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浙江省杭州市五校联盟2015-2016学年高三12月数学(文)试题 Word版含答案


2015 学年杭州市五校联盟高三月考数学(文)试卷(12 月)
试卷满分:150 分 一、选择题(共 40 分) 1.“φ = ”是“函数 y=sin(x+φ )为偶函数的” ( ) 考试时间:120 分钟

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.若函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,则 g (x)=loga(x+k)的是( )
x ﹣x

A.

B.

C.

D.

3.已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=

,则不等式 f(x

﹣1)≤ 的解集为(



A. [ , ]∪[ , ] B. [﹣ ,﹣ ]∪[ , ] C. [ , ]∪[ , ] D. [﹣ ,﹣ ]∪[ , ] 4.若正项数列 {an } 满足 1gan ?1 ? 1 ? 1gan ,且 a2001 ? a2002 ? ? ? a2010 ? 2014,则

a2011 ? a2012 ? ? ? a2020 的值为(
A. 2014? 10
10

)
11

B. 2014? 10

C. 2015? 10

10

D. 2015? 10

11

5.若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则φ 的 最小正值是( A. B. ) C. D. =λ +(1﹣λ ) ,其中 0≤λ ≤1.若 ? = ,

6.已知向量 ⊥ ,| ﹣ |=2,定义:

则| A.

|的最大值为( B.

) C.1 D.

-1-

7.下列命题中错误 的是( ..

)

A.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么直线 l ? 平面 ? D.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 8.已知抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2 2

=1(a>0,b>0)渐近线的距离为



点 P 是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的 距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( A. B. C. ) D.

二、填空题(9-12 每题 6 分,13-15 每题 4 分) 9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,对任意实数 x 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,当 x ? [0,1] 时,

f ( x ) ? x 2 ,若在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范
围是_______________. 10.已知 A ? {x |

1 1 ? 2? x ? } , B ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 1} ,则 A ? B ? ________________. 8 2
满足如下条件:|
*

11.已知非零向量序列: = (n=2,3,4,?,n∈N ) ,Sn= n= . , ) ,sin2θ =

|=2,

? =﹣ ,且 ,当 Sn 最大时,

12.若 θ ∈(

,则 cosθ ﹣sinθ 的值是 ,| ﹣ |= ,则 ? = .



13.设向量 , 满足| + |=

14.已知 x,y 满足

,则 x+y 的最大值为



15.已知某几何体的三视图如图所示,这该几何体的体积为

,表面积为



-2-

三、解答题(共 74 分) 16.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,0≤φ ≤π )为偶函数,且其图象上相邻两对称 轴之间的距离为π . (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式.

(Ⅱ)若 sinα +f(α )= ,求

的值.

17.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1B=B1A=BA=BC=2,∠B1BC=90°,D 为 AC 的中点,AB⊥B1D. (Ⅰ)求证:平面 ABC⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求 B 到平面 AB1D 的距离.

18.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程;

的椭圆过点(



) .

(2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等 比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

19.已知 a∈R,函数 f(x)=x ﹣a|x﹣1|.
-3-

2

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)讨论 y=f(x)的图象与 y=|x﹣a|的图象的公共点个数. 20.在等比数列{an}中,a1=1,a3,a2+a4,a5 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式 (2) 若数列{bn}满足 b1+ +?+ (n∈N ) , {bn}的前 n 项和为 Sn, 求证 Sn≤n?an (n∈N )
+ +

-4-

2015 学年杭州市五校联盟高三月考数学(文)答案
一、选择题 1 2 A C
二、填空题 9. ? 0, ? 4

3 A

4 A

5 C

6 C

7 D

8 B

? ?

1? ?

10. ?x | 1 ? x ? 4?

11.8 或 9

12.﹣

13.1

14.2

15.288,

336. 三、解答题 16.解: (I)∵f(x)为偶函数∴sin(﹣ω x+?)=sin(ω x+?) 即 2sinω xcos?=0 恒成立∴cos?=0, 又∵0≤?≤π ,∴ (3 分)

又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T=2π ∴ω =1 ∴f(x)=cosx(6 分) (II)∵原式= (10

分) 又∵ 即 ,∴ ,故原式= (11 分) (12 分)

17.(Ⅰ)证明:取 AB 中点为 O,连接 OD,OB1.因为 B1B=B1A,所以 OB1⊥AB. 又 AB⊥B1D, OB1∩B1D=B1, 所以 AB⊥平面 B1OD, 因为 OD?平面 B1OD, 所以 AB⊥OD, 由已知, BC⊥B1B, 又 OD∥BC,所以 OD⊥⊥B1B,因为 AB∩B1B=B,所以 OD⊥平面 ABB1A1. 又 OD?平面 ABC,所以平面平面 ABC⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,B1O= 因为 B1O⊥平面 ABC,所以 设 B 到平面 AB1D 的距离是 d,则 得 B 到平面 AB1D 的距离 d= .? ,S△ABC= = = =2,B1A=2,AC=B1C=2 = = , d, , = ,

-5-

18.解: (1)由题意可设椭圆方程为

(a>b>0) ,则





所以,椭圆方程为



(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,



消去 y 得

(1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0, 则△=64k b ﹣16(1+4k b ) (b ﹣1)=16(4k ﹣m +1)>0, 且 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2


2

故 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m . 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以 =k ,
2


2

+m =0,又 m≠0,

2

所以 k = ,即 k=



-6-

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m <2 且 m ≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△OPQ= d|PQ|= |x1﹣x2||m|= 所以 S△OPQ 的取值范围为(0,1) . 19.解(Ⅰ)当 a=1 时, , ,
2 2


2



(Ⅱ)设 h(x)=x ﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|,

当 a>1 时,



1、x≥a 时,h(a)=a>0,对称轴 所以(ⅰ)a≥2 时,一个零点;

,无零点.1≤x<a 时,x1=0(舍去) ,x2=a﹣1,

(ⅱ)1<a<2 时,x<1 时,△=a +10a+1>0,对称轴 所以(ⅰ)a≥2 时,一个零点; (ⅱ)1<a<2 时,两个零点. 综上所述,a>1 时,h(x)有两个零点, 即 y=f(x)的图象与 y=|x﹣a|的图象的公共点有 2 个, 2.a=1 时,

2

,h(1)=2﹣a

,即 y=f(x)的图象与 y=|x﹣a|的图象的公共点有 2 个,

3.a<1 时,

?

x≥1 时,对称轴

,h(1)=a.

所以(ⅰ)a≤0 时,一个零点; (ⅱ)0<a<1 时,无零点.a≤x<1 时,x1=0(舍去) ,x2=1﹣a, 所以(ⅰ) (ⅱ) 时,一个零点; 时,无零点.x<a 时,△=a +10a+1,对称轴
2

,h(a)=a(2a﹣1)

-7-

所以(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ)

时,对称轴
2

,h(a)=a(2a﹣1)>0,无零点;

时,△=a +10a+1<0,无零点; 时, 或
2

,一个零点; 时,△=a +10a+1>0,对称轴 ,h(a)=a

(2a﹣1)>0,两个零点; (ⅴ) 综上, (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 时,h(a)=a(2a﹣1)≤0,一个零点, 或 a>0 时,y=f(x)与 y=g(x)的图象的公共点有 2 个; 或 a=0 时,y=f(x)与 y=g(x)的图象的公共点有 3 个; 时,y=f(x)与 y=g(x)的图象的公共点有 4 个.
2 3 4

20.(1)解:设数列{an}的公比为 q, ∵a1=1,∴a2=q,a3=q ,a4=q ,a5=q , 又∵a3,a2+a4,a5 成等差数列,∴2(a2+a4)=a3+a5, 即 2(q+q )=q +q ,解得 q=2 或 0(舍) ,∴an=2 (2)证明:∵数列{bn}满足 b1+ +?+
3 2 4 n﹣1


+

=an(n∈N ) ,

∴当 n=1 时,b1=a1=1,此时 S1=1×a1; 当 n≥2 时,
0

=an﹣an﹣1=2
1 2

n﹣1

﹣2

n﹣2

=2

n﹣2

,∴bn=n?2
n﹣3

n﹣2

, ,
n﹣1

∴Sn=1+2×2 +3×2 +4×2 +?+(n﹣1)×2
0 1 2 3

+n×2
n﹣2

n﹣2

∴2Sn=2×2 +2×2 +3×2 +4×2 +?+(n﹣1)×2 两式相减,得﹣Sn=1+2 +2 +2 +?+2 ∴Sn=n×2 1=n×2
n﹣1 n﹣1 1 2 3 n﹣2

+n×2



﹣n×2

n﹣1

, ﹣1﹣
+

﹣ 1 ﹣( 2 +2 +2 +?+2
n﹣1

1

2

3

n﹣2

)=n×2

n﹣1

= ( n ﹣ 1 )×2

n﹣1



﹣(1+2

)<n×2

n﹣1

=n?an,综上所述,Sn≤n?an(n∈N ) 。

-8-


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