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三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形

一、选择题:

1.设? 是锐角 , tan(? ? ? ) ? 3 ? 2 2, 则 cos? ? 4

()

2
A.
2

3
B.
2

3
C.
3

6
D.
3

2.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看

见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速度是每小时( A )

A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里

3.若函数

f

(x)

?

sin ?x(?

?

0)

在区间

???0,

? 3

? ??

上单调递增,在区间

?? ?? 3

,? 2

? ??

上单调递减,则 ?

?

(

)

A.3

B.2

3 C.2

2 D.3

4.已知函数 f (x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0), y ? f (x) 的图象与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于? , 则

f (x) 的单调递增区间是

()

A.

???k?

?

? 12

, k?

?

5? 12

???, k

?

Z

B.

???k?

?

5? 12

, k?

?

11? 12

???,

k

?

Z

C.

???k?

?

? 3

, k?

?

? 6

???,

k

?

Z

D.[

???k?

?

? 6

, k?

?

2? 3

???, k

?

Z

5.圆的半径为 4, a,b, c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc ? 16 2, 则三角形的面积为( )

A.2 2

B.8 2

C. 2

2
D.
2

6.已知 cos? ? ? 4 且? ? ?? ? ,? ??, 则 tan??? ? ? ?? 等于( C )

5

?2 ?

? 4?

A.-17 B.-7 C.17 D.7

7.锐角三角形 ABC中 , a,b, c 分别是三内角 A, B,C 的对边设 B ? 2A, 则 b 的取值范围是( D ) a
A.(﹣2,2) B.(0,2)C.( ,2) D.( , )
8.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2π,直线 x=3π是其图象的

一条对称轴,则符合条件的函数解析式是(D )

A.y=4sin??4x+π6?? B.y=2sin??2x+π3??+2 C.y=2sin??4x+π3??+2 D.y=2sin??4x+π6??+2

9.函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象经怎样平移后所得的图象关于点 (? ? ,0) 成中心对称 ( )

3

12

A.向左平移 ? 12

B.向左平移 ? 6

C.向右平移 ? 6

D.向右平移 ? 12

10.如果函数 y ? sin 2x ? a cos2x 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,那么 a ? (



6

A. 3

B.- 3 3

C.- 3

D. 3 3

11.函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如右图所表示,A、B 分别为最高与最低点,

并且两点间的距离为 2 2,则该函数的一条对称轴为(C )

A.x=2π

B.x=2π

C.x=1 D.x=2

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知cosAc-os3BcosC=3c-b a,则ssiinnCA的值为( D )

A.2

1 B.3

C.2 3 D.3

二、填空题:

13.已知 sin(? ? ? ) ? 1 , 则 cos(? ? 7? ) ? _____.

12 3

12

14.在 ?ABC 中角 A , B , C 的对边分别是 a ,b , c ,若 3bsin A ? ccos A ? acos C ,则 sin A ? ________

15.将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则 φ 的最小值为34π____.

16.已知函数 y ? sin(?x ? ?)(? ? 0,?? ? x,? ) 的图象如图所示,则? =________.

17.在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 3,C ? 2? , 则 a ?



3

18.在 ?ABC中 , A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 且满足 a ? b ? c ? 2 ? 1, sin A ? sin B ? 2 sin C, 则 c ? ;

若C

?

? 3

,



S

?ABC

?

三、解答题:

19.已知函数 f (x)= cos x(cos x ? 3 sin x) .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期;
(Ⅱ)当 x ?[0, π ] 时,求函数 f (x)的单调递减区间. 2
解:(Ⅰ) f (x)=sin(2x ? ? ) ? 1 62
T ? 2? ? 2? ? ? |? | 2

f (x) 的最小正周期为? .

----------------------------------7 分

(Ⅱ)当 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? 3? , k ? Z 时,函数 f (x)单调递减,

2

6

2

即 f (x) 的递减区间为:[k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z ,

6

3

由[0, ? ] [k? ? ? , k? ? 2? ] =[? , ? ? ] , k ? Z

2

6

3 62

所以 f (x)的递减区间为:[? , ? ]. 62

------------------------------------13 分

20.向量 m=(a+1,sinx),n=(1,4cos(x+6π)),设函数 g(x)=m·n(a∈R,且 a 为常数).

(1)若 a 为任意实数,求 g(x)的最小正周期;

(2)若 g(x)在[0,π3)上的最大值与最小值之和为 7,求 a 的值.

[解析] g(x)=m·n=a+1+4sinxcos(x+6π)= 3sin2x-2sin2x+a+1= 3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+6π)+a

(1)g(x)=2sin(2x+6π)+a,T=π.

(2)∵0≤x<π3,∴π6≤2x+π6<56π

当 2x+6π=π2,即 x=π6时,ymax=2+a.当 2x+π6=6π,即 x=0 时,ymin=1+a,

故 a+1+2+a=7,即 a=2.

21.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 bcos C=3acos B-ccos B

(1)求 cos B 的值;(2)若 BA · BC =2,b=2 2 ,求 a 和 c

?

?

??

22.在 ?ABC 中, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边,已知向量 m ? ?a ?c,a ?b? , n ? ?sin B,sin A?sinC? ,且 m ∥ n .

(1)求角 C 的大小;(2)求 sin A ?sin B 的取值范围.

23.在 ?ABC中 , A, B,C 的对边分别为 a,b, c, 已知 a ? b ? 5, c ? 7, 且 4sin 2 A ? B ? cos2C ? 7 .

2

2

(1)求角 C 的大小;

(2)求 ?ABC的面积.

[解析] (1)∵A+B+C=180°,4sin2A+2 B-cos2C=72.∴4cos2C2-cos2C=72,

∴4·1+2cosC-(2cos2C-1)=72,

∴4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC=12, ∵0°<C<180°,∴C=60°. (2)∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴7=(a+b)2-3ab,解得 ab=6.

∴S△ABC=12absinC=12×6×

23=3 2

3 .

24.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)若 f??α2??=45,0<α<π3,求 cosα 的值.

[解析] (1)由图象知 A=1

f(x)的最小正周期 T=4×??51π2-π6??=π,故 ω=2Tπ=2

将点??π6,1??代入 f(x)的解析式得 sin??π3+φ??=1,

又|φ|<π2,∴φ=6π

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin??2x+π6??

(2)f??α2??=45,即 sin??α+π6??=45,又 0<α<π3,

∴π6<α+6π<π2,∴cos??α+π6??=35.

又 cosα=[(α+π6)-π6]=cos??α+π6??cos6π+sin??α+π6??sinπ6=3

3+4 10 .

25.设△ ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 b sin A ? 3a cos B .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a ,c 的值.

解:(Ⅰ) b sin A ? 3a cos B ,

……………2 分

由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin Acos B ,

在△ ABC 中, sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 , B ? (0 ,π) ,
?B ? π . 3
(Ⅱ) sin C ? 2sin A,由正弦定理得 c ? 2a ,

……………4 分 ……………6 分 ……………8 分

由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,

得 9 ? a2 ? 4a2 ? 2a ? (2a) ? cos π , 3

……………10 分

解得 a ? 3 ,∴ c ? 2a ? 2 3 .

……………13 分

26.在△ABC

中,已知

A=π4,cosB=2

5

5 .

(1)求 cosC 的值;

(2)若 BC=2 5,D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 27.已知函数 f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ(|φ|<π2),且函数 y=f(2x+π4)的图象关于直线 x=72π4对称. (1)求 φ 的值; (2)若π3<α<51π2,且 f(α)=45,求 cos4α 的值;

(3)若 0<θ<π8时,不等式 f(θ)+f(θ+4π)<|m-4|恒成立,试求实数 m 的取值范围. 28.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈R 的最大值是 1,最小正周期是 2π,其图象经过点 M(0,1). (1)求 f(x)的解析式; (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且 f(A)=35,f(B)=153,求 f(C)的值.


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