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1.2空间几何体的三视图和直观图


1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
【考纲要求】 [学习目标] 1.了解中心投影和平行投影. 2.能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图. 3.能识别三视图所表示的立体模型. [目标解读] 1.会画简单空间图形的三视图是重点; 2.识别三视图所表示的立体模型是难点. 【自主学习】 1.投影 (1)投影的定义 由于光的照射,在 物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ,这种现象 叫做投影.其中,我们把 叫做投影线,把 的屏幕叫做投影面. (2)投影的分类 ①中心投影:光由 散射形成的投影. ②平行投影:在一束 照射下形成的投影. 当投影线 时,叫做正投影,否则叫做 . (3)投影的性质 ①中心投影的性质:中心投影的 交于一点;当光源距离物体越近,投影形成 的影子 . ②平行投影的性质:平行投影的投影线 . 2.三视图 (1)分类 ①正视图:光线从几何体的 向 正投影,得到的投影图; ②侧视图:光线从几何体的 向 正投影,得到的投影图; ③俯视图:光线从几何体的 向 正投影,得到的投影图. (2)三视图的画法规则 ① 视图都反映物体的长度——“长对正”; ② 视图都反映物体的高度——“高平齐”; ③ 视图都反映物体的宽度——“宽相等”. 特别提醒:画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线 和棱用虚线表示. 【考点突破】 要点一 平行投影与中心投影 中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法, 是投影的两种形式. 通过中心投影与平 行投影将三维物体转换成二维平面物体, 可以通过投影想象实际物体的形状, 但还不能完全 反映真实情况,只能反映部分形状,只有在特殊情况下反映真实尺寸. 画立体几何图形时一般采用平行投影法, 画实际效果图时采用中心投影法, 中心投影的 投影线交于一点,点光源离物体越近,投影形成的影子越大;平行投影的投影线是平行的. 典型例题 1、在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F 分别是 A′A、C′C 的中点, 则下列判断正确的是________.

①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是正方形 ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是菱形 ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影与在面 ABB′A′内的投影是全等的平行四 边形 【思路启迪】 先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面,从而确定四边形 BFD′E 四点在各投影面的位置.再把各投影点连线成图. 【解析】 ①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是点 B、 C、 D、 A, 故投影是正方形,正确; ②设正方体的边长为 2, 则 AE=1, 取 D′D 的中点 G, 则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E,由 AE∥D′G,且 AE=D′G,∴四边形 AGD′E 是平行四边 形.但 AE=1,D′E= 5,故四边形 AGD′E 不是菱形.对于③,由②知是两个边长分别 相等的平行四边形,从而③正确. 方法指导: 画出一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点, 端点等),先画出这些关键点的投影,再依次连接即可得此图形在投影面上的投影. 反馈训练 1、如图甲所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、C1D1 的 中点,G 是正方形 BCC1B1 的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 乙中的________.

要点二 画空间几何体的三视图 1.三视图是用两两相互垂直的三个平面(正面、侧面、水平面)作为投影面,把物体放在 这个空间内,分别向三个平面进行正投影,然后将水平投影绕水平面和正面的交线向下转 90° ,将侧面投影绕侧面和正面的交线向右转 90° ,就得到了三视图,即画出的三视图需要符 合长对正、高平齐、宽相等的基本特征. 2.画简单组合体的三视图时,先要分析该组合体的结构特征,再想象模型,从正前方、 左方、正上方三个不同角度各能看到什么形状,再借助简单几何体的三视图,画出简单组合

体的三视图. 典型例题 2、画出下列几何体的三视图.

【思路启迪】 先弄清几何体的结构特征, 再确定三视图的形状, 并注意轮廓线的虚实. 【解】 (1)三视图如图所示.

方法指导:(1)在画三视图时,务必做到正(视图)侧(视图)高平齐,正(视图)俯(视图)长对 正,俯(视图)侧(视图)宽相等. (2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯 视图在正视图的正下方. 反馈训练 2、画出如下图所示的四棱锥的三视图.

要点三 识别三视图所表示的几何体 根据三视图还原几何体, 要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象, 然后综合三 视图的形状,从不同的角度去还原.通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体,再 结合正视图和侧视图确定几何体的结构特征. 典型例题 3、下图是一个几何体的三视图,请你想象这个几何体的形状,并画出这个几 何体.

【思路启迪】 根据几何体的结构特征进行空间想象,再进行合理分析. 【解】 这是一个简单的组合体:上部是一个圆柱,下部是一个长方体,几何体如图所 示:

方法指导: 综合三视图的形状, 从不同的角度去还原, 看图和想图是两个重要的步骤, “想”于“看”中,形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法. 反馈训练 3、如图是一个几何体的三视图,由图可以判断此几何体是________.

考点巩固
1.如果图形所在的平面不平行于投影线,那么下列说法正确的是( A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.正方形的平行投影一定是矩形 D.正方形的平行投影一定是菱形 2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) )

①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

4.给出下列命题: ①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体; ②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 5. 如图所示, E、 F 分别为正方体面 ADD′A′、 面 BCC′B′的中心, 则四边形 BFD′E 在该正方体的面上的投影可能是图中的________.

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,正视图与俯视图如图,则该直三棱柱的 侧视图面积为________.

7.如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的.

(1)判断该几何体是否为棱柱; (2)画出它的三视图.

8. 如图是用小正方体搭的一个几何体的正视图与俯视图, 它最少需要多少个小正方体? 最多需要多少个小正方体?

考点归纳-答案
1、解析:从平行投影的性质进行分析,平行投影只保持平行性,其他的如垂直、夹角 等则不一定保持. 答案:B 2、解析:①正方体,三视图均相同;②圆锥,正视图和侧视图相同;③三棱台,三视 图各不相同;④正四棱锥,正视图和侧视图相同. 答案:D

3、解析:根据正投影的性质,并结合侧视图要求及如图所示,AB 的正投影为 A′B′, BC 的正投影为 B′C′,BD′的正投影为 B′D′,综上可知侧视图为选项 D.

答案:D 4、解析:①中三视图完全相同的还可以是球;②中如果将一个圆柱横放,则其正视图 和俯视图都是矩形; ④中正视图和侧视图都是等腰梯形的几何体还可以是棱台. 故正确的是 ③. 答案:③ 5、 解析: 四边形 BFD′E 在正方体 ABCD-A′B′C′D′的面 ADD′A′和 BCC′B′ 上的射影是 C;在面 DCC′D′ 上的射影是 B ,同理,在面 ABB′A′ 、面 ABCD 、面 A′B′C′D′上的射影也全是 B. 答案:BC 6、解析:该直三棱柱的侧视图是长为 2,宽为 3的矩形,其面积为 2 3. 答案:2 3 7、解:(1)是棱柱.因为该几何体的前、后两个面互相平行,其余各面都是矩形,而且 相邻矩形的公共边都互相平行. (2)该几何体的三视图如图所示.

8、解:最少需要 9 个小正方体;最多需要 15 个小正方体.

1.2.3 空间几何体的直观图
【考纲要求】 [学习目标] 1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤. 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图. 3.通过观察三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系. [目标解读] 1.斜二测画法的概念是重点; 2.应用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图是难点. 【自主学习】 1.直观图 空间几何体的直观图通常是在 投影下画出的空间图形. 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴:在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它 们分别画成对应的 x′轴与 y′轴,其交点为 O′,且使∠x′O′y′= (或 ),它们确 定的平面表示 . 3.立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′, 使∠x′O′z′= ,且平行于 O′z′的线段长度 . 【考点突破】 要点一 水平放置的平面图形的直观图的画法 1.用斜二测画法画直观图要掌握:水平长不变,垂线长减半,直角化成 45° ,遮挡线条 改虚线,竖线长也不变,也就是把握住一斜——已知图形中垂直于 x 轴的线段,在直观图中 与 x 轴成 45° 或 135° ; 二测——两种度量形式, 即在直观图中, 平行于 x 轴的线段长度不变, 平行于 y 轴的线段变为原长度的一半. 2.画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角 坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可. 典型例题 1、如图是由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所构成的平面图形,请画出其水 平放置的直观图.

【解】 (1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如图(1)),再

建立坐标系 x′O′y′,使两轴的夹角为 45° (如图(2)); (2)以 O′为中点,在 x′轴上截取 A′B′=AB;分别过 A′,B′作 y′轴的平行线, 1 1 1 截取 A′E′= AE,B′C′= BC.在 y′轴上截取 O′D′= OD. 2 2 2 (3)连接 E′D′,E′C′,C′D′,得到平面图形 A′B′C′D′E′. (3)擦去辅助线,就得到所求的直观图(如图(3)).

方法指导:利用斜二测画法画直观图时应注意: (1)在已知图形中 x 轴,y 轴的选取,应尽可能多的使图形的点落在坐标轴上,有的点不 满足时应作辅助线,与 x 轴,y 轴垂直的线段是最常用的辅助线. (2)垂直于 x 轴,y 轴的线段在坐标系 x′O′y′下的长度变化切勿混淆. 反馈训练 1、用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

要点二 空间几何体的直观图的画法 几何体的直观图的画法规则,与平面图形的画法相比,只是多画一个与 x 轴、y 轴都垂 直的 z 轴,并且平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变.在直观图上,x′O′y′表示水 平平面,平面 y′O′z′和平面 z′O′x′表示直立平面. 画空间图形的直观图的原则: 1. 首先在原几何体上建立空间直角坐标系 O-xyz, 并且把它们画成对应的 x′轴与 y′ 轴,两轴交于点 O′,且使 ∠x′O′y′=45° (或 135° ),它们确定的平面表示水平面,再作 z′轴与 x′轴垂直. 2.作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′轴的线段并且长度不变. 典型例题 2、画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图. 【思路启迪】 先画底面,即先按照水平放置的平面图形的直观图的画法画正六边形, 再画侧棱,最后成图. 【解】 画法:(1)画轴.画 x′轴、y′轴、z′轴,使∠x′O′y′=45° (或 135° ),∠ x′O′z′=90° .

(2)画底面.按 x′轴,y′轴,画正六边形的直观图 ABCDEF. (3)画侧棱.过 A、B、C、D、E、F 各点分别作 z′轴的平行线,在这些平行线上分别 截取 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长. (4)成图.顺次连接 A′、B′、C′、D′、E′、F′,并加以整理(去掉辅助线,将被 遮挡的部分改为虚线,就得到正六棱柱的直观图). 方法指导:(1)空间几何体直观图的画法规则与平面图形的画法相比,只是多画一个与 x 轴和 y 轴都垂直的 z 轴,表示竖直方向;平行于 z 轴或在 z 轴上的线段,方向与长度都与原 来保持一致. (2)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以较 快、较准确地画出来. 第一步:作水平放置的正方形的直观图 ABCD,使∠BAD=45° ,AB=2cm,AD=1cm. 第二步:过 A 作 z′轴,使∠BAz′=90° .分别过点 B,C,D 作 z′轴的平行线,在 z′ 轴及这组平行线上分别截取 AA′=BB′=CC′=DD′=2cm. 第三步:连接 A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,得到的图形就是所求正方体的直 观图. 反馈训练 2、画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD-A’B’C’D’的直观 图。

要点三 将直观图还原为平面图形 给出直观图来研究原图形, 逆向运用斜二测画法规则, 要求我们具有逆向思维的能力. 画 法关键之处同样是关键点的确定,逆向的规则为“水平长不变,垂直长增倍”,注意平行于 y′轴的线段与平行于 x′轴的线段为垂直关系. 典型例题 3、已知水平放置的平面图形的直观图是边长为 1 的正三角形 ABC,求原图的 面积. 【思路启迪】 根据斜二测画法的原则递推画出原三角形. 【解】 如下图①所示,作 AD⊥BC 于 D,延长 DB 到 E,使 DE=AD,连接 AE,则 ∠AEC=45° .

画 E′C′=EC,E′B′=EB,B′D′=BD. 过 E′作 E′A′⊥E′C′,使 E′A′=2EA, 连接 A′C′,A′B′,则△A′B′C′就是原来的图形(如上图②所示). 3 这里 B′C′=BC=1,A′E′=2AE=2 2AD=2 2× = 6, 2 1 1 6 ∴△A′B′C′的面积为 S= B′C′· A′E′= ×1× 6= . 2 2 2 方法指导: 把直观图还原为平面图形是画直观图的递推过程, 解题时要正确运用斜二测 画法,特别是对应边的长度应准确无误. 反馈训练 3、 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示, 已知 A′C′=3, B′C′=2, 则 AB 边上的中线的实际长度为________.

考点巩固
1.利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图 是正方形;④菱形的直观图是菱形 以上结论中正确的是( ) A.①② B.① C.③④ D.①②③④ 2.如下图所示是△AOB 用斜二测画法画出的直观图,则△AOB 的面积是( )

A.8 B.16 C.32 D.64 3.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为 ( ) 3 3 A. a2 B. a2 4 8 6 2 16 2 C. a D. a 8 16 4.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一个平面图形的 直观图,则原图形的周长是________.

5.在水平放置的平面 M 内有一边长为 1 的正方形 A′B′C′D′,如图所示,其中对 角线 A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,则真实 图形的面积为________.

6.△ABC 水平放置的直观图形如下图所示,O′A=O′B=O′C=2 cm,那么:

(1)△ABC 的形状如何?

(2)△ABC 的面积是多少?

7.如图是一梯形 OABC 的直观图,其直观图面积为 S,求梯形 OABC 的面积.

8.如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

考点巩固-答案
1、解析:斜二测画法保持平行性和相交性不变,即平行直线的直观图还是平行直线, 相交直线的直观图还是相交直线,故①②正确;但是斜二测画法中平行于 y 轴的线段,在直 观图中长度为原来的一半,则正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形,所以③ ④错. 答案:A 1 2、解析:由图可知△AOB 的底边长为 4,高为 16,所以面积为 ×4×16=32. 2 答案:C 3、解析:如图①②所示的实际图形和直观图.

1 3 由图②可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′, 2 6 则 C′D′= O′C′= a. 2 8 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′= A′B′· C′D′= ×a× a= a2. 2 2 8 16 答案:D 4、解析:直观图中,O′B′= 2,原图形中 OC=AB= ?2 2?2+12=3,OA=BC=1, ∴原图形的周长是 2×(3+1)=8. 答案:8

5、 解析:因为四边形 A′B′C′D′是斜二测画法的直观图,且 A′C′在水平位置,所 以在真实图形中,D′A′所在边应该垂直 A′C′所在边,B′C′所在边应该垂直 A′C′ 所在边,如图所示.因为四边形水平放置, A′B′C′D′为正方形, 所以在四边形 ABCD 中 DA⊥AC, 又因为 DA=2D′A′=2, AC=A′C′= 2,所以 S 四边形 ABCD=AC· AD=2 2. 答案:2 2

6、 解:将直观图还原为原图形如图所示: (1)△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知,该△ABC 为等腰三角形. 1 ∴S△ABC= ×4×4=8(cm2). 2 7、解:设 O′C′=h,则原梯形是一个直角梯形且高为 2h. C′B′=CB,O′A′=OA. 2 过 C′作 C′D⊥O′A′于 D,则 C′D= h. 2 1 由题意知 C′D′(C′B′+O′A′)=S, 2

2 h(C′B′+O′A′)=S. 4 又原直角梯形面积为 1 4S S′= · 2h(CB+OA)=h(C′B′+O′A′)= =2 2S. 2 2 即 所以梯形 OABC 的面积为 2 2S. 8、解:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画底面,利用斜二测画法画出底面 ABCD,在 z 轴上截取 O′,使 OO′等于三视图 中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′ 画出上底面 A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度. (4)成图.连接 PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D,整理得到三 视图表示的几何体的直观图如图②所示.


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