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四川省德阳市高中2013届高三“一诊”考试 数学理

遵义四中 2012~2013 学年度高三第四次月考
数 学 试 题(理)
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1 ? i 2012 ?( ) 1. 1 ? i 2013
(A) ?1 ? i (B) ?1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i 2.如下图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上的任意一点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则 点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) (A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

3. a ? log0.3 4, b ? log4 3, c ? 0.3?2 ,则( ) (A) a ? c ? b (B) c ? b ? a (C) a ? b ? c (D) b ? a ? c

4.过点 P(1,3) 且在 x 轴上的截距和在 (A) x ? (C)x ?

y 轴上的截距相等的直线方程为( )

y?4? 0

(B) 3x ? (D)x ?

y?0

y ? 4 ? 0 或 3x ? y ? 0

y ? 4 ? 0 或 3x ? y ? 0

5. 某几何体的三视图如右图所示,则它的体积是( ) (A) 8 ?

2? 3

(B) 8 ?

? 3

(C) 8 ? 2? 6. 2 ? x (A)-1

(D)
8
4

2? 3


?

? 展开式中不含 x 项的系数的和为( ..
(B)0 (C)1

(D)2

r r r r 7. 已知向量 a ? (2,1) , b ? (1, k ) ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值范围是( )
(A) ? ?2, ??? (B) ( ?2, ) ? ( , ?? )

1 2

1 2

(C) (??, ?2)

(D) (?2, 2)

8. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0, ? ?

π )的 2

y
1
?
3 7? 12

O

?1

x

部分图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需 将 f ( x ) 的图象( )

(A)向右平移

π 个长度单位 6 π 个长度单位 6

(B)向右平移

π 个长度单位 12 π 个长度单位 12

(C)向左平移

(D)向左平移

9.过点 P(2, ?2) 且与曲线 y ? 3x ? x3 相切的直线方程是( ) (A) y ? ?9 x ? 16 (B) y ? 9 x ? 20 (C) y ? ?2 (D) y ? ?9 x ? 16 或 y ? ?2

10. 下列命题:①在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ;②已知 AB ? (3,4),CD ? (?2,?1) ,则

AB 在 CD 上的投影为 ? 2 ;③已知 p : ?x ? R, cos x ? 1 , q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ?q ”
为假命题;④已知函数 f ( x ) ? sin( ?x ?

? ) ? 2 (? ? 0) 的导函数的最大值为 3 ,则函数 f (x) 的图象 6

关于 x ? (A)1

? 对称.其中真命题的个数为( ) 3
(B)2 (C)3 (D)4

11. 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F 、 F2 ,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 = 1 4:3:2,则曲线 C 的离心率等于( ) (A)

2 3 或 3 2

(B) 或2

2 3

(C) 或2

1 2

(D) 或

1 2

3 2

3 2 12.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ( a ? 0 ) ,定义:设 f ??( x) 是函数 y ? f ?( x) 的导数,

若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.有同学发现:“任 何一个三次函数都有?拐点?;任何一个三次函数都有对称中心;且?拐 点?就是对称中心.”请你将 这一发现为条件,若函数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 1 ,则 x ? x ? 3x ? ? 3 2 12 x ? 1 2

g(

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ??? g( ) =( ) 2011 2011 2011 2011 2011
(B)2011 (C)2012 (D)2013

(A)2010

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分)
13.执行右侧的程序框图,输出的结果 S 的值为 .

14. 已知 ? 、 ? ? (0, ? ) ,且 tan(?

? ?) ?

1 1 , tan ? ? ? , 2? ? ? ? 2 7



15.等差数列 则

{an } 的前 项和为 S ,且 S9 ? ?36 , S13 ? ?104 ,等比数列 {bn } 中,b5 ? a5 ,b7 ? a7 , n n
. D O C B

b6 ?

16.如右图, 设 A、B、C、D 为球 O 上四点,若 AB、AC、AD 两两互相垂直, A 且 AB ? AC ? 6 , AD ? 2 ,则 A、D 两点间的球面距离 .

三、解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn ? 1 , n ? N? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn .

18. (满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树. 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认,在图中以 X 表示.

(Ⅰ)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这 两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望.

19.(满分 12 分)如右图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB, D 是 AC 的中点. (Ⅰ)求证:B1C//平面 A1BD;

(Ⅰ)求二面角 A—A1B—D 的余弦值.

20. (满分 12 分)已知椭圆

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 B (0, 4) ,离心率 e ?

5 , 5

直线 l 交椭圆于 M、N 两点. (Ⅰ)若直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,求弦 MN 的长; (II)如果Δ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 的方程. 21. (满分 12 分)设函数 f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? .
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间; (II)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异的实根,求实数 a 的取值范 围.

选做题: 请考生在 22, 24 三题中任选一题作答, 23, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22. (满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

如下图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点 的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (I)求 AC 的长; (II)求证:BE=EF.

23. (满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ,以该直角坐标系的原点 (t 为参数) ? y ? t ?1
2

O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P 的方程为 p ? 4 p cos? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A 、 B ,求 | AB | .

24. (满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (I)证明: ? 3 ≤ f (x) ≤3; (II)求不等式 f (x) ≥ x ? 8 x ? 15 的解集.
2

遵义四中 2012~2013 学年度高三第四次月考
数 学 试 题(理)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1~5 DCCD A 6~10BBADB 11~12 DA 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. ; 14.

?

3? 4



15. ?4

2;

16.

2? 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意, an?1 ? 3Sn ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 1 . 两式相减,得 an?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , ?????????????????2 分

a2 ? 4 ,?????????????????4 分 a1

所以数列 ?an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 的等比数列,????????5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4
n ?1

( n ? N? ). ????????????6 分
2 n?1

(Ⅱ)因为 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? n ? 4



所以 4Tn ? 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? (n ?1) ? 4
2 3

n?1

? n ? 4n , ????????8 分
1 ? 4n ? n ? 4n , ???10 分 1? 4

两式相减得, ?3Tn ? 1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ? n ? 4n ?

整理得, Tn ?

3n ? 1 n 1 ? 4 ? ( n ? N? ). 9 9

????????????12 分

18. (满分 12 分) 解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; ??????????????3 分 4 4

方差为 s ?
2

1 35 35 35 11 [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . ?????????6 分 4 4 4 4 16

(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植 树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结 果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件“Y=17”等价于“甲组 选出的同学植树 9 棵, 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果, 因此 P Y=17) ( =

2 1 ? 。 16 8
P (Y ? 18) ? 1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8
18 19 20 21

同理可得 所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17× ( Y=17 ) +18× ( Y=18 ) +19× ( Y=19 ) +20× ( Y=20 ) +21× ( Y=21 ) P P P P P =17× +18× +19× +20× +21× =19。 19.(满分 12 分) 解:(1)证明:连 AB1 交 A1B 于点 E ,连 DE . 则 E 是 AB1 的中点, ∵ D 是 AC 的中点,∴ DE // B1C

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8
????????????12 分

∵ DE ? 平面 A1BD , B1C ? 平面 A1BD ,∴ B1C ∥平面 A1BD .???????6 分 (2)法一:设 AA1 ? 2a ,∵ AA ? AB ,∴ AE ? BA ,且 AE ? 1 1 作 AF ? A1D ,连 EF ∵平面 A1BD ⊥平面 ACC1 A ,∴ AF ? 平面 A1BD ,∴ EF ? BA 1 1 ∴ ? AEF 就是二面角 A ? A1B ? D 的平面角, 在 ?A1 AD 中, AF ?

2a ,

2 a, 5

在 ?AEF 中, EF ?

4 6 AE 2 ? AF 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 5 5
6 a 5 ? 15 ,即二面角 A ? A B ? D 的余弦值是 15 .????12 分 1 5 5 2a

cos?AEF ?

EF ? AE

解法二:如图,建立空间直角坐标系. 则 D(0,0,0) , B(0, 3a,0) , A(?a, 0, 0) , A1 (?a,0, 2a) ∴ AA ? (0,0, 2a) , AB ? (a, 3a,0) , DA ? (?a,0,2a) , 1 1

????

??? ?

???? ?

??? ? DB ? (0, 3a,0)
设平面 A1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ,则 由?

?m ? DA ? ? x ? 2 z ? 0 ? 1 ?m ? DB ? 3 y ? 0 ?

,取 m ? (2,0,1)

设平面 AA B 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,则 1 由?

?n ? AB ? x ? 3 y ? 0 ? ?n ? AA ? 2 z ? 0 1 ?

,取 n ? ( 3,?1,0)

?? ? m?n 2 3 15 ? 记二面角 A ? A1B ? D 的大小是 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? , 5 | m || n | 2 5

即二面角 A ? A1B ? D 的余弦值是

15 .??????????12 分 5

20. (满分 12 分)解答: (1)由已知 b ? 4 ,且

c 5 c2 1 ? ,即 2 ? , 5 a 5 a

a 2 ? b2 1 x2 y 2 ? ,解得 a 2 ? 20 ,∴椭圆方程为 ? ? 1 ; ????????3 分 ∴ 20 16 5 a2
由 4 x2 ? 5 y 2 ? 80 与 y ? x ? 4 联立,
2 消去 y 得 9 x ? 40 x ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ?

40 , 9
????????6 分

∴所求弦长 | MN |? 1 ? 1 | x2 ? x1 |?
2

40 2 ; 9

(2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) , 由三角形重心的性质知 BF ? 2FQ ,又 B(0, 4) , ∴ (2, ?4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 ? 3, y0 ? ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? ?4 ,
2 x1 y2 x2 y 2 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 20 16 20 16

??? ?

??? ?

????????8 分



????????10 分

以上两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, 20 16

∴ kMN ?

y1 ? y2 4 x ?x 4 6 6 ?? ? 1 2 ?? ? ? , x1 ? x2 5 y1 ? y2 5 ?4 5

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 .

6 5

????????12 分

21. (满分 12 分)

解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ?1, ?? ? ,??????????????????1 分 ∵ f ?( x) ? 2 ?

2x ? x ? 2? ? 1 ? , ? ? x ? 1? ? ? ? x ?1 ? x ?1 ?

???????????????2 分

∵ x ? 1 ,则使 f ?( x) ? 0 的 x 的取值范围为 ?1, 2 ? , 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? . (2)方法 1:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ?1 ? ? ? x ? 1 ? ,
2

?????????????????4 分

∴ f ( x) ? x2 ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 . 令 g ? x ? ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? , ∵ g ?( x) ? 1 ?

??????????6 分

2 x ?3 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 g ?( x) ? 0得x ? 3,g ?( x) ? 0得1 ? x ? 3 . ∴ g ( x) 在区间 [2,3] 内单调递减,在区间 [3, 4] 内单调递增, ????????8 分

? g (2) ? 0, ? 故 f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? ? g (3) ? 0, ? g (4) ? 0. ?
2

??10 分

?a ? 3 ? 0, ? 即 ? a ? 4 ? 2 ln 2 ? 0, 解得: 2 ln 3 ? 5 ? a ? 2 ln 2 ? 4 . ?a ? 5 ? 2 ln 3 ? 0. ?
综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln 3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . ????????????12 分

方法 2:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ,
2

∴ f ( x) ? x2 ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 . 即 a ? 2ln ? x ?1? ? x ?1 , 令 h ? x ? ? 2ln ? x ?1? ? x ?1 , ∵ h?( x) ?

??????????6 分

2 3? x ?1 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 h?( x) ? 0得1 ? x ? 3, h?( x) ? 0得x ? 3 . ∴ h( x) 在区间 [2,3] 内单调递增,在区间 [3, 4] 内单调递减.????????8 分 ∵ h ? 2? ? ?3 , h ? 3? ? 2ln 2 ? 4 , h ? 4? ? 2ln 3 ? 5 , 又 h ? 2? ? h ? 4? , 故 f ( x) ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? h ? 4? ? a ? h ? 3? . ??????????????10 分 即 2 ln 3 ? 5 ? a ? 2 ln 2 ? 4 . 综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln 3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . ???????????12 分

22. (满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

解: (I)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,?PD ? 4 ,?(2 分) 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,
PC AC ,????(4 分) ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 ????(5 分)

? ?PAC ∽ ?CBA,?

(II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF ,
? EF ? 2 ?1 2 ? 2 ,? EF ? BE .

????(8 分) ????(10 分)

23. (满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》
2 2 解: (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,曲线 P 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 .

……5 分 (Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 ( 2,0) ,半径 r ? 1 的圆,
2 2

则圆心到直线 C 的距离为 d ?

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .……10 分 2

24. (满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》

x ? 2, ??3, ? 解: (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; {
2

………………5 分

当 x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? x ? 6} . { 综上,不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 6}. {
2

…………10 分


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