域面积 S=8.因 x2+y2=1 的面积 S1=π , S1 π 故所求概率为 P1= = . S 8 |x+y| 2 S2 1 (2)由题意 ≤ 即-1≤x+y≤1, 形成的区域如图中阴影部分, 面积 S2=4, 所求概率为 P= = . 2 S 2 2 12.(2012·长沙模拟)已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x, y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、 第二次出现的点数,求满足 a·b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a·b<0 的概率. 解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=36 个; 由 a·b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a·b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5)共 3 个. 故满足 a·b=-1 的概率为 3 1 = . 36 12

(2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω ={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a·b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,且-2x+y<0}; 画出图形, 1 矩形的面积为 S 矩形=25,阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a·b<0 的概率为 . 25

六、反思总结(Thinking):

堂堂清落地训练 (5-10 分钟的测试卷,坚持堂堂清,学习很爽心)
1、(2011·湖南高考)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25.
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(1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 25 [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得 d= =5; 5 |c| (2)设直线 4x+3y=c 到圆心的距离为 3,则 =3,取 c=15,则直线 4x+3y=15 把圆所截得的劣弧的 5 长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率, 由于圆半径是 2 3, 则可得直线 4x+3y=15 截得的圆弧所对 1 的圆心角为 60°,故所求的概率是 . 6 [答案] 5 1 6

2.(1)已知 A 是圆上固定的一点, 在圆上其他位置上任取一点 A′, 则 AA′的长度小于半径的概率为_____. (2) 在 Rt△ABC 中, ∠BAC=90°, AB=1, BC=2.在 BC 边上任取一点 M, 则∠AMB≥90°的概率___. 解析:(1)如图,满足 AA′的长度小于半径的点 A′位于劣弧 BA C 上, 2π 3 2π 1 其中△ABO 和△ACO 为等边三角形,可知∠BOC= ,故所求事件的概率 P= = . 3 2π 3 1 (2)如图,在 Rt△ABC 中,作 AD⊥BC,D 为垂足,由题意可得 BD= ,且点 M 在 BD 2 1 BD 2 1 上时,满足∠AMB≥90°,故所求概率 P= = = . BC 2 4 1 答案:(1) 3 1 (2) 4

3、(1)(2012·湖北高考)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇 形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( 2 A.1- π 1 1 B. - 2 π 2 C. π ) 1 D. π

x-y≥0, ? ? (2)已知不等式组?x+y≥0, ? ?x≤a?a>0? P 落在 M 的内切圆内的概率为( ? 2-1? A. π 4

表示平面区域 M,若点 P(x,y)在所给的平面区域 M 内,则点

) C.(2 2-2)π D. 2-1 π 2

B.(3-2 2)π

[自主解答] (1)法一:设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,OA 的中点为 D, 如图, 连接 OC,DC.不妨令 OA=OB=2,则 OD=DA=DC=1.在以 OA 为直径的半圆中,空白

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部分面积 π 1 π 1 S1= + ×1×1-? - ×1×1?=1,所以整体图形中空白部分面积 S2=2. 4 2 ?4 2 ? 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π ×22=π ,所以阴影部分面积为 S3=π -2. 4 π -2 2 所以 P= =1- . π π 法二:连接 AB,设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,令 OA=2. 由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC=S 弓形 B C=S 弓形 O C, 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π ×22=π ,所以 S 阴影=π -2. 4 1 所以 S 空白=S△OAB= ×2×2=2. 2 S阴影 π -2 2 所以 P= = =1- . S扇形OAB π π

1 (2)由题知平面区域 M 为一个三角形,且其面积为 S=a2.设 M 的内切圆的半径为 r,则 (2a+2 2a)r=a2, 2 S内切圆 解得 r=( 2-1)a.所以内切圆的面积 S 内切圆=π r2=π [( 2-1)·a]2=(3-2 2)π a2.故所求概率 P= = S (3-2 2)π . [答案] (1)A (2)B

4、(1)(2012·烟台模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 12 π B.1- 12 π C. 6 ) π D.1- 6

(2)一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 玻璃容器的 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置 的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率为( 1 A. 8 1 B. 16 ) 1 C. 27 3 D. 8

[自主解答] (1)点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球的外部.记点 P 1 4π 23- × ×13 2 3 π 到点 O 的距离大于 1 为事件 A,则 P(A)= =1- . 3 2 12 (2)由题意,可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的,所以由几何概型的概率计算 103 1 公式,知蜜蜂飞行是安全的概率为 3= . 30 27 [答案] (1)B (2)C

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