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§3.2立体几何中的向量方法(1)


伊宁市三中 高二数学◆选修 2-1◆导学案

编写:何敏

审核:

§3.2 立体几何中的向量方法(1)
学习目标
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平 行、垂直、夹角等立体几何问题.

新知: ⑴ 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么 ??? ? 空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示, ??? ? 我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. ⑵ 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非 零向量. ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ,使得 ??? ? ??? ? AP ? t AB ,此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面: ① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向 ? ? 量确定.对于平面 ? 上的任一点 P , a, b 是平面 ? 内两 个 不 共 线 向 量 , 则 存 在 有 序 实 数 对 ( x, y ) , 使 得 ??? ? ? ? O P? x a y . ? b ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直 线的方向向量表示空间中平面的位置.

预习案
自学园地
一、课前准备 复习 1: 可以确定一条直线;确定 一个平面的方法有哪些?

复习 2:如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上?

复习 3:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , 则 a·b=

? ⑷ 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 ? 直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂直于平面 ? , ? ? 记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.

预习检测: (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 1.已知向量 a ? (0,2,1),b ? (?1,1,?2),则a与b 的夹 角为( )

试试: . ? ? ? ? 1.如 果 a, b 都 是 平 面 ? 的 法 向 量 , 则 a, b 的 关 系 .

A.0°; B.45°; C.90°; D.180°
? ? 2.向量 n 是平面 ? 的法向量,向量 a 是与平面 ? 平行 ? ? 或在平面内,则 n 与 a 的关系是 .

2.已知: A( x,5 ? x,2 x ? 1), B(1, x ? 2,2 ? x) ,当

| AB | 取最小值时, x 的值等于(
A. 19;

) 反思: 1. 一个平面的法向量是唯一的吗?

B. ? 8 ; C. 8 ; D. 19 7 7 14

探究案
二、新课导学 ※ 合作探究一: 向量表示空间的点、直线、平面 问题:怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置?

2. 平面的法向量可以是零向量吗?

⑸ 向量表示平行、垂直关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的 ? ? 法向量分别为 u , v ,则 ? ? ? ? ① l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ? ? ? ? ② l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0 ? ? ? ? ③ ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv.

1

2012-2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第三章 空间向量与立体几何

※合作探究二: 典型例题 例 1 已知两点 A ?1, ?2,3? , B ? 2,1, ?3? ,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 的交点.

※ 当堂检测 ? ? 练 1. 设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线 l1 , l2 的位置关系: ? ? ⑴ a ? ?1,2, ?2? , b ? ? ?2,3,2? ; ? ? ⑵ a ? ? 0,0,1? , b ? ? 0,0,3? .

变式:已知三点 A ?1, 2,3? , B ? 2,1, 2? , P ?1,1,2? ,点 Q 在 ??? ??? ? ? OP 上运动(O 为坐标原点),求当 QA ? QB 取得最小 值时,点 Q 的坐标.

? ? 练 2. 设 u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系: ? ? ⑴ u ? ?1,2, ?2? , v ? ? ?2, ?4,4? ; ? ? ⑵ u ? ? 2, ?3,5? , v ? ? ?3,1, ?4? .

???? ???? AB ? ( 2 , 2 , 1)AC? , 练 3. 已 知
ABC 的单位法向量.
小结:解决有关三点共线问题直接利用直线的参数 方程即可. 例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理:一 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这 两个平面平行.

( 4 , 5 , 3平 面 求 ),

练 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所 成角的余弦值是( A. ? ) C.

2 5

B.

2 5

3 5

D.

10 10

变 式 : 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A ? 3 , 0 , B , ? 0?C 4 ? ,试求平面0ABC 的一个 , , 0 , , 0 , 2 ? ?0 法向量.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间点,直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. ※ 知识拓展: 求平面的法向量步骤: ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ; ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标; ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组; ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2

小结:平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.

伊宁市三中 高二数学◆选修 2-1◆导学案

编写:何敏

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练习案
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

选做题 ???? ? ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是 1. 在正方体 ACD1 的一个法向量. 平面

※ 必做题(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? 1. 设 a ? ? 2, ?1, ?2? , b ? ? 6, ?3, ?6? 分别是直线 l1 , l2 的
方向向量,则直线 l1 , l2 的位置关系是 .

? ? 2. 设 u ? ? ?2,2,5? , v ? ? 6, ?4,4? 分别是平面 ? , ? 的法
向量,则平面 ? , ? 的位置关系是 .

???? ? 2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平

面 ACD1 的一个法向量.

? 3. 已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) ? ? A. 若 a ? ? ,则 n ? a B.若 a // ? ,则 n ? a ?? ?? ? ?? ? ?? C.若 m ? ? , ,则 n // m D.若 m ? ? , ,则 n ? m

4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 ?? ?? D.若 m 是直线 l 的方向向量, l // ? ,则 m // ?

??? ? ??? ? 3.已知 AB ? ? 2,2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的一
个法向量.

??? ? ??? ? 5. 已知 AB ? ?1,0, ?1?, AC ? ?0,3, ?1 ? , 能做平面 ABC
的法向量的是( ) ? 1 ? A. ?1,2,1? B. ? 1, ,1? ? 3 ? C. ?1,0,0? D.

? 2,1,3?

3

2012-2013 年上学期◆高二





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第三章 空间向量与立体几何

3.2(1)
一、课后练习
??

[综合训练 B 组]
?? ??

1.已知 a =(2,-1,3) b =(-4,2,x) , ,若 a 与
??

b 夹角是钝角,则 x 取值范围是
A、 (-∞, C、 (

(

)

10 ) 3

B、 (-∞,2) D、 (-∞, ?

10 ,+∞) 3

10 ) 3

2.若两个平面 ? , ? 的法向量分别是

? ? u ? (1,0,1), v ? (?1, ?1,0) ,则这两个平面所成的
锐二面角的度数是________. 6.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中, CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 3.PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 ,求二面 角 A-PB-C 的余弦值. A1B1,A1A 的中点, (1)求 cos ? BA , CB1 ? 的值; 1 (2) 求证 : A1 B ? C1 M .

4.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,AA1=c, (a>b) ,求异面直线 D1B 和 AC 所成角的余弦值.

5.正四棱锥 S—ABCD 中,所有棱长都是 2,P 为 SA 的中点(如图) (1)求二面角 B—SC—D 的大小; (2)如果点 Q 在棱 SC 上,那么直线 BQ 与 PD 能否 垂直?请说明理由。
4


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