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三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形
一、选择题: 1.设 ? 是锐角 , tan(

?
4

? ? ) ? 3 ? 2 2 , 则 cos? ?
B.





A.

2 2

3 2

C.

3 3

D.

6 3

2.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看 见一灯塔在船的南偏西 60° ,另一灯塔在船的南偏西 75° ,则这艘船的速度是每小时( A ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里

3.若函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 在区间 ?0, A.3 B.2

? ?? ?? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ? ? ( ? ? 3? ?3 2?
3 C. 2 2 D. 3

)

4. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0), y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? , 则

f ( x) 的单调递增区间是
A. ?k? ?





? ?

?
12

, k? ?

5? ? ,k ? Z 12 ? ?

B. ?k? ? , k? ? ,k ? Z 12 12 ? ? ? D.[ ?k? ?

?

5?

11 ??

C. ?k? ? , k? ? ?, k ? Z 3 6? ?

?

?

??

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k ? Z 3 ? ?


5.圆的半径为 4, a, b, c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc ? 16 2 , 则三角形的面积为(

A.2

2

B.8 2

C.

2

D.

2 2

6.已知 cos ? ? ? 1 A.- 7

4 ?? ?? ? ? 且 ? ? ? , ? ?, 则 tan? ? ? ? 等于( C ) 5 4? ?2 ? ?
1 C. 7 D.7

B.-7

7.锐角三角形 ABC 中 , a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边设 B ? 2 A, 则 A. (﹣2,2) B. (0,2)C. (

b 的取值范围是( a

D



,2)

D. (





π π 8.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的 2 3 一条对称轴,则符合条件的函数解析式是(D π? A.y=4sin? ?4x+6? π? B.y=2sin? ?2x+3?+2 ) π? C.y=2sin? ?4x+3?+2 π? D.y=2sin? ?4x+6?+2

9.函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象经怎样平移后所得的图象关于点 ( ?
B.向左平移

?
12

,0) 成中心对称 (



? 12

? 6

C.向右平移

? 6

D.向右平移

10.如果函数 y ? sin 2 x ? a cos2 x 的图象关于直线 x ? ?

?
6

? 12


对称,那么 a ? (

A.

3

B.-

3 3

C.- 3

D.

3 3

11.函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如右图所表示,A、B 分别为最高与最低点, 并且两点间的距离为 2 2,则该函数的一条对称轴为(C )

2 A.x= π

π B.x= 2

C.x=1

D.x=2

cosA-3cosC 3c-a sinC 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = ,则 的值为( D ) cosB b sinA A.2 1 B. 3 C.2 3 D.3

二、填空题:

1 7? ) ? , 则 cos( ? ? ) ? _____. 12 3 12 14.在 ?ABC 中角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 3b sin A ? c cos A ? a cos C ,则 sin A ? ________
13.已知 sin(? ? 3π 15. 将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度, 所得图象关于原点对称, 则 φ 的最小值为 ____. 4 16.已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0,?? ? x, ? ) 的图象如图所示,则 ? =________.?

?

17.在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ?

3, C ?

2? ,则a ? 3



18. 在 ?ABC 中 , A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 a ? b ? c ? 若C ?

2 ? 1, sin A ? sin B ? 2 sin C, 则 c ? ;

?
3

, 则 S ?ABC ?

?

三、解答题: 19.已知函数 f ( x) =cos x(cos x ? 3sin x) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间.

π 2

=sin(2 x ? 解:(Ⅰ) f ( x)

?
6

)?

1 2

T?

2? 2? ? ?? |? | 2
----------------------------------7 分

f ( x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)当 2k? ?

3? , k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递减, 2 6 2 ? 2? ], k ? Z , 即 f ( x ) 的递减区间为: [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 2? ? ? ]=[ , ? ] , k ? Z 由 [0, ] ? [k? ? , k? ? 6 2 2 6 3 ? ? 所以 f ( x) 的递减区间为: [ , ] . ------------------------------------13 分 6 2 ? 2x ? ? 2k? ?

?

?

π 20.向量 m=(a+1,sinx),n=(1,4cos(x+ )),设函数 g(x)=m· n(a∈R,且 a 为常数). 6 (1)若 a 为任意实数,求 g(x)的最小正周期; π (2)若 g(x)在[0, )上的最大值与最小值之和为 7,求 a 的值. 3 π π [解析] g(x)=m· n=a+1+4sinxcos(x+ )= 3sin2x-2sin2x+a+1= 3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+ )+a 6 6 π (1)g(x)=2sin(2x+ )+a,T=π. 6 π π π 5π (2)∵0≤x< ,∴ ≤2x+ < 3 6 6 6 π π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,ymax=2+a.当 2x+ = ,即 x=0 时,ymin=1+a, 6 2 6 6 6 故 a+1+2+a=7,即 a=2. 21.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 bcos C=3acos B-ccos B ? (1)求 cos B 的值; (2)若 BA · BC =2,b=2 2 ,求 a 和 c ? 22.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知向量 m ? ? a ? c, a ? b? , n ? ?sin B,sin A ? sin C ? ,且 m ∥ n . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围. 23.在 ?ABC 中 , A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a ? b ? 5, c ? (1)求角 C 的大小; (2)求 ?ABC 的面积. [解析] (1)∵A+B+C=180° ,4sin2 A+B 7 C 7 -cos2C= .∴4cos2 -cos2C= , 2 2 2 2
? ? ? ?

??? ?

??? ?

7 , 且 4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

1+cosC 7 ∴4· -(2cos2C-1)= , 2 2 1 ∴4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC= , 2 ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴7=(a+b)2-3ab,解得 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absinC= ×6× = . 2 2 2 2 π 24.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; α? 4 π (2)若 f? = , 0< α < ,求 cosα 的值. 2 ? ? 5 3 [解析] (1)由图象知 A=1 5π π? 2π f(x)的最小正周期 T=4×? ?12-6?=π,故 ω= T =2 π ? ?π ? 将点? ?6,1?代入 f(x)的解析式得 sin?3+φ?=1, π π 又|φ|< ,∴φ= 2 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin? ?2x+6? α? 4 π ? π? 4 (2)f? ?2?=5,即 sin?α+6?=5,又 0<α<3, π? 3 π π π ∴ <α+ < ,∴cos? ?α+6?=5. 6 6 2 π? π π π ? π? π 3 3+4 又 cosα=[(α+ )- ]=cos? ?α+6?cos6+sin?α+6?sin6= 10 . 6 6 25.设△ ABC 的内角 A , 且 b sin A ? 3a cos B . B, C 的对边分别为 a , b, c, (Ⅰ)求角 B 的大小;

c 的值. (Ⅱ)若 b ? 3 , sin C ? 2sin A ,求 a ,
解: (Ⅰ)? b sin A ? 3a cos B , ……………2 分

由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,

π) , 在△ ABC 中, sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 , B ? (0 ,
?B ? π . 3

……………4 分 ……………6 分 ……………8 分

(Ⅱ)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a , 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

得 9 ? a ? 4a ? 2a ? (2a ) ? cos
2 2

π , 3

……………10 分 ……………13 分

解得 a ? 3 ,∴ c ? 2a ? 2 3 . π 2 5 26.在△ABC 中,已知 A= ,cosB= . 4 5 (1)求 cosC 的值; (2)若 BC=2 5,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

π π 7π 27.已知函数 f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ(|φ|< ),且函数 y=f(2x+ )的图象关于直线 x= 对称. 2 4 24 (1)求 φ 的值; π 5π 4 (2)若 <α< ,且 f(α)= ,求 cos4α 的值; 3 12 5 π π (3)若 0<θ< 时,不等式 f(θ)+f(θ+ )<|m-4|恒成立,试求实数 m 的取值范围. 8 4 28. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π), x∈R 的最大值是 1, 最小正周期是 2π, 其图象经过点 M(0,1). (1)求 f(x)的解析式; 3 5 (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C)的值. 5 13


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